Sciences mathématiques - exercitation 13, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur les variations de f . Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan vectoriel r éel, les points I , A et B de coordonnées respectives.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On dispose de deux dés cubiques dont chaque face a la même probabilité d’appa- raître après un lancer. L’un a une face numérotée 0, deux faces numérotées 1, trois faces numérotées 2 ; l’autre a trois faces numérotées 0, deux faces numérotées 1, une face numérotée 2.

1. On définit une variable aléatoire, X, par la somme des numéros de la face su- périeure de chaque dé après un lancer simultané.

Déterminer la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique et sa variance.

2. Pour chaque lancer simultané des deux dés, on appelle succès la réalisation d’une somme égale à 4. On effectue n lancers des deux dés.

Calculer n tel que l’espérance mathématique du nombre de succès soit égale à 1.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Calculer

(

ex +e−x

2

)2

− (

ex −e−x

2

)2

.

2. Soit f l’application de R dans R définie par :

f (x)= ex −e−x

2 .

a. Étudier les variations de f . Dessiner la courbe représentative de f dans

le plan rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. (On se contentera de

déterminer les points de la courbe d’abscisses −1, 0 et 1 et les tangentes à la courbe en ces points ; on ne demande pas d’étudier les branches infinies).

b. Dire pourquoi f admet une application réciproque g dont on détermi- nera le nombre dérivé pour la valeur y0 = f (x0) en fonction de y0.

c. y étant un réel fixé, résoudre e2x −2yex −1= 0. En déduire l’expression de g puis retrouver g

(

y0 )

.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit E un plan vectoriel r éel, P un plan affine de direction E et (

O, −→ ı ,

−→ )

un repère

de P. On considère les vecteurs

−→ e1 =

1

2

(−→ ı +

p 2 −→ )

, −→ e2 =

1

2

(−→ ı

p 2 −→ )

.

et les points I , A et B de coordonnées respectives :

(

− 1

2 ; 0

)

(

0 1

2 ;

p 2

2

)

et

(

0 1

2 ; −

p 2

2

)

On désigne par :

• ∆1 et ∆2 les droites vectorielles engendrées respectivement par −→ e1 et

−→ e2 ;

D1 et D2 les droites affines contenant I et de directions respectives ∆1 et ∆2.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Partie A

1. a. Démontrer que (−→ e1 ,

−→ e2

)

est une base de E .

b. On appelle p1 la projection vectorielle sur ∆1 de direction ∆2 et p2 la projection vectorielle sur ∆2 de direction ∆1. Démontrer que :

p1+p2 = IdE , p1 ◦p2 = p2 ◦p1 = θE et p1 ◦p1 = p1.

(IdE est l’application identique de E et θE l’application nulle de E ).

2. À tout nombre réel k non nul, on associe l’endomorphisme de E,

ϕk = k ·p1+ 1

k ·p2

et on désigne par Φ(E) l’ensemble des ϕk lorsque k décrit R ⋆.

a. Démontrer que ϕk (−→ e1

)

= k · −→ e1 et ϕk

(−→ e2

)

= 1

k · −→ e2 .

b. En déduire que l’application :

R ⋆ → Φ(E)

k 7−→ ϕk

est bijective.

c. Exprimer ϕk ϕk ′ en fonction de k, k ′, p1 et p2.

Partie B

Un appelle fk l’application affine de P, d’endomorphisme associé ϕk et laissant I invariant. Soit G l ’ensemble des application fk quand k décrit R

⋆.

1. Démontrer que G est stable pour la loi ◦ et que f1 est l’application identique de P.

(On pourra utiliser des résultats de A).

2. Soit ψ : R⋆ → G

k 7−→ fk .

a. Démontrer queψest un isomorphisme de (

R ⋆, ×

)

sur (G, ◦) et préciser la structure de (G, ◦).

b. Pour tout entier naturel n, on définit f n k par :

{

f 0 k

= f1 f n k

= f n−1 k

fk n ∈N⋆

Démontrer que pour tout entier naturel n, f n k = fkn .

Partie C

Soit H la courbe dont une équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

est :

2x2− y2+2x+1= 0.

1. Démontrer que H est une hyperbole admettant D1 et D2 comme asymptotes. Dessiner H . Indiquer les points d’intersection avec l’axe des ordonnées.

2. a. SoitM un point de coordonnées (x ; y), démontrer qu’il existe un couple de réels (α ; β) unique, tel queM soit le barycentre du système pondéré : (A, α) (B, β) (I, 1−αβ).

b. Démontrer qu’un point M appartient à H , si et seulement si le couple (α ; β) déterminé à la question précédente satisfait à 4αβ+1= 0.

Rouen 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

c. Démontrer que H est globalement invariante par toute application fk de G.

Partie D

1. Démontrer que toute application fk de G, transforme tout point M de coor- données (x ; y) en le point M ′ de coordonnées

(

x′, y ′ )

définies par :

x = 1

2

(

k+ 1

k

)(

x+ 1

2

)

+ p 2

4

(

k− 1

k

)

y − 1

2

y = p 2

2

(

k− 1

k

)(

x+ 1

2

)

+ 1

2

(

k+ 1

k

)

y

2. On appellera, par la suite, S l’ensemble des couples d’entiers naturels (X ; Y ) tels que

2X 2−Y 2+2X +1= 0.

a. Démontrer qu’un couple (X ; Y ) appartient à S et satisfait à X 6 3 si el seulement si (X ; Y ) est égal à (0 ; 1) ou (3 ; 5).

b. Soit J et J′ les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (3 ; 5).

Démontrer qu’il existe un seul réel non nul k, tel que fk (J)= J′. On notera g l’application fk ainsi déterminée. Vérifier que g transforme tout point M de coordonnées (x ; y) en M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

défi- nies par :

{

x′ = 3x+2y +1 y ′ = 4x+3y +2

3. On définit une application N → P

n 7−→ Qn en posant :

Q0 = J , Qn = g (Qn−1) , ∀n ∈N⋆. On désigne par (an ; bn ) les coordonnées deQn dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→ )

.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, (an ; bn ) appartient à S .

b. Calculer, pour tout entier naturel n, an et bn en fonction de n.

Rouen 3 juin 1979

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