Sciences mathématiques - exercitation 16, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le barycentre des points. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des points M de E, Montrer que x est associative.
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[ Baccalauréat C Togo juin 1979 \

EXERCICE 1 4 points

On considère dans le plan affine euclidien E, le carré (A, B, C, D) de diagonales [A, C] et [B, D]. Soit I le point de E défini par :

−→

AI = 2 −−→

AC .

1. Déterminer trois réels m, n, p, tels que I soit le barycentre des points A, B, D affectés des coefficients respectifsm, n, p.

2. Déterminer l’ensemble des points M de E tels que :

3 −−→

MA 2 = 2 −−→

MB 2+2 −−−→

MD 2.

3. Déterminer l’ensemble des points M de E tels que :

2 −−→

MA 2+ −−→

MB 2 = −−→

MC 2+2 −−−→

MD 2

EXERCICE 2 4 points

On considère l’ensemble A des entiers naturels n tels que si l’on divise n par p on obtient pour reste p−1, avec p ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Déterminer le plus petit élément de A.

PROBLÈME 12 points

Soit P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

À tout couple de points M de coordonnées (x ; y) et M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

on associe le point noté M M ′ de coordonnées (xx′+4y y ′ ; xy ′+ yx′)

(M ; M ′) 7−→M M

On définit ainsi une loi de composition interne dans P notée ⋆.

Partie A (4 points)

1. Montrer que ⋆ est associative.

(P, ⋆) est-il un groupe commutatif ?

2. Déterminer les éléments de P inversible pour ⋆.

3. Soit H la courbe d’équation x2t −4y2−1= 0.

Représenter H et démontrer que (H ,⋆) possède une structure de groupe com- mutatif.

Partie B (4 points)

Soit I un point fixé de P de coordonnées (a ; b). On définit une application fI du plan P dans lui-même par :

fI(M)=M ′ = I⋆M .

1. Montrer que fI est une application affine,

Comment doit-on choisir I pour que fI soit bijective ?

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par fI ; discuter.

Terminale C A. P. M. E. P.

3. Déterminer I pour que fI soit une involution.

Préciser la nature et les caractéristiques de chacune des applications obte- nues.

4. On désigne par F l’ensemble des applications fI bijectives. Démontrer que (F , ◦) possède une structure de groupe commutatif.

Partie C (4 points)

Soit ϕ1 l’endomorphisme associé à f1.

1. Déterminer une base (

−→

u , −→

v )

du plan vectoriel associé à P telle que la matrice

de ϕ1 dans cette base soit de la forme

(

α 0 0 β

)

(α ; β) ∈R2.

2. On considère les suites (un ) et (vn) de réels définies par u0, v0 et les relations de récurrence

{

un = un−1+4vn−1 vn = un−1+ vn−1

Donner en fonction de u0, v0 et n les valeurs de un et vn .

Togo 2 juin 1979

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