Sciences mathématiques - exercitation 7, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur les paires d’entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le calcul, l'intégration par parties, l’application de C dans C.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1979\

EXERCICE 1 4 POINTS

Déterminer les paires d’entiers naturels {a ; b} vérifiant

m−18d = 791

m est le P. P. C. M. et d le P. G. C. D. des nombres a et b.

EXERCICE 2 4 POINTS

Le but de cet exercice est le calcul de

I = ∫

π

4 0

cos5 x dx.

Pour tout entier naturel n on pose

In = ∫

π

4 0

1

cos2n+1 x dx.

1. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que

x ∈ [

0 ; π

4

]

, 1

cosx =

a cosx

1− sinx +

b cosx

1+ sinx .

En déduire le calcul de I0.

2. Montrer, par une intégration par parties, que

n ∈N⋆ 2nIn = (2n−1)In−1+ 2n p 2 .

3. En déduire le calcul de I .

N.B. On ne donnera pas de valeur décimale approchée de I0 ou de I .

PROBLÈME 12 POINTS

Soit un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

À tout point M de P de coordonnées (x ; y) dans le repère choisi, on associe le nombre complexe z = x+ iy qu’on appelle son affixe. Soit F l’application de C dans C (C désignant l’ensemble des nombres complexes) qui à z fait correspondre

z ′ = z

1+|z| .

et soit Φ l’application de P dans P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′. Pour les figures et les représentations graphiques onpourra prendre 2 cmd’unité.

Partie A

1. On pose z1 =−2 et z2 = 1+ i p 3.

Soit M1 et M2 les points d’affixes z1 et z2. Déterminer z ′1 = F (z1) , z ′ 2 = (z2) et

placer sur une figureF les points M1, M2,M ′1 =Φ (M1) , M ′ 2 =Φ (M2).

Le baccalauréat de 1979 A. P.M. E. P.

2. a. Soit l’application

f : R → R x 7−→

x

1+|x|

Étudier les variations de f ; on étudiera en particulier la continuité et la dérivabilité.

Représenter graphiquement f dans un plan affine euclidien muni d’un

repère orthonormé (

Ω ; −→ ı ,

−→

)

; déterminer les asymptotes.

b. On désigne par D0 la droite (

O, −→ u

)

de P . Montrer que Φ (D0) est une

partie de D0 que l’on déterminera ; montrer que la restriction de Φ à D0 est une application injective.

Si M et N sont deux points distincts de D0, quelle est l’image par Φ du segment [MN ] ?

3. Soit r une rotation de P de centre O. Montrer que pour tout point M de P

Φ[r (M)]= r [Φ(M)].

(On pourra associer à r une application de C dans C, de la forme z 7−→ az, a nombre complexe convenable).

4. Déterminer Φ(P ) ; montrer que l’application F est injective.

Demême déterminer F (C) et montrer que F est injective.

Partie B

Soit ∆ l’application deP ×P dans R+ qui au couple (M , N ) de points deP d’affixes respectifs (m, n) fait correspondre

∆(M , N )= |F (m)−F (n)| = ∣

m

1+|m| −

n

1+|n|

.

1. M1 etM2 étant définis en A 1, calculer :

∆(O, M1) , ∆(O, M2) , ∆(M1, M2) .

(On pourra contrôler les calculs sur la figureF .)

2. Vérifier que :

a. Pour tout (M , N ) de P ×P :

∆(M ,N )= 0) ⇐⇒ (M =N );

b. Pour tout (M, N) de P ×P :

∆(M , N )=∆(N , M);

c. Pour tout (M, N, P) de P ×P ×P :

∆(M , P )6∆(M , N )+∆(M , P ).

3. Montrer que le sous-ensemble deR dont les éléments sont les réels de la forme ∆(M , N ) où M ∈P , N ∈P , admet un plus petit majorant que l’on précisera.

Partie C

Paris 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P.M. E. P.

Soit C le cercle de centre O et de rayon 1.

Soit un réelα ∈ ]

0 ; π

2

[

et soit S α la corde du cercle

privée de ses extrémités et perpendiculaire à la

droite (

O, −→ u

)

au point d’abscisse cosα.

On se propose d’étudier la partie de P formée des points dont l’image parΦ appartient à S α.

O −→u

−→ v b

b

S α

1. M ′ étant l’image deM parΦ, calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

deM ′ en fonc- tion des coordonnées (x ; y) de M . Former la relation (E) à vérifier par les coordonnées (x ; y) deM pour que son image M ′ appartienne à S α.

2. Déterminer et tous ses éléments géométriques. Le candidat au le choix entre les deux méthodes suivantes :

a. Traduire la relation (E) en termes de distances. (En particulier on pourra considérer la distance deM à un droite convenable).

b. est une partie d’une conique dont on formera une équation carté- sienne que l’on réduira.

3. Construire S π 3 et placer ses éléments géométriques.

Paris 3 juin 1979

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