Sciences statistiques - Exercice 1 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 1 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 1- 2° partie - géométrie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Exercices spécialité géométrie, correction.
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Terminale S 22 http://laroche.lycee.free.fr

Exercices spécialité géométrie

Partie B

1. On pose C = s(B).Montrer que P est le milieu de [BC].

2. a. Déterminer l’écriture complexe de s s et en déduire sa nature.

b. Montrer que l’image de la droite (OP) par s est la droite (OM).

c. Que représente le point M pour le triangle OBP ? Justifier.

2. 26. Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c)

5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique 1 cm).

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives 3 5a i  , 4 2b i   , 1 4c i  .

Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe

z’ définie par  ' 2 2 1z i z   .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.

2. a. Déterminer l’affixe du point B’, image du point B par f.

b. Montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales.

3. Soit M le point d’affixe z x iy  où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M’ l’image de

M par f.

Montrer que les vecteurs 'CM et CA sont orthogonaux si et seulement si 3 2x y  .

4. On considère l’équation (E) : 3 2x y  où x et y sont des entiers relatifs.

a. Vérifier que le couple  4 ; 2 est une solution de (E).

b. Résoudre l’équation (E).

c. En déduire l’ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle

 5 ; 5 et tels que les vecteurs 'CM et CA soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure.

Correction

1.  ' 2 2 1z i z   : similitude directe 42 2 2 2 i

i e

 

  donc rapport 2 2 , angle 4

  . Le centre est tel

que     1 2

2 2 1 1 2 1 5

i i i   

           .

2. a.     ' 2 2 4 2 1 8 8 4 4 1 3 12b f b i i i i i               .

b.   4 8 2' 3 12 1 4 4 8 20

4 3 5 1 4 2 5 5

i ib c i i i i i

a c i i i

             

     donc    , ' arg 4

2 CA CB i

   .

3.   ' 1 2

'. 2 ' 1 ' 4 2 ' ' 6 ' 4 1

x CM CA x y x y

y

            

   .

Par ailleurs       ' 2 2 1 ' ' 2 2 1 2 2 1 2 2z i z x iy i x iy x y i x y               .

On remplace et on annule :  2 2 2 1 2 2 6 0 2 6 4 0 3 2x y x y x y x y             .

4. a.  4 ; 2 est une solution de (E) : 4 3 2 2    .

b.  

      3 2 4 3 3 4

4 3 2 0 1 4 3 2 , 2 24 3 2 2

x y x k x k x y x y k

y k y k

                     

        .

c.   5 3 4 5 1 3 9 1/ 3 3

0, 1, 2, 3 5 2 5 7 3 3 7

k k k k

k k k

                 

             d’où les quatre points :

       4 ; 2 , 1 ;1 , 2 ; 0 , 5 ; 1   .

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Exercices spécialité géométrie

2. 27. Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007

5 points

1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.

On suppose connus les résultats suivants :

- la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;

- la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ;

- une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan.

Soient A, B, C trois points non alignés du plan et s et s’ deux similitudes du plan telles que :

           ' , ' , 's A s A s B s B s C s C   .

Montrer que 's s .

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . La figure sera complétée au fur et à

mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe 1 i , F d’affixe 2 i et G d’affixe 3 i .

a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.

b. Montrer que OEF est l’image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l’écriture complexe de S.

c. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport 1

2 . On pose  'A h A et  'G h G , et on appelle I le

milieu de [EA’]. On note  la symétrie orthogonale d’axe  OI . Montrer que S h .

2. 28. Nouvelle Calédonie, nov 2006

5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v (unité 1 cm).

On construira une figure que l’on complétera au fur et mesure.

1. Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle 3

 . On note B, C, D, E et F les images

respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r. Montrer que B a pour affixe 3 3 3

2 2 i .

2. Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’ensemble suivant :

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ; ; ;

2 2 2 2 2 2 i i i

            

.

3. a. Déterminer r(F).

b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport 1

2 et d’angle

3

 . Soit s’ la similitude directe de

centre E transformant F en C.

a. Déterminer l’angle et le rapport de s’. En déduire l’angle et le rapport de s s .

b. Quelle est l’image du point D par s s?

c. Déterminer l’écriture complexe de s’.

