Sciences mathématiques - exercices 4, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées x et y, les projections.
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[ Baccalauréat C Nancy juin 1974 \

EXERCICE 1

Dans un plan affine euclidien E rapporté au repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) la posi-

tion à l’instant t d’un point mobile M est définie par

−−−→ OM = e2t

−→ ı +

( t

1

4 e2t

) −→ ı .

On suppose que t décrit R.

1. Montrer qu’il existe une relation du type y = f (x) entre les coordonnées x et y de M , où f désigne une fonction indépendante de t définie sur l’intervalles ]0 ; +∞[. Étudier la fonction f et construire la trajectoire du point M .

2. À chaque instant t on désigne par −−−→ v(t) le vecteur-vitesse et par

−−→ γ(t) le vecteur

accélération. Etudier l’ensemble des réels t tels que

cos á−−−→

v(t) , −−→ γ(t) =

p 3

2 .

Le mouvement deM sur sa trajectoire est-il accéléré ou retardé ?

EXERCICE 2

1. En intégrant deux fois par parties calculer

un = ∫(n+1)π

e−x sinx dx

(n entier naturel)

2. On pose sn =u0+u1+ . . .+un . Montrer que lorsque n tend vers l’infini, sn tend vers une limite que l’on cal- culera.

PROBLÈME

Partie A

L’ensemble C des nombres complexes étant considéré comme un espace vectoriel sur le corps R des réels, on note B la base de cet espace constituée des complexes 1 et i. Pour tout nombre réel a, on considère l’application fa de C dans C définie par :

fa (z)= (1− ia)z+ iaz.

Soit F l’ensemble des fa .

1. Montrer que fa est linéaire et déterminer sa matrice dans la base B.

2. Montrer que F muni de la loi de composition des applications est un groupe isomorphe au groupe (R, +). Calculer l’image du nombre complexe z par l’ap- plication réciproque f −1a .

3. Étudier suivant les valeurs de a l’ensemble des éléments de C invariants par fa .

Lorsque a 6= 0 définir le noyau et l’image de fa f0.

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

Partie B

P est un plan affine associé au plan vectoriel C et rapporté à un repère d’origine O et de base B.

1. Pour tout nombre réel m, on considère l’ensemble Cm des points du plan P dont les coordonnées x et y vérifient

(1−m)x2−my2 = 4

Étudier la nature deCm suivant les valeurs dem.

Construire C 1 2 dans le repère donné.

2. Soit S l’application affine, de P dans P, qui admet O pour point invariant et f 1 2

pour endomorphisme associé. La courbeCm est transformée par S en C m .

Écrire l’équation deC m . Vérifier que l’équation deC ′ 1 2 est

y = x2−8 2x

3. Construire C ′1 2 sur la même figure que C 1

2 . Rechercher tous les points de C ′1

2

dont les deux coordonnées appartiennent à Z, ensemble des nombres entiers relatifs.

4. Soit T l’application affine, de P dans P, qui admet O pour point invariant et f 1 2 − f0 pour endomorphisme associé. Montrer qu’il existe une projection Q1

sur la droite dirigée par −→ ı qui passe par O et une projectionQ2 sur une droite

qui passe par O, telle que T =Q2 ◦Q1. (On précisera les directions suivant lesquelles s’effectuent les projections Q1 et etQ2)

Nancy 2 juin 1974

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