Sciences mathématiques - exercices 11, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique, le calcul, le point M de coordonnées.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1974 \

EXERCICE 1

Trouver, sous la forme a+ ib (a et b réels), un nombre complexe ω tel que

ω2 = 48+14i.

Résoudre, dans C, l’équation :

z2−5(1+ i)z−12+9i= 0.

Vérifier que le quotient des deux racines est un imaginaire pur.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique définie sur R par

f (x)= Log (

e2x −ex +1 )

le symbole Log désignant le logarithme népérien de base e.

1. Étudier la variation de la fonction f . Soit C la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la variation de f . Montrer, en posant x = Log (ex ), que f (x)−2x tend vers une limite lorsque x tend vers +∞, et en déduire l’asymp- tote correspondante de C .

Construire la courbeC (on précisera la tangente au point C d’ordonnée nulle).

2. Soit k un nombre réel strictement positif.

Discuter, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions réelles de l’équation d’inconnue x

e2x −ex +1−k = 0.

a. par le calcul,

b. en utilisant la courbe C .

PROBLÈME

N. B. - La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, (−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

une base orthonor-

mée de E, r1 la rotation vectorielle E→ E ayant pour axe la droite vectorielle conte-

nant −→ ı et telle que r1

(−→

)

= −→ k , r2 la rotation vectorielle ayant pour axe la droite

vectorielle contenant −→ et telle que r2

(−→ k

)

= −→ ı .

1. On pose r = r2 ◦ r1, r 2 = r r, r 3 = r r 2.

Quelles sont les images de −→ ı ,

−→ ,

−→ k par r , par r 2, par r 3 ?

Quel renseignement relatif à l’angle de la rotation vectorielle r déduit-on de ce qui précède ?

2. Calculer en fonction des coordonnées x, y, z d’un vecteur quelconque −→ V de

E les coordonnées x′, y ′, z ′ du vecteur r (−→ V

)

, et déterminer les vecteurs de E

invariants par r .

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

3. Soit r3 la rotation vectorielle ayant pour axe la droite vectorielle contenant −→ k

et telle que r3 (−→ ı

)

= −→ .

Déterminer les images de −→ ı ,

−→ et

−→ k par la rotation vectorielle r r3 c’est-à-

dire r2 ◦ r1 ◦ r3. Qu’en déduit-on pour cette rotation ? Indiquer de même ce que sont les rotations r3 ◦ r2 ◦ r1 et r1 ◦ r3 ◦ r2.

(Les résultats de ce 3. ne seront pas utilisés par la suite).

Partie B

Soit E un espace affine euclidien, associé à E, et (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

un repère de E (les

vecteurs −→ ı ,

−→ et

−→ k étant définis au A).

On désigne par ρ l’application de E dans E dans laquelle tout point M , de coordon- nées x, y, z, a pour image le point M ′ de coordonnées :

x′ = y, y ′ =−z, z ′ =−x.

1. Préciser la nature de cette application ρ.

2. Soit P le plan de E d’équation z = 1. Déterminer l’ensemble H des points M

du plan P tels que les vecteurs −−−→ OM et

−−−→ OM ′ soient orthogonaux. La courbeH

admet un centre de symétrieΩ. Écrire l’équation deH relativement au repère (

Ω, −→ ı ,

−→

)

et indiquer la nature de la courbe H .

3. On définit, par leurs coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

, les points sui-

vants de E : S(0 ; 0 ; 1), A(0 ; 1 ; 1), B(1 ; 0 ; 1) . On constate que les points A, S, B, Ω sont les sommets consécutifs d’un carré Γ. Soit C = ρ(A), S′ = ρ(S), D = ρ(B) ,Ω′ = ρ(Ω) ; ces points sont les sommets d’un carré Γ′ image de Γ par ρ. On désigne enfin par α le point de E tel que S soit le milieu de Aα, et par β le point de E tel que B soit le milieu deΩβ.

Montrer qu’il existe un déplacement δ, autre que ρ, tel que δ(Γ) = Γ′ et dans lequel α et β sont invariants (il est conseillé de préciser d’abord les images par δ des points A, S, B etΩ).

Vérifier que la courbe H a même image H ′ par ρ et par δ.

Partie C

Les lettres E , O, ρ ont la même signification que dans la partie B.

1. On donne un nombre réel k, strictement positif, et l’on appelle Lk l’ensemble des points M , appartenant au plan de E d’équation z = 0, et tels que MM ′ = kOM ([en posant encoreM ′ = ρ(M)] 1

Ecrire l’équation de Lk dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On pose x = λcosθ, y =λsinθ, avec λ> 0.

Montrer que si le pointM de coordonnées x, y appartient à Lk et si λ> 0, alors sin2θ s’exprime simplement en fonction de k.

En déduire, suivant les valeurs de k, la nature géométrique de l’ensemble Lk .

Application numérique : k =

p 6

2 .

Calculer les valeurs correspondantes de θ.

2. Soit Σ l’ensemble dont les éléments sont les inverses 1

n des entiers relatifs n

non nuls.

1. MM ′ et OM représentent respectivement la distance deM etM ′ et la distance de O àM .

Paris 2 juin 1974

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

On se propose de chercher certaines valeurs rationnelle de k pour lesquelles

sin2θ appartient à Σ. Montrer, à cet effet, que si k = p

q , où p et q désignent

des entiers naturels premiers entre eux, les conditions a. et b. suivantes sont équivalentes :

a. sin2θ ∈Σ

b. p2−2q2 =±1.

En déduire les couples (p ; q) cherchés, pour lesquels 16 p < 20, ainsi que les valeurs correspondantes de sin2θ [on ne cherchera pas l’expression générale des couples (p ; q) vérifiant la condition b. ].

Paris 3 juin 1974

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