5. Soit A’ le symétrique de A par rapport à C.

a. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A’) puis l’image de A’ par s s .

b. Calculer l’affixe du point A’. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant l’écriture complexe de s s .

2. 29. Amérique du Nord, juin 2006 (c)

5 points

Le plan muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit 

le point d’affixe 2.

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Exercices spécialité géométrie

On appelle r la rotation de centre  et d’angle 4

 , et h l’homothétie de centre  et de rapport

2

2 .

1. On pose h r  .

a. Quelle est la nature de la transformation  ? Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Montrer que l’écriture complexe de  est : 1

: 1 2

i z z i

   .

c. Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z. On désigne par M’ son image par  et on note z

l’affixe de M’. Montrer que  2z z i z    .

2. a. Question de cours :

Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul.Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démonter que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de

centre A et d’angle 2

 est le point Q d’affixe q telle que  q a i p a   .

b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle MM  , pour M distinct de  .

3. Soit A0 le point d’affixe 2 i . On considère la suite  nA de points du plan définis par : pour tout

entier naturel n,  1n nA A  .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe na de nA est donnée par :

 2

4 2

2 2

n n i

na e

       

.

b. Déterminer l’affixe de A3 .

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour 0n n , le point An est dans le disque de centre

 et de rayon 0,01.

Correction

1. a.  est évidemment une similitude directe de centre  , de rapport 2

2 et d’angle

4

 .

b. : z z  avec      4 2 2 2 2 1

' 2 2 2 2 2 2 2 2 2

i i z e z z i z z z

     

                  

d’où

en développant : 1

1 2

i z z i

        

.

c. 1 1

1 1 2 2

i i z z z z i z i

          et  

1 1 2 2 1 1

2 2

i i i z i z i z i

            

  , c’est pareil.

2. a. Question de cours :

Si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et

d’angle 2

 est le point Q d’affixe q telle que

     

2

1

1 , 2

2 arg 2 2

i

q a q aAQ AQ AP

AP p a p a q a e i

AP AQ p aq a

p a

  

         

         

    

, et donc  q a i p a   .

b. Comme on a  2z z i z    , ceci se traduit par : M est l’image de  par la rotation de centre M’,

d’angle 2

 , soit MM  est rectangle isocèle en M’.

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Exercices spécialité géométrie

3. a. Par récurrence : 0 2a i  ; avec la relation donnée :

 0 0 2

24 0

2 2 2 2

2

ii

a e e i

            

; ça

marche au rang 0. On suppose que ça roule au rang n ; au rang n+1 on a alors avec la formule :

 1 3

4 1

2 2

2

n n i

na e

 

      

et d’un autre côté par le calcul :

 

     

2

4 4 4 1

1 1 13 3 3

4 4 4 4

1 2 2 2 1 1 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2.

2 2 2 2 2

n n i i i

n n n

n n nn n n i i i i

i a a i e a i e e i

e e i e i i e

 

  

    

                      

                                 

Ok !

b.

3 5

4 3

2 1 2 2 7 1 2 2

2 2 2 4 42 2

i

a e i i

                   

.

4. Il faut trouver 0n tel que

     0

0 00 0

2 ln 0,012 1 0,01 2 0,01 0,01 ln 2 ln 0,01 13,3

2 2 ln 2

n

n nA a n n  

               

donc 0 14n  .

2. 30. Antilles, juin 2006

5 points

Sur la figure donnée en annexe, on considère les carrés OABC et OCDE tels que :

   ; ; 2

OA OC OC OE

  .

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [IE].

1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E.

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.

On admet que l’angle de la similitude s est égal à 2

 .

3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.

4. Déterminer et placer l’image de C par s.

5. Soit  le centre de la similitude s.

a. Montrer que  appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].

b. Montrer que  ne peut être le point H.

c. Construire  .

6. On considère le repère orthonormal direct  ; ,O OA OC .

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.

b. En déduire l’affixe du centre  de s.

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Exercices spécialité géométrie

I

J

E

D C B

A

y

xO

2. 31. La Réunion, juin 2006

5 points

On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.

ABCD est un carré tel que  , 2

AB AC

  . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment

[CD].

