Sciences mathématiques - exercitation 8, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le système de points. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelles sont alors les coordonnées de G ? Quelle est la probabilité pour que le système de points pondérés ...
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[ Baccalauréat C Paris–Créteil–Versailles \ septembre 1979

EXERCICE 1 3 POINTS

Dans un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

on donne

par leurs coordonnées le système de points : A(0 ; 1), B(1 ; 0), C(−1 ; 0). Ces points sont pondérés et affectés des coefficients respectifs 1, b, c.

1. Discuter l’existence du barycentre G de ce système de points suivant les va- leurs de b et c.

Quelles sont alors les coordonnées deG ?

2. Le couple (b ; c) est obtenu de la manière suivante :

b est le résultat du premier jet d’un dé dont les faces portent les nombres −3, −2, −1, +1, +2, +3 ;

c est le résultat du deuxième jet dumême dé.

Chaque couple a la même probabilité d’apparition.

a. Quelle est la probabilité pour que le systèmede points pondérés admette un barycentreG dont l’ordonnée est égale à 1 ?

b. Question analogue en imposant au barycentre G d’avoir une abscisse nulle.

c. Question analogue en imposant au barycentreG d’appartenir à l’une ou l’autre des bissectrices des axes du repère.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit unplan affine euclidienorienté Pmuni d’un repère orthonormédirect (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On donne le nombre complexe a = cosθ+i sinθ (θ ∈R) et on désigne par F l’appli- cation de P dans lui-même qui au point M d’affixe le nombre complexe z associe le point M ′ d’affixe z ′ = z+az.

1. On désigne par M1 le point d’affixe az. Donner la nature et la détermination géométrique de l’application F1 de P dans P qui transforme M enM1.

2. Montrer que F est la composée de deux applications simples que l’on préci- sera.

Déterminer F(P) (on pourra construire sur une figure les points M, M1, M′).

3. Déterminer l’ensemble des images dans P des solutions de l’équation :

z+az = 2

(

cos θ

2 + isin

θ

2

)

soit en utilisant la transformation F , soit par le calcul.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit f l’application de R dans R définie par :

f (x)= Log

(

ex +e−x

2

)

où Log désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

1. Étudier les variations de f et montrer que pour tout x de R, f (x)> 0.

2. Dans unplan affine euclidienmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, tracer

la courbeC d’équation y = f (x). Déterminer les asymptotes deC .

Partie B

On désigne par t la dérivée de f : t = f ′.

1. a. Montrer que pour tout x de R : |t(x)| < 1.

b. Montrer que pour tout x de R : t ′(x) = 1− [t(x)]2, en désignant par t ′ la dérivée de t .

c. Montrer que si x ∈]−1 ; +1[, il existe un réel unique X tel que t(X ) = x ; on explicitera X en fonction de x et on notera X = t−1(x).

Montrer que t(R)=]−1 ; +1[.

2. Soit n ∈N et soit X ∈R+. On pose :

In (X )= ∫X

0 [u(t)]n du =

X

0

[

f ′(u) ]n du.

On conviendra que, pour tout u de l’intervalle [0 ; X ], [t(u)]0 = 1.

a. Justifier l’existence de In (X ).

b. Calculer I0(X ) et I1(X ).

c. La question B 1. b donnant [t(u)]2 = 1− t ′(u), montrer que pour tout n> 2 :

In (X )= In−2(X )− 1

n−1 [t(X )]n−1.

d. Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel p > 1

I2p (X )= X

[

t(X )+ 1

3 [t(X )]3+ . . .+

1

2p−1 [t(X )]2p−1

]

(E1)

I2p+1(X )= Log

(

ex +e−x

2

)

[

1

2 [t(X )]2+ . . .

1

2p [t(X )]2p

]

(E2)

e. Montrer que l’on a pour tout entier naturel p :

06 ∫X

0 [t(u)]2p du6 X [t(X )]2p

En déduire, X étant fixé, que la suite :

p 7−→

X

0 [t(u)]2p du

est convergente et donner sa limite.

Partie C

1. En utilisant la relation (E1) et en posant X = t−1(x), démontrer que pour tout x fixé, x ∈ [0 ; 1[, la suite p 7−→ ǫp (x) définie par :

t−1(x)= x+ x3

3 + . . .+

x2p−1

2p−1 +ǫp (x) (E3)

a pour limite 0. En déduire un résultat analogue pour x ∈]−1 ; O[.

2. En utilisant la relation (E3) pour x = 1

3 et p = 3, donner une valeur approchée

a de Log 2 ; comparer à la valeur obtenue dans les tables ; donner unemajora- tion de Log 2−a.

Paris–Créteil–Versailles 2 septembre 1979

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