Sciences mathématiques - exercitation 1, Exercices de Logique mathématique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercitation de sciences mathématiques sur l’équation en z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les racines de l’équation, l’ensemble des racines de l’équation.
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[ Baccalauréat C Montréal juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère dans C l’équation en z :

(1) z6−9iz3+18−26i = 0

et l’équation en Z :

(2) Z 3−1= 0.

1. Montrer que (2+ i) et (1− i) sont des racines de l’équation (1).

2. Résoudre l’équation (2) .

3. Montrer que si z0 est une racine de (1) et Z0 une racine de (2), alors z0Z0 est une racine de (1). En déduire l’ensemble des racines de l’équation (1).

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère la fonction f définie par

f (x)= logx

x .

(log désignant le logarithme népérien).

1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).

Calculer les abscisses x1, x2, x3, x4 des points M1, M2, M3, M4 suivants :

M1 : intersection de (C ) et de l’axe x′Ox,

M2 : point de (C ) où la tangente à (C ) passe par l’origine O du repère,

M3 : point de (C ) où la tangente est parallèle à l’axe x′Ox,

M4 : en x4 la dérivée seconde de f s’annule.

Démontrer que les nombres x1, x2, x3, x4 sont quatre termes consécutifs d’une suite géométrique.

PROBLÈME 13 POINTS

Les questions C 1., 2., 3. et 4. peuvent être traitées indépendamment de celles qui précèdent

Soit M l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que M , muni de l’addition des matrices et de la multiplication d’une matrice par un réel, est un espace vectoriel sur R, et que M , muni de l’addition des matrices et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire.

Partie A

Soit A, I, O les trois matrices de M suivantes :

A=

(

5 −6 3 −6

)

I=

(

1 0 0 1

)

O=

(

0 0 0 0

)

On désigne par E le sous-espace vectoriel de M engendré par A et I, (c’est-à-dire : M est élément de E si et seulement si il existe deux nombres réels a et b tels que : M = aA+bI).

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

1. Montrer que (A, I) est une base de E.

2. Montrer que A2+A−12I= 0.

Montrer que E , muni de l’addition des matrices et de la multiplication des matrices, est un anneau commutatif unitaire.

Partie B

Soit P un plan vectoriel euclidien et (−→ ı ,

−→

)

une base orthonormée de P.

On notera ϕM l’endomorphisme de P dont la matrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

est M.

1. Déterminer par leurs coordonnées dans la base (A, I) les matrices de E qui vérifient la relation :

M2 = I.

2. Déterminer dans chaque cas la nature et les éléments de l’endomorphisme ϕM correspondant. On notera S1 et S2 les endomorphismes obtenus distincts de l’identité de P et de l’homothétie de rapport −1,

Partie C

Soit P un plan affine euclidien associé à P et (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de

P . Soit f et g deux fonctions réelles de la variable réelle :

f : R → R

x 7−→ 1

12

(

11x+7 p x2+2

)

g : R → R

x 7−→ 1

12

(

11x−7 p x2+2

)

1. Étudier les variations de f . Vérifier que les droites d’équation y = 3

2 x et y =

1

3 x

sont asymptotes à la courbe C1 représentation graphique de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Construire C1.

2. Soit C2 la représentation graphique de g dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(On ne demande pas l’étude des variations de g).

Soit∆ la droite affinedont une équation est 11x−12y = 0 etσ la symétrie affine de P par rapport à ∆ dont la direction est la droite vectorielle engendrée par −→ .

Démontrer que C2 =σ(C1).

Dessiner C2 sur la même figure que C1.

3. Soit C la réunion de C1 et C2.

Montrer qu’un point N deP de coordonnées (x ; y) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

appartient à C si et seulement si :

(3x−2y)(x−3y)− 49

12 = 0.

4. Soit −→ u = 3

−→ ı +

−→ ,

−→ v = 2

−→ ı +3

−→ .

Montrer que (

O, −→ u ,

−→ v

)

est un repère de P .

Quelle est l’équation de C dans ce repère ? Quelle est la nature de C ?

Montréal 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

5. Soit Σ1 et Σ2 les applications affines de P qui laissent le point O invariant et dont les endomorphismes associés sont respectivement S1 et S2 définis en

B 2.

Soit N un point de P , N1 son image par Σ1, N2 son image par Σ2.

On désigne par (X ; Y ) les coordonnées de N dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

, par

(X1 ; Y1) celles de N1 et par (X2 ; Y2) celles de N2.

Exprimer X1 et Y1 en fonction de X et de Y .

Exprimer X2 et Y2 en fonction de X et de Y .

Montrer qe Σ1 (C )=Σ2 (C ).

Montréal 3 juin 1979

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