On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par  le centre de cette similitude. 1 est le cercle de diamètre [AI], 2 est le cercle de

diamètre [BJ]. Démontrer que  est l’un des points d’intersection de 1 et 2 . Placer  sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose h s s (composée de s avec elle même).

a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A,  et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )A u v , choisi de manière à ce que les

points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est 1

1 2

z iz i    .

2. Calculer l’affixe du point  .

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.

2. 32. Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c)

5 points

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct ( ; , )O u v , on considère les points A d’affixe 3i

et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

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Exercices spécialité géométrie

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M

d’affixe ' 2 6z i z   où z désigne le conjugué de z.

Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2 . On pose g f h .

a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M’’l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture

complexe de g est '' 2 2z i z i    où z’’est l’affixe de M’’.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe ( ; )O v un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors

la transformation g.

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie hsuivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.

3. Déterminer les droites  telles que f ( ) et  soient parallèles.

Correction

A d’affixe 3i et B d’affixe 6.

Partie A

1. 0 3 6

' 2 6 26 0

a i b b z iz

a ia b

         

    .

Angle : 2

 , rapport : 2, point invariant :    

6 2 6 1 2 6 1 2

5 i i i           .

2. 0 3 60 3

' 2 6 26 06 0

a i b ba i b z i z

a ia ba b

                

       .

Partie B

1.   ' 2 6

' 2 6 ' ' 2 6 ' 2

x y z i z x iy i x iy

y x

             

  .

On cherche le point invariant : 2 6 4 6 2

2 2 4

x y x x x

y x y x y

            

       ; K a pour affixe −2 + 4i.

2. a. et b.   1 1

: '/ ' 2 4 2 4 ' 1 2 2 2

h z z z i z i z z i          .

1 : ' '' 2 ' 6 2 1 2 6 2 2

2 g f h z z z iz i z i iz i

                 

  . Il s’agit bien d’une isométrie car le

module du coefficient de z est 1 ; l’image de K est  2 4 2 2 2 4 2 2 2 4i i i i i i            , on

retrouve bien K.

c.   '' 2

'' 2 2 '' '' 2 2 '' 2

x y z i z i x iy i x iy i

y x

               

   ; si L est invariant il est tel que

2 2 0

2

x y x y

y x

      

   ; s’il est sur ( ; )O v , son abscisse est nulle, soit x = 0, ce qui donne le point 2i.

g. est donc la réflexion d’axe (KL), d’équation 2 0x y   .

d. On a 1 1f f h h g h   donc h’ est l’homothétie de centre K, de rapport 2.

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Exercices spécialité géométrie

3. Comme 1h transforme une droite en une droite parallèle, il suffit que  soit parallèle à (KL) pour que son image le soit également.

2. 33. Spirale, Pondicherry, avril 2006

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendar pour unité graphique 5

cm.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

1 1 ' 1

2 2 z i z        

.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre  (d’affixe  ), le rapport k et l’angle  .

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose  1n nA f A  .

a. Déterminer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points.

b. Pour tout entier naturel n, on pose n nu A  . Justifier que  nu est une suite géométrique puis établir

que, pour tout entier naturel n, 1

2 2

n

nu  

    

.

c. A partir de quel rang 0n tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangle 0 1A A ? En déduire la nature du triangle 1n nA A  .

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi

0 1 1 2 1...n n nl A A A A A A    . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite  nl ?

2. 34. Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c)

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Unité graphique : 4 cm

Partie I

1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives : zI= 1, zJ= i, zH= 1+i, zA= 2, 3

2 Bz i  , zC = 2i

et zD= −1.

2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe 1

1 2

Fz i   .

3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe : ' 2z iz i   .

1. Déterminer les images des points O, A, B par f.

2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?

3. Soit t la translation de vecteur IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t−1.

4. On pose s = f o t−1.

a. Montrer que l’écriture complexe de s est : ' 1z iz i    .

b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.

c. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.

