Sciences mathématiques - exercitation 5, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la partie imaginaire de S, le plan vectoriel.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère le nombre complexe z = cos 2π

7 + i sin

2π

7 .

1. On pose S = z+ z2+ z4 et T = z3+ z5+ z6.

Montrer que S etT sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive.

2. Calculer S+T, ST puis en déduire S et T .

EXERCICE 2 4 POINTS

1. a. Trouver tous les couples (p, q) d’entiers relatifs tels que 11p−9q = 2.

b. En déduire les entiers relatifs X qui vérifient

{

X ≡ −1 [9] X ≡ −3 [11].

2. Soit N = anan−1 · · ·a0 un nombre entier naturel écrit en base dix.

a. Quelles relations doivent vérifier anan−1 · · ·a0 pour que N soit divisible par 99 ?

b. Déterminer les chiffres x et y pour que l ?entier N = 10x0009y soit divi- sible par 99.

PROBLÈME 12 POINTS

Dans tout le problème, P désigneunplan affine euclidien, −→ P le plan vectoriel associé

à P, (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de P.

Partie A

1. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par

g (x)=− 1

2 +

x

2 p x2+1

.

Étudier la continuité et la dérivabilité de g ; en déduire les variations de g , démontrer que g permet de définir une bijection de R sur ]−1 ; 0[.

2. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)=− x

2 + 1

2

x2+1.

Étudier la fonction f ; étudier la position de la courbe représentative de f ,C f ,

par rapport à ses asymptotes, puis construire C f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(On représentera l’unité par deux centimètres.)

3. Déduire de l’étude précédente l’existence d’un intervalle E de R, à préciser, tel que f permette de définir une bijection de R sur E.

Vérifier que la bijection réciproque (que l’on notera abusivement f −1) est telle

que, pour tout x de E : f −1(x) = 1

4(x−1) +1− x ; tracer la courbe de C f −1 re-

présentant f −1 dans (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

4. Justifier l’existence des réels suivants :

A = ∫1

0

x2+1dx, B = ∫ 3

2

1+ p 2

2

f −1(x)dx, C = ∫1

0 f (x)dx.

a. Calculer B, interpréter graphiquement le réel B.

b. En déduire C, puis A.

Partie B

Dans cette partie, −→ P est orienté, et

(−→ ı ,

−→ ı

)

est une base orthonormé directe.

1. Établir une équation cartésienne deC ′, image deC f par la symétrie de centre Ω ayant pour coordonnées (0 ; 1).

2. En déduire une équation cartésienne de H = C ′∪C f et construire H dans P

rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Soit s l’application affine de P dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ =

(

cos π8 + isin π

8

)

z+ i.

On note ϕ l’endomorphisme de −→ P associé à s.

a. Quelle est la nature de s ? Donner ses éléments caractéristiques.

b. Vérifier queΩ= s(O) ; soit −→ I =ϕ

(−→ ı

)

, −→ J =ϕ

(−→

)

.

Établir une équation cartésienne de H dans le repère (

Ω ; −→ I ,

−→ J

)

.

En déduire la nature de H.

Orléans–Tours 2 juin 1979

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