Sciences mathématiques - exercices 2, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les couples, La fonction g.
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[ Baccalauréat C Maroc juin 1974 \

EXERCICE 1

Pour tout n ∈Z, la notation désigne la classe de n dans Z/12Z.

1. Trouver tous les couples (a ; b) d’éléments de Z/12Z tels que l’on ait

ȧḃ = 0̇ et ȧ− ḃ = 5̇.

2. Résoudre l’équation x2+ 3̇x− 4̇= 0̇ dans Z/12Z. 3. Déterminer les entiers naturels x, tels que le nombre entier N qui s’écrit 138

en base x, soit divisible par 12.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par : {

f (x) = |xLog xx| si x ∈]0 ; +∞[ f (0) = 0

1. La fonction f est-elle continue à droite en 0 ? Est-elle dérivable à droite en 0 ? Est-elle dérivable au point x = e ?

2. Étudier les variations de la fonction f , et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé, l’unité de longueur étant 2 cm (sur chacun des axes).

3. Montrer que la restriction de f à l’intervalle [e ; +∞[ admet une fonction ré- ciproque g . Préciser le domaine de définition Dg de g .

La fonction g est-elle dérivable sur Dg ?

4. Calculer f (

e3 )

et g ′ (

2e3 )

.

PROBLÈME

On considère l’ensemble M , des matrices M de la forme

(

a 2b b a

)

, où a et b dé-

crivent l’ensemble des nombres réels.

Soit I = (

1 0 0 1

)

et A= (

0 2 1 0

)

.

1. a. Montrer que M est un sous-espace vectoriel sur R des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels.

b. Montrer que {I, A} est une base de l’espace vectoriel M .

c. Montrer que M muni de l’addition, et de la multiplication des matrices, est un anneau unitaire. Est-ce un corps ? Montrer que si une matrice M ∈ M , est inversible dans l’anneau des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels, alors M−1 appartient à M . Que peut-on dire de l’en- semble MQ, des matrices M ∈M à coefficients rationnels ?

2. Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension 2, et soit (−→ ı ,

−→

)

une base de E.

Soit f l’endomorphisme de E, représenté dans la base (−→ ı ,

−→

)

par la matrice

M = (

a 2b b a

)

.

Déterminer, suivant les valeurs de a et b, l’image de f , et le noyau de f , notés respectivement Im f et Ker f .

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

3. Déterminer les matrices M ∈M , vérifiant la relation M ×M =M .

Montrer que la matrice

1

2

p 2

2p 2

4

1

2

représente dans E, relativement à la base

(−→ ı ,

−→

)

, une projection vectorielle de direction D ′ sur une droiteD. Détermi-

ner les droitesD etD ′.

4. Déterminer les matrices M ∈M , telle que M ×M = I.

Montrer que la matrice

0 p 2p

2

2 0

 représente dans la base (−→ ı ,

−→

)

, une sy-

métrie vectorielle de E, de direction∆′, par rapport à une droite∆. Déterminer les droites ∆ et ∆′.

5. Montrer que l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels, P , telles que A×P =P × A, est M . Montrer que si ϕ est un endomorphisme fixé de E, l’ensemble des endomor- phismes g de E, tels que g0ϕ = ϕ g , est un anneau unitaire, pour l’addition et la composition des endomorphismes.

Montrer que siϕ et g sont des endomorphismes de E, tels que g ϕ=ϕg , on a :

Im(g ◦< p)⊂ Im g ∩ Imϕ Kerg ∪Kerϕ⊂Ker (g ϕ)

(Im : image, Ker : noyau).

Maroc 2 juin 1974

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