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Correction

Partie I

1. Voir figure.

2. 1

2 (zE +zB ) = zH d’où zE =

1

2 + i

3

2AE z i  ; c’est un vecteur normal à (CF) donc,

l’équation de (CF) est 3

0 2

x y c   et puisqu’elle

passe par C, c = −2. De plus, F est le point de (CF)

d’abscisse –1, son ordonnée est 3

2 2  :

1 1

2 Fz i   .

3. OA = OC = 2, 13

2 B C FOB z z z CF     et

5

2 B A FAB z z z OF     , les triangles OAB et

OCF ont des côtés deux à deux égaux : ils sont isométriques.

Partie II

1. L’image de O a pour affixe 0 2 2i i i    , f(O) = C ; l’image de A a pour affixe 2 2 0i i    , f(A) = O ;

l’image de B a pour affixe 3 1

2 1 2 2

i i i i           

, f(B) = F.

2. a. L’écriture complexe de f est celle d’une similitude indirecte. Le triangle OAB et son image COF sont isométriques : f est donc une isométrie.

b. z est invariant par f si et seulement si 2 0

2 2 2 0

x y z iz i x iy ix i y i

x y

            

   ce qui est

impossible.

c. Les points de l’axe d’une symétrie axiale sont invariants donc f n’est pas une symétrie axiale.

3. IJ a pour affixe –1 + i : l’écriture complexe de t est donc ' 1z z i   et celle de 1t est ' 1z z i   .

4. 1s f t .

a. 1 1z i z i     : l’écriture complexe de s est donc  ' 1 2 1z i z i i iz i         .

b. s(I) a pour affixe –i + 1 + i = 1, s(I) = I. s(J) a pour affixe (–i)(–i) + 1 + i = i, s(J) = J.

I et J sont invariants par s : une similitude distincte de l’identité qui a deux point invariants distincts est une symétrie axiale : s est donc la symétrie axiale d’axe (IJ).

c. Pour tout point M, 1s t f t t f  , f est la composée de la translation de vecteur IJ et de la réflexion

d’axe (IJ).

2. 35. Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité

graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = i, b = 1 + 2i, 42 i

c e

 et d = 3 + 2i.

On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M’, d’affixe z’, son image par s.

1. Exprimer zen fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.

Soit (Un) la suite numérique définie par : 0

1

0

2 1n n

U

U U

 

  pour tout n .

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2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.

3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).

4. Montrer que pour tout entier naturel n, 2 1nnU   .

5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n p , ( 1)n p n p n pU U U U    .

La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b. Montrer pour n pl’égalité

pgcd( , ) pgcd( , )n p p n pU U U U  .

6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd( , )pgcd( , )n p n pU U U . Déterminer le

nombre : pgcd(U2005 , U15).

2. 36. QCM arith+géom, National, sept 2005

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : 2 4 0 (modulo 6)x x   .

A : toutes les solutions sont des entiers pairs.

B : il n’y a aucune solution.

C : les solutions vérifient 2(6)x  .

D : les solutions vérifient 2(6)x  ou 5(6)x  .

2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.

A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k .

B : L’équation (E) n’a aucune solution.

C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k .

D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k .

3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892 005. On a alors :

A : 4(17)n  et 0(17)p  . C : 4(17)p  .

B : p est un nombre premier. D : 1(17)p  .

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel que :

A : 1

b ia z

i

  

. C: az = i(bz).

B : 4 ( ) i

z a e b a

   . D : ( ) 2

b z a z

   .

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB].

Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle 2

3

 ; soit g la similitude directe de centre

A, de rapport 1

2 et d’angle

3

 ; soit h la symétrie centrale de centre I.

A : h g f transforme A en B et c’est une rotation.

B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

C : h g f n’est pas une similitude.

D : h g f est la translation de vecteur AB .

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2. 37. Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c)

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère l’application f qui au

point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que 3 4 1 2

' 5 5

i i z z

    .

1. On note x et x’, y et y’ les parties réelles et imaginaires de z et z’. Démontrer que

3 4 1 '

5

4 3 2 '

5

x y x

x y y

  

   



.

2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

b. Quelle est la nature de l’application f ?

3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

a. Donner une solution particulière  0 0;x y appartenant à 2 de l’équation 4 3 2x y  .

b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à 2 de l’équation 4 3 2x y  .

