Sciences mathématiques - exercitation 18, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur l’ensemble des entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le barycentre G du système, l’ensemble des points M de P.
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit S l’ensemble des entiers relatifs n solutions de l’équation :

3n2+2n−1≡ 0 (mod5).

Déterminer S.

Quel peut être, en base 5, le chiffre des unités de l’écriture d’un entier naturel appar-

tenant à S ? Même question en base 10.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan affine euclidien P, on considère un carré (A, B, C, D) tel que −−→ AB =

−−→ DC ;

on pourra utiliser les points I et J, milieux respectifs des segments [B, C] et [A, D].

1. Déterminer le barycentre G du système (A, 1), (B, −3), (C, −3), (D, 1).

2. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que :

−−→ MA 2−3

−−→ MA ·

−−→ MB −3

−−→ MA ·

−−→ MC +

−−→ MA ·

−−−→ MD = 0.

3. Soit f l’application de P dans P qui, au point M , fait correspondre le point M

défini par :

−−−−→ M M ′ =

−−→ MA −3

−−→ MB −3

−−→ MC +

−−−→ MD .

L’application f est-elle une application classique ? Si oui, en préciser les élé-

ments caractéristiques.

PROBLÈME 13 POINTS

Les parties B et C sont indépendantes

Dans tout le problème, M est l’espace vectoriel sur R des matrices carrées d’ordre 2

à coefficients réels, et on considère les quatre éléments de M :

I=

(

1 0

0 1

)

, Ω=

(

0 0

0 0

)

, J=

(

1 1

−1 −1

)

et A = aI+bJ, où (a ; b) est fixé dans R2.

Partie A

1. On considère l’application linéaire ϕ de R2 dans M définie par :

(x ; y) 7−→ϕ(x ; y)= xI+ yJ.

Montrer que ϕ est injective, que l’image, E , de ϕ est un plan vectoriel de base

(I ; J).

2. Montrer que J2 =Ω.

Pour les couples (x ; y) et (

x′ ; y ′ )

de R2, on pose X = xI+ yJ et X ′ = x′I+ y ′J.

Montrer que le produit des matrices X et X ′, noté X ·X ′, est élément de E , et

calculer ses coordonnées dans la base (I ; J) en fonction de x, y, x′ et y ′. Est-ce

que X ·X ′ = X ′ ·X ?

Quels sont tous les X de E tels que X 2 =Ω ?

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. On considère l’application linéaireψ de E dans lui-même définie par :

X 7−→ψ(X )= A.X

Trouver le noyau de ψ (on distinguera les trois cas : a 6= 0, a = 0 et b 6= 0, a =

b = 0).

Montrer que I appartient à l’image deψ si et seulement si a 6= 0.

4. Soit un entier n > 0. Montrer que An = anI+nan−1bJ. (on pourra raisonner par récurrence sur n).

Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes :

P (a) = 1+a +a2+·· ·+an−1, pourn > 0eta 6= 0

P ′(a) = 1+2a +3a2++(n−1)an−2 pourn > 1eta 6= 0.

(on distinguera les cas : a 6= 1 et a = 1.)

En déduire (

αn ; βn )

élément de R2, défini par :

αn I+βnJ= I+ A+ A 2 +·· ·+ An−1.

Si on suppose |a| < 1, montrer que les limites suivantes :

α= lim n→+∞

αn et β= lim n→+∞

βn

existent, et les calculer. (On rappelle que, si |a| < 1, lim n→+∞

n.an = 0).

Montrer que αI+βJ est la matrice inverse de la matrice I −A, quand |a| < 1.

Partie B

On suppose, dans cette partie, que a > 0 et que E est muni d’une structure eucli-

dienne telle que (I ; J) soit une base orthonormée.

On définit la fonction vectorielle de R dans E :

t 7−→ E(t)= at I+ t at−1bJ

1. Montrer que pour tout (t ; s) appartenant àR2, lamatrice E(t+s) est le produit E(t) ·E(s) des matrices E(t) et E(s).

Que sont E(0) et E(1) ?

Retrouver l’expression de An du A 4. pour n entier positif.

Montrer que E(−t) est l’inverse de E(t).

2. Calculer E′(t), E′ étant la fonction vectorielle dérivée de E.

Montrer qu’il existe B appartenant à E tel que E′(t) = B ·E(t) pour tout t ; on

exprimera B en fonction de a et b.

3. On suppose a = b = e où e est la base des logarithmes népériens.

Montrer que l’ensemble des couples (x ; y) de R2 tels qu’il existe un réel t

satisfaisant à E= xI+ yJ est l’ensemble {

(x ; y) ;x > 0, y = xLog x }

.

Partie C

1. On considère A1 = a1I+b1J et A2 = a2I+b2J, éléments de E .

Montrer que A1 ·A2 =Ω si et seulement si : ou bien A1 =Ω, ou bien A2 =Ω, ou

bien a1 = a2 = 0.

Trouver tous les X = xI+yJ de E tels que (X A1)·(X A2)=Ω (on distinguera

les cas a1 6= a2 et a1 = a2).

Toulouse 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Soient a j et b j ( j ∈N⋆) deux suites de réels. On pose

A j = a j I+b j J

a. On considère l’application linéaire f définie de E dans R par :

f (X )= x avecX = xI+ yJ.

Montrer que f (

X ·X ′ )

= f (X ) f (

X ′ )

pour tous X et X ′ de E .

En déduire par récurrence sur n que f (A1 · A2 · · · · An)= a1a2 · · ·an .

b. On suppose que ∀ j , A j 6= Ω. Montrer par récurrence sur n que si A1 · A2 · · · · An = Ω, il existe i et j éléments distincts de {1, 2, · · · , n} tels que

ai = a j = 0 ; (on utilisera le C 1. a. et le C 2. a.)

Réciproquement, montrer que s’il existe i et j , avec 16 i < j 6 n tels que

ai = a j = 0, alors A1 · A2 · · · · An =Ω.

Toulouse 3 septembre 1979

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