Sciences mathématiques - exercices 8, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de P, l’ensemble des points M de P.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1974 Nice \

EXERCICE 1

On décide de former des nombres en base dix en écrivant de gauche à droite quatre chiffres consécutifs dans l’ordre croissant, puis enpermutant les deux premiers chiffres de gauche. Montrer que tous les naturels ainsi obtenus sont des multiples de 11. L’un d’eux N est un carré parfait ; déterminer N .

EXERCICE 2

On donne un plan affine euclidien P associé au plan vectoriel E et, dans le plan P, le rectangle ABCD tel que :

−−→ AB

∥= a et ∥

−−→ AD

∥= 2a a ∈R⋆+

1. On note f l’application de P vers E définie par :

M ∈ P, f (M)= −−→ MA +

−−→ MB +2

−−→ MC +λ

−−−→ MD .

λ est un réel donné.

Comment faut-il choisir λ pour que f soit

– une bijection ? – une application constante ?

Préciser l’image f (M) dans chacun des cas suivants :

λ= 0, λ= 4; λ=−4

2. On considère l’application g de P vers R définie par :

M ∈ P, g (M)=MA2+MB2+2MC2−4MD2

Préciser l’ensemble des points M de P tels que :

g (M)=AB2+2AC2−4AD2.

PROBLÈME

On considère un plan affine P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On note

T(a,b) l’application de P vers P qui, au point M de coordonnées x, y , associe le point M ′ de coordonnées x′, y ′, telles que

{

x′ = ax

y ′ = bx+ 1

a y

où (a ; b) ∈R⋆×R

Partie A

1. Démontrer que l’ensemble E = {

T(a,b) a ∈R ⋆, b ∈R

}

muni de la loi ◦ de com- position des applications, est un groupe.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Montrer que

E ′ = {

T(a, 0)/a ∈R ⋆ }

et E ′′ = {

T(1, b) /b ∈R }

munis de la loi ◦ sont deux sous-groupes commutatifs de E , respectivement isomorphes au groupemultiplicatif

(

R ⋆, ×

)

et au groupe additif (R, +).

3. Montrer que toute application T(a,b) de E peut se décomposer en

T(a,b) = Tl1 ◦T2 = T3 ◦T1

avec T1 ∈E ′, T2 ∈E ′′, T3 ∈ E ′′.

Partie B

1. Déterminer a et b pour que T(a,b) soit involutive.

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par T(a,b).

3. Déterminer l’image D ′ = T(a,b)(D) d’une droiteD dans les deux cas suivants :

a. D a pour équation x = k (k réel donné)

b. D a pour équation y =mx+k (m et k réels donnés).

Partie C

1. Étudier les variations de la fonction réelle de la variable réelle définie par

f (x)= x+ 1

x

et construire sa courbe représentative (H) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Détermi-

ner les points M de (H) tels que la tangente en M à (H) soit perpendiculaire à la droite OM .

2. M1 etM2 étant deux points de (H) d’abscisses respectives x1 et x2 (0< x1 < x2), calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre la courbe (H), la droite d’équation y = x, et les deux parallèles à Oy passant respectivement par M1 et M2.

Partie D

Dans cette partie, b = a− 1

a et on note Sa = T(a, a− 1a )

. Alors si A est le point de coor-

données (1 ; 2), son image N = Sa(A) a pour coordonnées

{

x′ = a

y ′ = a+ 1

a

Ce point N est animé par rapport à (

O, −→ ı ,

−→

)

d’un mouvement défini en fonction

du temps t par a = 2t , t décrivant R en croissant.

1. Montrer que (H) est globalement invariante par Sa c’est-à-dire

M ∈ (H)=⇒ Sa(M) ∈ (H).

2. Préciser la trajectoire du point N . Calculer la vitesse −−−→ V(t) et l’accélération

−−→ Γ(t)

de N , à l’instant t . Montrer que −−−→ Γ(t) est colinéaire à

−−→ ON .

3. Quelles sont les positions de N telles que −−−→ V(t) et

−−−→ Γ(t) soient orthogonaux ?

Indiquer sur la trajectoire les arcs qui correspondent à un mouvement accé- léré, à un mouvement retardé.

4. Calculer l’aire S de la question C 2. lorsque les points M1 et M2 sont les po- sitions du point mobile N à deux instants t et t +1. Vérifier que cette aire ne dépend pas de t .

Nice 2 septembre 1974

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