5. On considère les points M d’affixe z x iy  tels que 1x  et y . Le point ' ( )M f M a pour affixe

z’. Déterminer les entiers y tels que Re( ')z et Im( ')z soient entiers (on pourra utiliser les congruences

modulo 5).

Correction

1.     3 4 1 2 3 4 1 2 1 1

' ' ' ( ) 3 4 1 4 3 2 5 5 5 5 5 5

i i i i z z x iy x iy x y i x y

                

d’où par identification :

3 4 1 '

5

4 3 2 '

5

x y x

x y y

  

   



.

2. a. Avec

3 4 1 '

5

4 3 2 '

5

x y x

x y y

  

   



, on a les points invariants avec le système suivant :

3 4 1

5 3 4 1 0 2 4 1 0 2 4 1 05

4 3 2 5 4 3 2 0 4 8 2 0 2 4 1 0

5

x y x

x x y x y x y

x y y x y x y x y y

              

                     



.

Les points invariants forment donc la droite  d’équation 2 4 1 0x y   .

b. f est donc une réflexion par rapport à l’axe  .

3. z’ est réel si ' 0 4 3 2 0y x y     ; encore une droite.

4. a. Une solution particulière  0 0;x y dans 2 de 4 3 2x y  est (2 ; 2) de manière évidente.

b. On a donc 4 3 2 2 3 2 3

4( 2) 3( 2) 0 4( 2) 3( 2) , 4.2 3.2 2 2 4 2 4

x y x k x k x y x y k

y k y k

                    

        .

5. M : 1z iy  y :

3 4 1 4 4 '

5 5

4 3 2 2 3 '

5 5

y y x

y y y

    

     



;

' 4 4 5 6 5( ) 1 5( 1) 1(5) 4(5)

' 2 3 5

x y p y p q y p q y y

y y q

                  

    .

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Vérifions : si 4 5y k  , alors

4 4(4 5 ) 20 20 ' 4 4

5 5

2 3(4 5 ) 2 12 15 ' 2 3

5 5

k k x k

k k y k

      

         



, ok !

2. 38. Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c)

La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, 1 5AC   et  , 2

AB AC   .

1. a. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

2. On appelle  le centre de S. Montrer que  appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point  .

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

a. Démontrer l’alignement des points A,  et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

b. Montrer que 3 5CD   .

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

C

y

B xA

Correction

1. a. Prendre un repère de centre A, B a alors pour affixe 2 et C (1 5)i .

La similitude S qui envoie B en A et A en C s’écrit

1 5 0 .2

' 2 (1 5) .0

(1 5)

a b a i z az b

i a b b i

      

          

.

b. Le rapport de S est 1 5

2 a

  et son angle est arg( )

2 a

   .

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2. Comme on a      , , , 2

B A

A C BA AC A C B A

           



donc  appartient au cercle de

diamètre [AB] ; par ailleurs en effectuant deux fois S, on a  , 2 2

B A C

A C B C  

           



d’où  appartient à la droite (BC).

3. a. Reprenons ce que l’on vient de faire :  , 2 2

B A C

A C D A D  

            



donc A,  et D

sont alignés ; de plus  ,AB DC   donc les droites (CD) et (AB) sont parallèles.

F

E D

C

y

B xA

b. Ona

2

2 1 5 1 2 5 5 .2 3 5

2 2 CD a AC a AB

          

  .

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. La droite (BE) se transforme en une droite perpendiculaire à (BE) passant par l’image de B, soit A, c’est (AB). La droite (CE) se transforme en une droite perpendiculaire à (CE) passant par l’image de C, soit D, c’est (DF).

b. Le quadrilatère BFDE semble être un carré…

On a 3 5CD   donc 3 5 2 1 5DE CA DF       ; de plus on a des angles droits partout, c’est bon.

En fait le rectangle AFDC est un « rectangle d’or », soit tel que CD CA

CA CE , c’est la « divine

proportion ».

2. 39. Image d’une figure, Asie, juin 2005

Le but de cet exercice est d’étudier les similitudes directes qui transforment l’ensemble S1 des sommets d’un carré C1 donné en l’ensemble S2 des sommets d’un carré C2 donné.

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R=( ; , )O u v , unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d’affixes respectives 1

2 i ,

1 1

2 i ,

1 1

2 i ,

1

2 i , 1 i , 3 i ,

3 i , 1 i .

