Sciences mathématiques - exercitation 17, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le repère orthonormé. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des points M de P, Démontrer que l’ensemble de définition de f est l’intervalle D.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit un plan affine P, muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Dans P, on considère les n points A1, A2, . . . , An dont les affixes dans ce repère sont les racines dans C de l’équation

(1) zn = 1 (n ∈N, n > 2).

On désigne par z1 le nombre complexe z1 = cos 2π

n + i sin

2π

n .

1. Exprimer en fonction de z1 les n racines de l’équation (1).

Déterminer l’isobarycentre des points A1, A2, . . . , An .

(On rappelle que l’isobarycentre d’un ensemble de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients tous égaux).

2. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que

−−−→ MA1 +

−−−→ MA2 +·· ·+

−−−→ MAn

∥=n.

3. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que

MA21+MA 2 2+·· ·+MA

2 n = 2n.

EXERCICE 2 3 POINTS

On considère l’ensembleΓ des pointsMd’un plan affine euclidien dont les coordon-

nées (x ; y) par rapport à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

satisfont à la relation :

y4

16 = x4−2x2+1.

Démontrer que Γ est la réunion de deux coniques. On dessinera ces deux coniques après avoir déterminé leurs axes, leurs sommets, leurs foyers et les asymptotes éventuelles.

PROBLÈME 14 POINTS

Soit la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)= 1

2 log

1+ x

1− x .

Partie A

1. Démontrer que l’ensemble de définition de f est l’intervalle D = ]−1 ; +1[.

Démontrer que f est une fonction continue sur D.

Démontrer que f est une fonction impaire.

2. Étudier les variations de f .

Démontrer que f est une bijection de D sur R.

On désigne par f −1 la fonction réciproque de f . Exprimer f −1(x) pour x ∈ R. Pour cela, on résoudra l’équation d’inconnue y, x = f (y), x étant un réel donné.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

3. Soit respectivementC etC ′ les courbes représentatives de f et f −1 par rapport

à unmême repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Écrire une équation de la tangente

à la courbeC au point d’abscisse x = 0.

Étudier la position de C par rapport à cette tangente : on pourra étudier les variations de la fonction ϕ : x 7−→ f (x)− x (x ∈D).

Tracer les courbes C et C ′ dans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On prendra comme unité de longueur : 4 cm).

Partie B

1. Démontrer que, quels que soient les réels x et y appartenant à D, on a

x+ y

1+ xy

< 1.

Ceci permet de définir dans D une loi de composition interne, notée ⋆, telle que :

∀(x ; y)∈D2, xy = x+ y

1+ xy .

Démontrer que ∀(x ; y) ∈D2, f (xy)= f (x)+ f (y).

Quelle est la structure de (D,⋆) ?

2. Soit a un réel quelconque de D. On pose

a(1) = a, a(2) = aa et pour tout n, entier naturel non nul a(n+1) = a(n)⋆a.

Démontrer par récurrence que : ∀n ∈N⋆, f [

a(n) ]

=n f (a).

En déduire la relation :

n ∈N⋆, 1+a(n)

1−a(n) =

(

1+a

1−a

)n

(1)

Démontrer que la suite terme général a(n), (n ∈N⋆) a une limite quand n tend vers +∞, et étudier sa limite suivant les valeurs de a (On pourra utiliser la relation (1)).

Partie C

1. Soit g une fonction numérique de variable réelle, continue, dérivable, stric- tement monotone sur un intervalle ouvert J. On désigne par g ′ sa fonction dérivée sur J et par g−1 la fonction réciproque de g .

Soit Id la fonction définie par : ∀x ∈ J, Id(x)= x.

Pourquoi la fonction g−1 admet-elle des primitives sur g (J) ?

Soit Γ une primitive de g−1. Démontrer que Γ◦ g est une primitive de Id·g ′.

En déduire que :

∀(x ; y) ∈ J2 ∫g (y)

g (x) g−1(t)dt =

y

x t · g ′(t)dt .

2. f étant la fonction étudiée dans la partie A et x un nombre quelconque de D, calculer

x

0 t · f ′(t)dt .

Démontrer que : ∀y ∈R, ∫x 0 f

−1(t)dt = log ey +e−y

2 .

On pourra utiliser la 1re question de la partie C.

Toulouse 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

3. Soit A le domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) vérifient les conditions

06 x 6 1 et 06 y 6 1 et f −1(x)6 y 6 f (x).

Soit B le domaine plan, ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) vérifient les conditions :

−16 x 6 1 et −16 y 6 1 et ∣

f −1(x) ∣

∣6 |y |6 | f (x)|.

a. Utiliser le dessin de A 3. pour hâchurer les domainesA etB ainsi définis.

b. Calculer ∫1

0 f −1 dt .

c. En déduire, en cm2, l’aire du domaine A et l’aire du domaine B.

Toulouse 3 juin 1979

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