Sciences mathématiques - exercitation 15, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur l’ensemble des couples. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère, la relation.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Résoudre dans C l’équation

z2− (

2+ p 3i

)

z−2+ p 3i= 0.

2. Soit P un plan affine euclidien orienté muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

ortho-

normé direct. On considère l’application f de P dans P qui au pointM d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (

− 1

2 + i

p 3

2

)

z+ 5

2 + i

p 3

2 .

a. Montrer que f est un antidéplacement.Montrer que f = sDt −→ω sD est la symétrie orthogonale par rapport à une droite D et t −→

ω la translation

de vecteur −→ ω , ω appartenant à la direction deD ; déterminerD et ω.

b. Soit C le cercle de centre Ω de coordonnées (

0 ; − p 3 )

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et de rayon 1. Déterminer l’image par f deC .

EXERCICE 2 3 POINTS

Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers naturels qui vérifient

{

δ = 60 µ = 3600

ou δ désigne le pgcd de x et y et de y, µ leur ppcm.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère R = (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé.

Pour toutm réel, on noteCm l’ensemble des pointsM , dont les coordonnées (x ; y),

strictement positives dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, vérifient la relation :

logx · log y =m.

1. Montrer que pour toutm réel, Cm est non vide.

2. Définir analytiquement la symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équa- tion y = x. Montrer que pour toutm de R, Cm est globalement invariant dans cette symétrie.

3. Déterminer C0.

4. a. Montrer que si m est non nul, Cm est la représentation graphique de la

fonction fm :R⋆+ → R

x 7−→ e m

logx et vérifier que fm est involutive.

b. Étudier les limites de fm aux bornes de son ensemble de définition.

c. Pour tout réelm non nul, on considère la fonction gm définie par

gm :R+ → R x 7−→ fm (x) pour x élément deR⋆+− {1} 0 7−→ 1 1 7−→ 0

.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Dresser dans chaque cas (m strictement positif etm strictement négatif) le tableau de variation de gm

5. Étudier la limite de e

m logx −1

m logx

, quand x tend vers zéro par valeurs positives (m

est un réel non nul).

Étudier la limite de m

logx e

m logx , quand x tend vers 1, par valeurs inférieures

pourm strictement positif, par valeurs supérieures pourm strictement néga- tif.

En déduire que :

pourm > 0 lim x → 0 x > 0

gm(x)− gm (0) x

=−∞

pourm < 0 lim x → 0 x > 0

gm(x)− gm (0) x

=+∞

pourm > 0 lim x → 0 x > 0

gm(x)− gm (1) x−1

= 0

pourm < 0 lim x → 0 x > 0

gm(x)− gm (1) x−1

= 0

.

Donner des vecteurs directeurs des demi-tangentes à la courbe représentative de gm aux points d’abscisse 0 et 1.

6. a. Représenter graphiquement C1, C−1 et C0 sur une même figure.

Préciser les intersections deC1 et de la droite d’équation y = x et donner un vecteur directeur des tangentes en ces points,

b. Soit C l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) dans le re-

père (

O, −→ ı ,

−→

)

vérifient la relation :

log2 |x| · log2 |y | = 1.

Montrer que les droites d’équation x = 0 et y = 0 sont axes de symétrie deC et que l’ensemble des points deC , dont les deux coordonnées sont positives est égal à C1∪C−1. En déduire la représentation graphique de C .

7. On considère le point mobile M1 dont les coordonnées à tout instant t supé-

rieur ou égal à 1 sont données dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

par :

{

x1(t) = e−t

y1(t) = e 1 t

a. Donner la trajectoire dumouvement et préciser le sens de parcours.

b. Préciser si le mouvement est uniforme, accéléré ou retardé sur l’inter- valle de temps [1 ; +∞[.

c. On considère le point M2 mobile sur C1 qui à tout instant t a même abs- cisse queM1. Donner les coordonnées

(

x2(t) ; y2(t) )

deM2 à tout instant t supérieur ou égal à 1.

Donner la trajectoire deM2 et préciser le sens de parcours.

On appelle −−−→ V1(t) la vitesse de M1 à l’instant t et

−−−→ V2(t) la vitesse de M2 à

l’instant t .

Comparer ∥

−−−→ V1(t)

∥ et ∥

−−−→ V2(t)

∥ à tout instant t .

Strasbourg 2 juin 1979

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