Sciences mathématiques - exercitation 6, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le système décimal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'application linéaire bijective, l’ensemble des éléments.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Étudier la fonction f :R→R définie par

f (x)= Log x

x

et tracer sa représentation graphique.

2. Montrer qu’il y a un unique couple (x ; y) d’entiers naturels non nuls tels que :

x y = y x et x < y.

3. Pour tout entier n > 3, on pose

un = Log3

3 + Log4

4 +·· ·+

Logn

n

a. Comparer un à ∫n+1

3 f (x)dx.

b. En déduire la limite de la suite (un)n>3 lorsque n tend vers l’infini.

EXERCICE 2 3 POINTS

1. Dans le système décimal, déterminer le chiffre des unités de 2n et de 7n , sui- vant les valeurs de l’entier naturel n.

2. Application : Trouver le chiffre des unités du nombre 35489×253731 ?

PROBLÈME 13 POINTS

Les notations et résultats donnés dans l’énoncé du 1 sont utiles dans les questions 2, 3, 4 de B.

Soit le nombre complexe − 1

2 + i

p 3

2 .

On pourra utiliser sans la démontrer l’égalité 1+ + 2 = 0.

Partie A

C et considéré comme espace vectoriel sur R de base B = (1 ; i). Soit ϕ l’application de C dans C qui à tout complexe z = x + iy associe le complexe ϕ(z)= x + y .

1. Montrer que ϕ est une application linéaire bijective.

2. Pour tout z appartenant à C, on pose N (z)= |ϕ(z)|2. Montrer que N (x + iy)= x2− x y + y2.

3. SoitΩ l’ensemble des complexes z vérifiant N (z)= 1.

Ω= {z ∈C, N (z)= 1

Soit Ω′ l’ensemble des éléments de Ω dont les coordonnées dans B sont des entiers relatifs.

Ω ′ = {z ∈Ω, ∃(x ; y) ∈Z2 z = x + iy

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

a. Montrer que si z = x + iy appartient àΩ′, alors

|x|6 1 et |y |6 1

b. En déduire queΩ′ est formé de six éléments que l’on déterminera.

c. Déterminer ϕ (

Ω ′). Donner le module et un représentant de l’argument

de chaque élément de ϕ (

Ω ′).

Montrer que ϕ (

Ω ′) est un groupemultiplicatif commutatif.

Partie B

SoitP unplan affine euclidien rapporté au repère orthonormédirectR = (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Un point M de P est repéré par ses coordonnées (x ; y) dans R ou par son affixe z = x + iy .

1. Montrer que l’image d’une ellipse de foyers F et F′, de grand axe de longueur 2a par une isométrie affine est une ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe.

2. Soit E l’ellipse dont une équation cartésienne dans R est

x2

2 +

y2

2 = 1.

a. Déterminer les foyers et la longueur du grand axe de E.

b. Trouver une équation cartésienne dansR de l’image de E par la rotation

de centre O et dont une mesure de l’angle est π

4 (en radians).

c. On appelle Γ (resp. Γ′) l’ensemble des points de P dont l’affixe appar- tient àΩ (resp.Ω′) (Ω etΩ′ définis au 1).

Déduire du b. la nature de Γ. Dessiner Γ et Γ′.

3. Soit

A = (

a b b a b

)

une matrice à coefficients réels, de déterminant égal à 1.

Soit F l’application affine deP dansP telle que F (0)= 0 et dont l’application linéaire associée a pour matrice A dans la base

(−→ u ;

−→ v

)

.

(Si M a pour affixe z, on notera f (z) l’affixe de F (M).

a. Montrer que, pour tout z appartenant à C, N ( f (z)) = N (z). En déduire que F (Γ) est inclus dans Γ.

b. Montrer que pour tout z appartenant à C on a

ϕ( f (z))= (a + b)ϕ(z).

En déduire que, pour tout z appartenant à C

(ϕf ϕ−1(z)= (a + b)z.

c. Soit φ l’application ponctuelle associée à l’application complexe ϕ. (Si M a pour affixe z, φ(M) a pour affixe ϕ(z).

Déduire du b. la nature de l’application φ F φ−1. En préciser les élé- ments caractéristiques.

Orléans–Tours 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

d. Soit G une application de P dans P . On pose G1 = G et pour tout n appartenant àN⋆, on a Gn+1 =G Gn . Soit n ∈N⋆. Montrer que Gn est égale à l’application identique deP si et seulement si φGn φ−1 est égale à l’application identique de P .

4. Soit A0 le point de coordonnées (1 ; 0) dans R. Pour tout n appartenant à N⋆, on pose An = F n (A0). Soit S l’ensemble des points An lorsque n décritN.

a. Montrer que, si a = b = 1, alors S = Γ′. b. Montrer que S est inclus dans Γ′ si et seulement si a+ ib appartient àΩ′.

Préciser l’ensemble des éléments deΩ′ pour lesquels l’inclusion est une égalité.

Orléans–Tours 3 septembre 1979

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