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C1 est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O1, C2 est le carré de sommet E, F, G, H de centre O2. S1 est donc l’ensemble {A, B, C, D} et S2 l’ensemble {E, F, G, H}.

1. Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.

2. Soit h l’homothétie de centre  d’affixe 1 et de rapport 2. Donner l’écriture complexe de h et prouver que h transforme S1 en S2.

3. Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation 1g h s .

a. Quel est le rapport de la similitude s ?

b. Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.

c. Démontrer que g(O1) =O1.

d. En déduire que g est l’une des transformations suivantes : l’identité, la rotation r1 de centre O1 et

d’angle 2

 , la rotation r2 de centre O1 et d’angle  , la rotation r3 de centre O1 et d’angle

2

  .

e. En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.

4. Étude des centres de ces similitudes.

a. Déterminer les écritures complexes de 1h r , 2h r , 3h r .

b. En déduire les centres 1 , 2 , 3 de ces similitudes et les placer sur le dessin.

2. 40. Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005

Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de la figure ci-contre.

On munit le plan d’un repère orthonormal

direct ( ; , )O u v . Le quadrilatère MNPQ est

un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respective-ment les points R, S, T et U).

Partie A

On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.

1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.

a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .

b. On désigne par r l’affixe du point R.

U

T

S

R

Q

P

N

M

Démontrer que 1 1

2 2

i i r m n  

  où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

 (on

pourra éventuellement utiliser l’écriture complexe de la similitude f ).

On admettra que l’on a également les résultats 1 1

2 2

i i s n p  

  , 1 1

2 2

i i t p q  

  et 1 1

2 2

i i u q m

    ,

s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.

2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.

3. a. Démontrer l’égalité u − s = i(t − r).

b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d’une part, et pour les droites (RT) et (SU), d’autre part ?

Partie B

Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.

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1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.

2. Décrire comment construire géométriquement le point  , centre de la rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de l’annexe.

2. 41. S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c)

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra sur la figure 1 cm pour unité

graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives 1 i  , 3 2i et 2i .

1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ = f(M) d’affixe z’ définie par :

1 ' 1 (1 2)

2

i z z i

     .

a. Calculer les affixes des points A’ = f(A) et C’= f(C).

b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.

c. Placer les points A, B et C puis construire le point B’ = f(B).

2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapport 2 .

b. Montrer que la composée g f h a pour écriture complexe '' (1 ) 1 3z i z i    .

3. a. Soit M0 le point d’affixe 2 4i . Déterminer l’affixe du point 0 0( )M g M  puis vérifier que les

vecteurs AB et 0AM  sont orthogonaux.

b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont

des entiers. Démontrer que les vecteurs AB et AM  sont orthogonaux si, et seulement si, 5 3 2x y   .

c. Résoudre dans 2 l’équation 5 3 2x y   .

d. En déduire les points M, dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [ 6 ; 6] , tels

que AB et AM  sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.

Correction

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives 1 i  , 3 2i et 2i .

1. a. 1

' 1 (1 2) 2

i z z i

     :

1 ' ( 1 ) 1 (1 2) 2 1 2 1

2

i a i i i i i i

               ,

1 ' ( 2) 1 (1 2) 1 1 2 2

2

i c i i i i i i

             .

b. On a 4 1

1 2

ii e

    donc f est une isométrie. Par ailleurs les deux points A et C sont invariants donc

f est une réflexion d’axe (AC).

c.

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B'

B

C

A

v

u xO

2. a. : '/ ' 2( ) ' 2 (1 2) 2 ( 1 )(1 2)h z z z a z a z z a z i            

b. 1 1

' 1 (1 2) 2 ( 1 )(1 2) 1 (1 2) 2 2

fh i i g f h z z z z i z i i

                   , soit

        1 1

2 ( 1 ) 1 2 1 1 2 (1 ) ( 1 ) 1 2 1 1 2 2 2

i i z z i i i z i i

                     

;

il reste à simplifier :

          1

( 1 ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2

i i i i i i

                    ,

soit finalement '' (1 ) 1 3z i z i    .

