Sciences mathématiques - exercices 5, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de R dans R, les vecteurs unitaires.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1974 \

EXERCICE 1

Étudier les restes des divisions par 9 des puissances successives de 2. Démontrer que le nombre 22n

(

22n+1−1 )

− 1 est toujours divisible par 9, quel que soit l’entier naturel n.

EXERCICE 2

a et b étant deux réels donnés, on note f l’application de R dans R définie par

{

f (x) = xex pour tout x deRvérifiant x 6 1 f (x) = ax+b pour tout xdeRvérifiant x > 1

1. a. Indiquer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que la fonction f soit continue au point 1.

b. Déterminer les valeurs de a et b pour que la fonction f soit dérivable au point 1.

2. Étudier les variations de la fonction g définie par

{

g (x) = xex pour tout x deRvérifiant x 6 1 g (x) = e(2x−1) pour tout xdeRvérifiant x > 1

Tracer sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

3. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonction h définie par

h(x)= xex .

Calculer l’aire du domaine plan défini par

06 x 6 2 et 06 y 6 g (x)

PROBLÈME

E désigne un espace affine euclidien dont la dimension est 3. E désigne l’espace vectoriel euclidien orienté associé à E . Un repère cartésien orthonormé direct de E

est R = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Soit −→ e1 et

−→ e2 les vecteurs de E définis par

−→ e1 =

1 p 2

(−→ ı +

−→ )

et −→ e2 =

1 p 2

(

− −→ ı +

−→ )

On désigne par D la droite vectorielle de E dont −→ e1 est une base et par P le plan

vectoriel de E orthogonal àD. D et P sont la droite affine et le plan affine de E ,issus de O et associés respective- ment àD et à P.

1. a. Démontrer que −→ e1 et

−→ e2 sont des vecteurs unitaires.

b. Démontrer qu’il existe une rotation vectorielle deEqui transforme (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

en (−→ e1 ,

−→ e2 ,

−→ k )

.

c. Si D est orienté par −→ e1 , P se trouve orienté : démontrer que

(

O, −→ e2 ,

−→ k )

est un repère orthonormé direct de P .

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

2. On envisage l’application affine f de E vers E qui laisse O invariant et dont l’endomorphisme associé ϕ est défini par

ϕ( −→ ı ) = 3

−→ ı +

−→

p 6 −→ k

ϕ( −→ ) =

−→ ı +3

−→ +

p 6 −→ k

ϕ( −→ k ) =

p 6 −→ ı

p 6 −→ +2

−→ k

a. Si M ′ est l’image par f d’un point M de E , calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

deM ′ dans le repèreR en fonctiondes coordonnées (x ; y ; z) deM dans ce même repère.

Démontrer que O est le seul point de E qui soit invariant par f .

b. Préciser le noyau de l’endomorphisme ϕ ; en déduire que f est bijective,

c. Démontrer queD est globalement invariante par ϕ. Quelle est la restric- tion h de f à D ?

d. La restriction de f à P est notée s ; l’application linéaire associée, res- triction de ϕ à P, est notée σ.

Démontrer que σ est défini par

σ (−→ e2

)

= 2 −→ e2 +2

p 3 −→ k et σ

(−→ k )

=−2 p 3 −→ e2 +2

−→ k .

En conclure que s est une similitude dont on précisera les éléments.

e. Déduire des questions précédentes que f est la composée d’une homo- thétie (dont le centre est O) et d’une rotation r (dont on précisera les éléments).

Démontrer que ces deux applications commutent.

3. On désigne par g l’application affine de P vers P laissant O invariant et dont l’endomorphisme associé γ est défini par

γ (−→ e2

)

= 1

8

(−→ e2 +

p 3 −→ k )

et γ (−→ k )

= 1

8

(p 3 −→ e2 −

p 3 −→ k )

a. L’équation γ (−→ u )

= λ −→ u (où λ est un réel) admet la solution

−→ u =

−→ 0 pour

toute valeur de λ : démontrer qu’il existe deux valeurs particulières de λ , et deux seulement, pour lesquelles cette équation admet d’autres solu-

tions que −→ u =

−→ 0 .

En déduire que γ laisse globalement invariantes deux droites vectorielles D1 et D2 de P que l’on précisera,

Démontrer queD1 etD2 sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux de P.

b. Utiliser les résultats précédents pour démontrer que g s’écrit comme la composée d’une homothétie k (dont le centre est O) et d’une symétrie affine orthogonale a dont on précisera l’axe A .

Démontrer que k et a commutent,

c. Démontrer qu’il existe dansP une droiteA ′ telle que, si a′ désigne la sy- métrie orthogonale par rapport à A ′, la similitude de s (voir 2. d.) puisse s’écrire

s = k−1 ◦a a

Déterminer alors g s.

d. Démontrer que l’application affineu de E dont les restrictions àD et àP sont respectivement h−1 et g est la composée d’une homothétie (dont le centre est O) et d’une symétrie affine orthogonale par rapport à un plan que l’on précisera.

Nantes 2 juin 1974

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