Sciences mathématiques - exercitation 14, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur deux entiers naturels strictement positifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer le reste de la division euclidienne, Démontrer que l’un des nombres x, y, ...
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[ Baccalauréat C Rouen septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. k et n étant deux entiers naturels strictement positifs calculer

F =

π

0 (sinkx)(cosnx)dx

a. lorsque k = n

b. lorsque k = 2, n = 1

2. n étant un entier naturel strictement positif, calculer

G =

π

0

(

x2−2πx )

(cosnx)dx

en intégrant deux fois par parties.

EXERCICE 2 3 POINTS

1. Soit x un entier relatif. Déterminer le reste de la division euclidienne de x3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x.

En déduire que pour tout entier relatif x, on a :

(

x3 ≡ 0 [9] )

⇐⇒ (x ≡ 0 [3]) (

x3 ≡ 1 [9] )

⇐⇒ (x ≡ 1 [3]) (

x3 ≡ 8 [9] )

⇐⇒ (x ≡ 2 [3])

2. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x3+y3+z3 soit divisible par 9. Démontrer que l’un des nombres x, y, z est divisible par 3.

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x, définie par

f (x)= x4−6x2+1

x3− x

et sa courbe représentative (C), dans un repère orthonormé.

1. a. Montrer qu’il existe trois constantes réelles, α, β, γ telles que pour tout x de l’ensemble de définition de f on ait :

f (x)= x α

x

β

x −1 −

γ

x +1

b. Étudier les variations de la fonction f . Déterminer les asymptotes de la courbe (C) et son centre de symétrie.

Résoudre les équations f (x)= 0 et f (x)= x.

Tracer la courbe (C).

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. On considère la fonction polynôme Pa définie par

Pa (x)= x 4 −ax3−6x2+ax +1.

Vérifier, en utilisant les résultats sur les variations de f , que l’équation

Pa (x) = 0 admet, quel que soit le paramètre réel a, quatre racines réelles dis- tinctes.

Partie B

On considère l’application ϕ, de C− {1} dans C, définie par

ϕ(z)= 1+ z

1− z .

On note ϕ(z)= ζ. m désigne le point d’affixe z,M celui d’affixe 3 , A et A′ les points d’affixes respectives 1 et −1. On note |z| le module de z. On pose z = x+ iy et Z = X + iY avec x, y, X et Y réels.

1. a. Exprimer X et Y en fonction de x et y .

b. Déterminer l’ensemble des points m tels que ζ soit réel.

c. Déterminer l’ensemble des points m tels que ζ soit imaginaire pur.

2. a. Quelles distances représentent |1− z| et |1+ z| ?

Déterminer l’ensemble des points m tels que |ζ| = 1 .

b. Démontrer que l’ensemble (Ck ) des points m tels que |ζ| = k, où k est un réel strictement positif et différent de 1, est un cercle dont on détermi- nera le centre et le rayon.

Partie C

Soit z1 un nombre complexe autre que −1, 0 et 1 et :

z2 =ϕ (z1) , z3 =ϕ (z2) , z4 =ϕ (z3) , z5 =ϕ (z4)

ϕ est définie au B.

1. a. Exprimer z2, z3, z4, z5 en fonction de z1.

Etudier les cas particuliers z1 = i et z1 =−i.

b. Calculer z1 · z3 ; z2 · z4 ; (z1+ z3) · (z2+ z4).

2. On pose z1+ z2+ z3+ z4 = a.

Développer, réduire et ordonner (z z1) (z z2) (z z3) (z z4), exprimer le ré- sultat en fonction de z et a.

3. On pose, pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, zn = xn + iyn xn et yn sont réels.

Montrer, en utilisant B 1. a. que les quatre nombres y1, y2, y3, y4 sont demême signe.

Que peut-on dire de z1, z2, z3, z4 si a est réel ?

Quel résultat du A retrouve-t-on ainsi ?

Rouen 2 septembre 1979

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