Sciences mathématiques - exercices 3, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, l’algorithme d’Euclide.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1974 \

EXERCICE 1

ϕ désignant un paramètre réel vérifiant − π

2 <ϕ<

π

2 , on considère l’équation :

z2− 2

cosϕ +

5

cos2ϕ = 4. (E)

1. Trouver les racines z ′ et z ′′ de l’équation (E) dans le corpsC des nombres com- plexes.

2. Soit M ′ et M ′′ les images de z ′ et z ′′ dans le plan complexe.

Montrer que z ′ et z ′′ décrivent, quand ϕ varie dans ]

π

2 ; π

2

[

, une branche

d’hyperbole que l’on dessinera.

EXERCICE 2

On désigne par E l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux de la forme

(

a b

c d

)

,

a, b, c, d étant des entiers relatifs vérifiant ad bc = 1. 1. Vérifier que le produit de deux matrices appartenant à E est un élément de E.

2. Montrer queE,muni de lamultiplicationmatricielle, a une structure de groupe.

3. Trouver une matrice de E pour laquelle a = 22 et b = 17 (on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide).

PROBLÈME

Partie A

On dira qu’une fonction numérique f , continue sur un intervalle I de R, est convexe sur I si :

x ∈ I, y ∈ I : f ( x + y

2

)

6 f (x)+ f (y)

2

1. a. Montrer que les fonctions f1 : x 7−→ x2 et f2 x 7−→ ex sont des fonctions convexes sur R.

b. La fonction f3 : x 7−→ Log x est-elle convexe sur ]0 ; +∞] ? (Log x représente le logarithme népérien de x).

2. On désigne par h la fonction définie sur [0 ; π] par h(x)=−sinx. a. Montrer que h est convexe sur [0 ; π].

b. Montrer que si x 6= y, h ( x + y

2

)

< h(x)+h(y)

2 .

3. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R vérifiant :

x ∈R, f ′′(x)> 0

a. Soit x0 un réel fixé et g la fonction définie sur R par :

g (x)= f ( x + x0

2

)

− [

f (x)+ f (x0) 2

]

Montrer que g est dérivable sur R et calculer g ′(x).

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

b. Montrer que si x < x0, g ′(x)> 0 et si x > x0, g ′(x)< 0. En déduire que ∀x ∈ R, g (x)6 0 et que f est une fonction convexe sur R.

Partie B

On considère la fonction ϕ définie sur [0 ; 2π] par :

ϕ(x)= sin x

2 +2sin

x

4 .

Étudier les variations de la fonction ϕ sur [0 ; 2π].

En déduire l’inégalité : ∀x ∈ [0 ; 2π], ϕ(x)6 3 p 3

2 .

Partie C

Dans un plan affine euclidien, on considère un cercle Γ de centre O, de rayon R. Soit A un point fixé de Γ et α, β, γ, trois réels positifs vérifiant α+β+γ= 2π. On désigne par B et C les points de Γ tels que α, β, γ, soient des mesures respectives

des angles (−−→ OA ,

−−→ OB

)

, (−−→ OB ,

−−→ OC

)

, (−−→ OC ,

−−→ OA

)

.

1. Calculer en fonction de R, α et β le périmètre

P = ∥

−−→ AB

∥+ ∥

−−→ BC

∥+ ∥

−−→ CA

du triangle ABC.

2. Montrer, en utilisant la partie A 2., puis la partie B, que :

P 6 2R.ϕ(α+β)6 3R p 3

et que si α 6=β, P < 3R p 3.

3. Pour quelles positions des points B et C le triangle ABC a-t-il un périmètre maximal ?

Montpellier 2 juin 1974

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