Sciences mathématiques - exercitation 11, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur l'espace vectoriel euclidien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que g est une transformation orthogonale de E, Déterminer l’ensemble des vecteurs invariant...
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[ Baccalauréat C Reims juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit un espace vectoriel euclidien E rapporté à une base orthonormée (

−→

ı , −→

, −→

k )

et

soit l ?endomorphisme g de E dans E défini par :

g (

−→

ı )

=

1

3

(

−→

ı +2 −→

−2 −→

k )

g (

−→

)

=

1

3

(

2 −→

ı − −→

−2 −→

k )

g (

−→

k )

=

1

3

(

−2 −→

ı −2 −→

− −→

k )

1. Montrer que g est une transformation orthogonale de E .

Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants par g . Caractériser g .

2. Déterminer l’imagepar g duplan vectoriel engendré par les vecteurs (

−→

ı + −→

− −→

k )

et (

2 −→

ı − −→

k )

.

EXERCICE 2 4 POINTS

n est un entier naturel deN⋆ et k un entier relatif quelconque. On pose :

zk = cos 2

n + i sin

2

n , En = {zk : k ∈Z}

1. Quel est le nombre d’éléments de En ?

Démontrer que (En , ×) est un groupe abélien G.

Représenter E12 dans le plan complexe.

2. Soit G′ un sous-groupe de G.

a. Démonter que si zk appartient à G ′ et si p est un entier relatif quel-

conque, alors zkp appartient à G ′.

b. En déduire que si G′ contient zk1 et zk2 il contient zd d est le p.g.c.d de k1 et k2.

3. Utiliser le 2. pour trouver tous les sous-groupes de E12.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit la fonction de R dans R définie par (J 2 points)

fm(x)= Log

mx+1

x+m

.

m est un paramètre réel. On appelle (Cm) la courbe représentative de fm dans un

repère orthonormé R = (

O, −→

ı , −→

)

d’unité 2 cm.

On appelle A le point de coordonnées (−1 ; 0) et B le point de coordonnées (1 ; 0).

Partie A

1. Étudier les fonctions fm dans les cas particuliers suivants :

m = 0, m =−1 et m = 1.

Tracer les courbes (C0) , (C−1) et (C1) dans un repère R.

Dans toute la suite, on supposeram ∈R− {−1, 0, 1}.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. Donner, en les justifiant, les ensembles de définition, de continuité, de déri- vabilité de fm . On désignera par la suite par D fm l’ensemble de définition de fm .

a. Démontrer que toutes les courbes (Cm) passent par A et B .

b. Démontrer que les ensembles de définition de fm et f 1 m

sont égaux et

que, pour tout x de ces ensembles

f 1 m (x)=− fm (x)

En déduire que (Cm) et (

C 1 m

)

sont symétriques par rapport à l’axe des

abscisses.

c. Démontrer l’équivalence : x ∈D fm ⇐⇒ (−x) ∈D fm .

Démontrer : si x ∈D fm , fm(x)= fm(−x) ; en déduire que (Cm) et (C−m) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

d. Déduire des questions précédentes, qu’il suffit d’étudier fm et de tracer (Cm) pour m > 1 pour obtenir les courbes (Cm) pour tout élément de R− {−1, 0, 1}.

3. On supposera dans cette question m > 1.

a. Calculer f m (x), f

m étant la fonction dérivée de fm .

b. Étudier les limites de fm aux bornes des intervalles de définition de fm ; en déduire pour (Cm) l’existence d’asymptotes dont onprécisera les équa- tions.

c. Donner le tableau de variations de fm (on ne tracera pas la courbe (Cm)) .

Partie B

Dans cette question m = 2 ; On pourra prendre 0,7 comme valeur approché, de Log 2.

1. Etudier f2 et tracer (C2) dans un repère R. Soit I2 le point d’intersection de

(C2) et de son asymptote parallèle à la droite (

O, −→

ı )

.

Démontrer que I2 est centre de symétrie de (C2).

2. En utilisant A 3. déduire alors la construction de (

C 1 2

)

et (C−2) dans le même

repère que (C2).

3. Soit g la restriction de f2 à

]

−2 ; − 1

2

[

.

a. Démontrer que g est une bijection de

]

−2 ; − 1

2

[

sur R.

b. Définir analytiquement g−1 et construire dans un nouveau repère R la courbe représentative de g .

Reims 2 juin 1979

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