Sciences mathématiques - exercices 1, Exercices de Logique mathématique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de sciences mathématique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction f , le plan affine euclidien, le rayon.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Lyon \

EXERCICE 1

On considère l’application f de R dans R définie par :

{

f (x) = x|Log x| pour x > 0 f (0) = 0

1. Étudier les variations de la fonction f .

2. Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé, l’unité est re- présentée par 1 cm. Construire la courbe représentative de f ; calculer l’aire de la portion de plan, ensemble des points M(x ; y) tels que

x ∈ [1 ; e] et y ∈ [0 ; f (x)]

EXERCICE 2

Quel est, suivant la valeur de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne du nombre 5n par 13 ? En déduire que, quel que soit l’entier naturel n non nul, on a :

184n+1−444n−1−3×964n+2 = 0 (13)

PROBLÈME

Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’orien-

tation positive,

Partie A

Soit E l’ensemble des courbes Γα d’équation

(

α 2−4

)

x2−4y2−4 (

α 2−4

)

= 0

α appartenant à R.

1. Comparer Γα et Γ−α.

2. Étudier suivant les valeurs de α la nature de Γα et en préciser chaque fois les éléments fondamentaux (centre, sommets, foyers et asymptotes s’il y a lieu).

3. Dessiner les courbes Γ0 et Γ2 p 2 (sur une même figure).

Partie B

On appellera la courbe représentée paramétriquement par les équations

{

x = 2 p 2cos t (2)

y = α+2 p 2sin t (3)

t ∈R

α étant un réel donné.

1. a. Montrer queest un cercle, en donner une équation cartésienne, et en préciser le centre et le rayon.

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Dessiner C0 sur la figure du A - 3.

2. Quand α décrit R, décrit un ensemble de cercles que l’on désignera par F .

a. Les ensembles E et F ont-ils un élément commun?

b. Comparer etCα.

c. Étudier l’intersection Γαet montrer que, lorsque cette intersection n’est pas vide, Γα et admettent la même tangente en tout point qui leur est commun.

d. Tracer, sur trois figures distinctes, les trois ensembles pour les trois va- leurs particulières suivantes de α :

α= p 2, α= 2

p 2, α= 1.

Partie C

Dans cette dernière partie α est une constante réelle positive (

α ∈R+ )

, M un point variable du cercle associé .

1. On considère alors les cercles et Cα de centres respectifs I et P.

Démontrer qu’il existe une rotation unique d’angle droit direct transformant en Cα. Déterminer par ses coordonnées le centre de cette rotation, noté F.

2. À chaque point M de on fait correspondre le point M ′, variable sur Cα défini par

(−−→ IM ,

−−−→ I′M

)

= (−→ ı ,

−→ ı

)

; soit P le milieu du segment [

MM ′ ]

.

Montrer que la médiatrice de [

MM ′ ]

passe par un point fixe que l’on préci- sera.

3. Le plan P rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

étant maintenant re-

gardé comme plan de représentation des nombres complexes, on appelle z l’affixe deM , z ′ celle de M ′, Z celle de P.

Montrer que z ′ = iz+α(1− i). Calculer Z en fonction de z. Cette relation entre Z et z définit une application de P dans P qui à chaque point M de associe le point P correspondant ; reconnaître la nature de cette application et en déduire l’ensemble des points P obtenu quand M décrit.

N. B. - La partie C est indépendante des résultats des c. et d. de la partie B.

Lyon 2 septembre 1974

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