3. a. 0 02 4 (1 )(2 4 ) 1 3 3 9z i z i i i i           ; AB a pour affixe 3 2 1 4b a i i i       et 0AM  a

pour affixe 0 3 9 1 2 8z a i i i          ; avec le produit scalaire on a : 4.( 2) 1.8 8 8 0      , les

vecteurs sont orthogonaux.

b. (1 )( ) 1 3 1 ( 3) ( 2)z x iy z i x iy i x y i x y z a x y i x y                      ;

le produit scalaire donne 4( ) 1( 2) 5 3 2x y x y x y       et est nul lorsque 5 3 2x y   .

c. On a une solution évidente : x = 2, y = −4 ; soustrayons :

5 3 2 2 3 2 3 5( 2) 3( 4) 0 5(2 ) 3( 4) ,

5.2 3( 4) 2 4 5 4 5

x y x k x k x y x y k

y k y k

                     

           .

d.

4 8

6 6 6 2 3 6 8 3 4 1, 0, 1, 23 3 0, 1, 2

6 6 2 106 4 5 6 2 5 10 0, 1, 2

5 5

k x k k k

k y k k k

k

                  

                           



.

Il y a trois points seulement : m (2 ; −4), A (−1 ; 1) et n (−4 ; 6).

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m'

n'

n

m

B'

BC

A

v

u xO

2. 42. Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c)

A et C sont deux points distincts du plan ; on note  le cercle de diamètre [AC] et O le centre de  . B est un point du cercle  distinct des points A et C.

Le point D est construit tel que le triangle BCD soit

équilatéral direct ; on a donc  , (2 ) 3

BC BD   .

Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.

Partie A

1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.

2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].

3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en C.

B

CA

Partie B

Dans cette question le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v choisi de telle sorte

que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et +1.

Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral directe ; on a donc  , (2 ) 3

AC AE   .

1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.

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2. Soit  la similitude directe d’expression complexe 3 3 1 3

' 4 4

i i z z

    . Déterminer les éléments

carctéristiques de  et en déduire que  est la similitude réciproquie de s.

3. Montrer que l’image E’ de E par  a pour affixe 1 3

2 2 i  et montrer que le point E’ appartient au

cercle  .

4. On note  le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle  privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à  .

Soit O’ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O’ est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de  .

Correction

2. [BC] est une corde du cercle  donc OB = OC ; par ailleurs dans un triangle équilatéral le centre de gravité et le troisième sommet sont sur la médiatrice, ici sur celle de [BC]. (GC) est la médiatrice de [BD] ; par ailleurs

on a 90 , 30 , 30ABC BCG GBD     

d’où 180 90 30 30 30DBM       , moralité M est le symétrique de G par rapport à [BD] et GM = CG.

O

M

G

D B

C

A

3. On regarde les images par

 

2 3 2 3 2 2 2

3 2 3 3:

, (2 ) 6

CM CG k

C C CB CB s

B M CB CM

  

      

      



Partie B

1.

E'

E

O

M

G

D

B

C

A

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2. 3 3 1 3

' 4 4

i i z z

    : 6

3 3 3 3 1 3

4 2 2 2 2

ii a i e

  

      

donc rapport 3

2 et angle

6

 . On

cherche le centre : 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3

1 1 4 4 4 4 4 4

i i i i i i z z z z z

                    

    ,

c’est donc C. La réciproque d’une similitude a même centre, un rapport inverse et un angle opposé : c’est bien le cas ici.

3. E est sur l’axe imaginaire, son affixe est 3i (hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2). Son image a

pour affixe 3 3 1 3 3 3 3 1 3 2 2 3 1 3

' 3 4 4 4 4 2 2

i i i i i z i i

              qui a évidemment pour

module 1 et est donc sur  .

4. Comme ' ( )E E , on a ( ')E s E puisque s est la réciproque de  ; comme E’ est sur  , E est sur  .

Lorsque B parcourt  , M parcourt le cercle de centre s(O)=O’ et de rayon 2

3 .

On obtient l’affixe de O’ « facilement » en écrivant que

6 ' 0 '

2 2 3 1 ( ) 1 1 1

2 23 3 3 3

i

O C C O

i i z z e z z z i

   

               

.

