Sciences mathématiques - exercices 10, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la transformation ponctuelle, le sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel, les matrices.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1974 \

EXERCICE 1

1. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble ∆ des pointsM du plan complexe, d’affixe z = x+ iy , tels que

|z−3−2i| = |z−7+2i|

Le plan sera rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Caractériser géométriquement la transformation ponctuelle ϕ du plan com- plexe associée à l’application f de C dans C définie par

f : z 7−→ z ′ = (

1+ i p 3 )

z−5i p 3.

3. Quel est l’ensemble ∆′, image par ϕ de l’ensemble ∆ déterminé à la première question ? Représenter graphiquement ∆′.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f : x 7−→ x2−3|x−2|

x−1 1. Étudier cette fonction et construire sa courbe représentative (Γ) dans le plan

rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité de longueur étant 2 cm.

2. Donner l’équation, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, de la parabole (P ) d’axe dirigé

par −→ , de sommet Ω

(

7

2 ; 6

)

et passant par A(2 ; 4), Tracer cette parabole dans

le même repère.

3. Quelle est l’aire, à 10−2 cm2 près, du domaine ∆ délimité par les courbes (P ) et (Γ) ?

On commencera par déterminer les points d’intersection des courbes (P ) et (Γ).

PROBLÈME −→ E2 désigne un plan vectoriel sur R rapporté à la base

(−→ ı ,

−→

)

. On considère l’en-

semble A des endomorphismes f de −→ E2 ayant pour matrice, dans la base

(−→ ı ,

−→

)

,

A f = (

a 0 b a

)

, où a et b sont des nombres réels.

1. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (−→ E2

)

des

endomorphismes de −→ E2 .

2. On pose f 2 = f f , f 3 = f f f , etc. f étant un élément de A donner la matrice des endomorphismes f 2, f 3, f 4.

En déduire la forme de lamatrice de f n et démontrer ce résultat en raisonnant par récurrence.

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

3. Soit −−→ w0 = X0

−→ ı +Y0

−→ un vecteur donné de

−→ E2 .

Calculer −−→ w1 = f

(−−→ w0

)

, −−→ w2 = f

(−−→ w1

)

, −−→ w3 = f

(−−→ w2

)

en fonction de X0 et Y0.

Calculer les composantes Xn et Yn de −−→ wn = f

(−−−−→ wn−1

)

, d’une part en fonction

de Xn−1 et Yn−1, d’autre part en fonction de X0; Y0 et n.

4. On considère les suites (un) et (vn) définies par

u0 = −3 v0 = 1

un = 2un−1 vn = 2vn−1−un−1

Calculer un et vn en fonction de n.

5. Montrer que (A , +, ◦) est un anneau commutatif. 6. Soit g et h deux éléments donnés de A définis par leurs matrices

Ag = (

p 0 q p

)

et Ah = (

r 0 s r

)

Déterminer, par leurs matrices, les endomorphismes f appartenant à A qui vérifient g f = h. On sera amené à discuter suivant les valeurs de p, q, r, s.

7. Déterminer de même les endomorphismes f appartenant à A tels que :

a. f f = h. Discuter. b. f f +2g f = h . Discuter.

N. B. - E étant un espace vectoriel sur R, on rappelle qu’un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E et que les endomorphismes de E forment eux·mêmes un espace vectoriel, généralement noté L (E).

Orléans–Tours 2 juin 1974

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