Sciences mathématiques - exercices 13, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points M, la fonction numérique définie, la représentation graphique.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1974 \

EXERCICE 1

Soit un nombre entier q > 2. On considère les nombres complexes z, z1, z2 formant dans cet ordre une progres- sion géométrique de raison q .

1. Que peut-on dire des arguments de z, z1, z2 ?

2. On désigne par r, r1, r2 les modules respectifs de z, z1, z2. Montrer qu’il existe une valeur de q telle que :

z + z1+ z2 = 21

(

5i− p 3 )

2− i p 3

.

et que r, r1 et r2 soient entiers.

Déterminer les valeurs correspondantes de z, z1, z2.

EXERCICE 2

Dans E2 plan affine euclidien, on considère trois points A, B, C tels que

AC= 3a, BC= 5a, AB= 4a

(a étant un réel positif donné).

1. Trouver l’ensemble des points Mde E2 vérifiant

−−→ MA +

−−→ MB −2

−−→ MC =

−→ V

( −→ V étant un vecteur donné du plan vectoriel associé à E2).

2. Trouver l’ensemble des points M de E2 vérifiant :

−−→ MA +

−−→ MB −3

−−→ MC =

−→ 0 .

Déterminer alors l’ensemble des points M de E2 vérifiant :

MA2+MB2−3MC2 = 5a2

et le représenter graphiquement.

PROBLÈME

Soit F l’espace vectoriel sur R des fonctions numériques définies dans R, les opé- rations étant l’addition usuelle et la multiplication usuelle par un réel. Dans tout le problème, on appellera f0, f1 et f2 les trois éléments de F respectivement définis, pour tout x réel par :

f0(x)= e −x , f1(x)= xe

x , f2(x)= x 2e−x

Partie A

On considère l’ensemble E des fonctions numériques f définies, pour tout x réel, par f (x)= e−x .P (x), P désignant un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de F , et que (

f0, f1, f2 )

est une base de E .

2. On considère l’application D qui, à toute fonction f de E, associe sa fonction dérivée f ′ = D( f ).

a. Démontrer que D est un endomorphisme bijectif de E .

b. Soit ϕ l’élément de E défini par

ϕ= a f0+b f1−2 f2

a et b étant deux réels fixés.

Déterminer la fonction f de E telle que D( f )=ϕ.

3. On appelle E1 le sous-ensemble de E formé des éléments ϕ = a f0+b f1−2 f2 quand a et b décrivent R.

E1 est-il un sous-espace vectoriel de E ? E1 est-il stable pour l’endomorphisme D ?

On pose D2 = D D. Démontrer que E1 est stable pour D2. Existe-t-il des élé- ments de E1 qui soient invariants pour D2 ?

Partie B

On appelle Φ la fonction numérique définie, pour tout x réel, par :

Φ(x)=−2e−x (

1+ x + x2 )

1. a. Étudier les variations de la fonction Φ.

Tracer sa courbe représentative C dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (on prendra 2 cm comme unité de longueur).

b. Soit un nombre réel λ> 0 ; calculer l’aire de la partie du plan définie par : 06 x 6λ et Φ(x)6 y 6 0.

Cette aire admet-elle une limite lorsque λ→+∞ ?

2. On pose Φ1 = D2(Φ) et pour tout entier naturel n non nul, Φn+1 = D2 (Φn).

a. Démontrer que, pour toute valeur de n, Φn peut s’écrire :

Φn = an f0+bn f1−2 f2

an et bn étant deux entiers relatifs.

Établir les relations

{

an+1 = an −2bn −4 bn+1 = 8+bn

b. Calculer bn puis an en fonction de l’entier naturel n.

3. Démontrer que, pour toute valeur de n, l’équation Φn(x) = 0 possède deux solutions distinctes.

On se propose de chercher s’il existe des valeurs de n pour lesquelles ces deux solutions sont rationnelles. À cet effet, on établira que les deux solutions de l’équation sont rationnelles si et seulement si 8n − 3 est le carré d’un entier naturel p.

Existe-t-il des valeurs den telles que les deux solutions de l’équationΦn (x)= 0 soient rationnelles (on pourra utiliser une relation de congruence) ?

N. B. : Dans la partie B, les questions 2. et 3. sont indépendantes de la question 1.

Poitiers 2 juin 1974

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