Sciences mathématiques - exercices 9, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la famille de courbes, la fonction numérique de la variable réelle, les variations de f .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie juin 1975 \

EXERCICE 1

1. Démontrer que si deux entiers naturels x et y sont premiers entre eux, alors 2x + y et 5x +2y sont aussi premiers entre eux.

2. Résoudre dansN⋆×N⋆ le système :

{

(2a +b)(5a +2b) = 1620 ab = 3M

M désigne le plus petit multiple commun de a et b.

EXERCICE 2

Dans un repère orthonormé, on définit la famille de courbes Cm dépendant du pa- ramètre réel m, par l’équation

(m +1)x2− (m −1)y2−8= 0

1. Discuter, suivant les valeurs de m, la nature de la courbe Cm .

2. Tracer, sur unmême graphique, les courbes

3. C−1, C0, C1, C3.

PROBLÈME

Partie A

1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= x − ex −e−x

ex +e−x

a. Vérifier que :

f (x)= x −1+ 2

e2x +1 = x +1−

2

e−2x +1 .

b. Étudier les variations de f .

c. Vérifier que les droites d’équations y = x−1 et y = x+1 sont asymptotes à la courbe représentative de f . Tracer cette courbe.

2. Soit x un nombre réel donné.

a. Justifier l’existence du nombre ∫x+1

x f (t) dt , f étant la fonction précé-

dente.

Soit la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

(x)= ∫x+1

x

(

t − et −e−t

et +e−t

)

dt .

Démontrer que est une application dérivable de R vers R, dont la fonc- tion dérivée vérifie la relation :

′(x)= f (x +1)− f (x).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. En remarquant que l’on a, pour tout x réel

ex+1+e−x−1

ex +e−x = e

1+e−2x−2

1+e−2x = e−1

e2x+2+1

e2x +1

trouver la limite de lorsque x tend vers +∞, vers −∞. Donner alors le tableau de variation de .

c. Calculer

(

1

2

)

. Pouvait-on prévoir le résultat ?

Vérifier que la courbe représentative de la fonction admet pour asymp- totes les droites d’équations

y = x − 1

2 et y = x +

3

2 .

Partie B

Soit C l’ensemble des fonctions numériques d’une variable réelle, continues sur R muni des lois de compositions suivantes

f + g : x 7−→ f (x)+ g (x) λ. f : x 7−→ λ f (x),

où ( f ; g )∈C 2 et λ ∈R, est un espace vectoriel réel. Soit E le sous-espace vectoriel de C engendré par les deux fonctions :

e1 : x 7−→ cosαx, e2 : x 7−→ sinαx,

α est un réel non nul donné.

1. a. Vérifier que E est de dimension 2 et que (e1, e2) en est une base.

b. Soit x un réel donné ; justifier l’existence du nombre

x+1

x f (t)dt

f étant un élément de E dont les coordonnées sur la base (e1, e2) sont notées λ et µ.

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= ∫x+1

x f (t)dt .

Démontrer que f est un élément de E , et donner ses coordonnées dans la base (e1, e2).

2. Soit ϕ l’application de E dans lui-même définie par :

ϕ( f )= .

a. Démontrer que ϕ est une application linéaire. Déterminer sa matrice dans la base (e1, e2).

b. Pour quelles valeurs de α cette application est-elle bijective ?

Nantes 2 juin 1975

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