Sciences mathématiques - exercices 6, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’écriture de f, la nature des isométries.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Nantes \

EXERCICE 1

Soit la fonction f qui, à tout x réel, associe

f (x)= (1− x+|x|)ex .

1. a. Simplifier l’écriture de f (x) dans chacun des deux cas :

x> 0, x < 0

b. La fonction f est-elle continue au point 0 ?

c. Calculer le nombre dérivé de f pour tout x strictement négatif.

d. Déterminer la limite de f (x)−1

x lorsque x tend vers zéro.

La fonction f est-elle dérivable au point zéro ?

2. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative dans le plan

rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

EXERCICE 2

Soit P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormé (−→ ı ,

−→

)

.

Soit f l’endomorphisme de P qui, à tout vecteur −→ v = x−→ı +y−→de P, associe le vecteur

−→ v ′ = f

(−→ v )

= (x+ay)−→ı +by−→

a et b sont deux réels donnés. Déterminer suivant les valeurs de a et b le noyau et l’image de cet endomorphisme. À quelle condition est-il bijectif ? Pour quelles valeurs de a et b l’endomorphisme f est-il une isométrie vectorielle ? Préciser la nature des isométries trouvées.

PROBLÈME

Partie A

Décrire l’ensemble

{

(x ; y)(x ; y) ∈Z2 et y(2− x)= x }

Partie B

1. Étudier la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)= x

2− x Représenter graphiquement cette fonction dans le plan P rapporté à un repère

orthonormé R = (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

: on appellera (H) la courbe obtenue.

Retrouver par une discussion graphique les résultats du 1.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. Démontrer qu’on peut définir une suite réelle (un ) ,n ∈N⋆, par la donnée de son premier terme u1 choisi sur [0 ; 1] et par la relation de récurrence un = f (un−1) (pour n > 2), f étant la même fonction qu’à la question précédente.

b. Évaluer u2, u3 ,u4 , en fonction de u1 et trouver par récurrence l’expres- sion de un en fonction de u1 ; étudier les cas particuliers u1 = 0 et u1 = 1. Déterminer la limite de un lorsque n croît indéfiniment.

3. On effectue un changement de repère dans le plan P de telle sorte que le point M de coordonnées (x ; y) dans le repère orthonormé R ait pour coordonnées

x′ = 1 p 2 (xy −3)

y ′ = 1 p 2 (x+ y −1)

dans le nouveau repère R′.

Écrire l’équation de la courbe (H) dans le nouveau repère R′ = (

O′, −→ e1 ,

−→ e2

)

.

Quelle est la nature de (H) ? Quels en sont les éléments remarquables ?

4. Démontrer que le repère R′ est le transformé du repère R par une applica- tion f de P dans P qui est la composée ( f = r t) d’une translation t et d’une rotation r . Quelle est l’application f ?

Partie C

1. On considère l’application ϕ de C− {2} dans C définie par

ϕ(z)= z

2− z .

Quelle est son image C′ ?

On considère l’application f de C− {2} sur C′ qui, à z associe f (z)= z

2− z .

Démontrer que f est injective.

2. On pose z = x+ iy et f (z)= X + iY . Soit M l’image de z dans le plan P rapporté au repère R =

(

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

l’appli-

cation de P dans P qui à tout point M , d’affixe z, associe M ′ d’affixe f (z) sera notée F . Calculer X et Y en fonction de x et y . Déterminer l’ensemble des points du plan P dont les images par F appar- tiennent :

a. à la droite (

O, −→ e1

)

b. à la droite (

O, −→ e2

)

3. Réciproquement, quelles sont les images par F

a. de la droite (

O, −→ e1

)

privée de A(2 ; 0) ?

b. de la droite (

O, −→ e2

)

?

4. Pour tout z, complexe différent de 2, évaluer le produit

|z−2| · | f (z)+1|

et déterminer arg [ f (z)+1] en fonction de arg (z−2). 5. En utilisant la question précédente, déterminer les images par F

a. du cercle dont le centre est A (2 ; 0) et dont le rayon R est non nul.

b. du complément de {A} dans une droite passant par A.

N. B. - Les trois parties A, B, C du problème sont indépendantes.

Nantes 2 septembre 1974

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