Celle du centre de gravité de ACE est   1 1 1 3

3 3 3 A C E

i i z z z

      .

E est un point de  et O’ son centre, la construction est faite.

O'

v=1,1547005

u=-30

E'

E

O

M

G

DB

C

A

2. 43. QCM géo+arith, Antilles, sept 2004

Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.

1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.

2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq −1 est divisible par 2p −1 et par 2q −1.

3. Pour tout n de *, 2n −1 n’est jamais divisible par 9.

4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation : 24x +35y = 9 est l’ensemble des couples :

(144+70k ; 9924k) où k.

5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g

l’homothétie de centre B et de rapport 1

3 alors g f est la translation de vecteur AB .

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6. Soit s la similitude d’écriture complexe ' (1 )z iz i   , l’ensemble des points invariants de s est une

droite.

2. 44. Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c)

Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité.

Soit S la similitude de centre A0, de rapport 1

2 et d’angle

3

4

 . On définit une suite de points (Bn) de la

façon suivante : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S(Bn).

1. Construire B1, B2, B3 et B4.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les triangles A0BnBn+1 et A0Bn+1Bn+2 sont semblables.

3. On définit la suite (ln) par : pour tout entier naturel n, ln = BnBn+1.

a. Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique et préciser sa raison.

b. Exprimer ln en fonction de n et de l0.

c. On pose Ln = l0 +l1+···+ln. Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers  .

4. a. Résoudre l’équation 3x −4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs.

b. Soit  la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0B0). Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à  ?

Correction

1. Rien n’interdit de prendre A0 à l’origine et B0 en z = 8. On a alors

3

4 1

: ' 2

i

S z z e z

  , d’où en notant

nz l’affixe de Bn :

3

4 1

1

2

i

n nz e z

  , soit

3 3

4 4 0

1 8

2 2

n n i i

n n n z e z e

 

  .

B4

B3

B2

B1

a=135

B0A

Enfin, bref, à chaque fois on tourne de 3

4

 et on divise la distance par 2.

2. Par S on a

0 0

1

1 2

n n

n n

A A

B B

B B

 

  

 

donc les triangles 0 1n nA B B  et 0 1 2n nA B B  sont semblables.

3. a. 1 1 2 1 1 1

2 2 n n n n n nl B B B B l      puisque les triangles sont semblables et que le rapport de similitude

est 1/2.

b. 0 1 8

2 2 n n n l l  .

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c. 1

0 1

1 1

2... 8 16 1

1 2

n

n nl l l

      

.

4. a. 3 4 2x y  a comme solution évidente x = 2, y = 1 : 3.2 − 4.1 = 2. Soustrayons :

3 4 2 2 4 3( 2) 4( 1) 0 3( 2) 4( 1) ,

3.2 4.1 2 1 3

x y x k x y x y k

y k

               

    

d’où les solutions 2 4

1 3

x k

y k

    

, k entier relatif.

b. On voit sur la figure que B2 est sur  ; en faisant 3

4

 à chaque fois il faudra 4 coups pour revenir sur

 , les valeurs de n correspondantes sont donc 2 4n k  .

Sinon on peut repartir sur

3 3

4 4 0

1 8

2 2

n n i i

n n n z e z e

 

  qui est imaginaire pur lorsque

3 3 2 4 3 4 2

4 2

n k n k n k

          , soit les solutions précédentes.

2. 45. Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v .

Soient les points A, A’, B et B’ d’affixes respectives : 1 2Az i  , ' 2 4Az i   , 3Bz i  , ' 5Bz i .

1. a. Placer les points A, A’, B et B’ dans le plan complexe. Monter que ABBA’ est un rectangle.

b. Soit s la réflexion telle que s(A) = A’ et s(B) = B’. On note ( ) son axe.

Donner une équation de la droite (  ) et la tracer dans le plan complexe.

c. On note z’ l’affixe du point M’ image par s du point M d’affixe z. Montrer que 3 4

' 2 1 5 5

z i z i         

.

2. Soit g l’application du plan dans luimême qui à tout point M d’affixe z associe le point P d’affixe z

définie par : 6 8

' 5 5 5

z i z i          

.

a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes de C et D et placer ces points dans le plan complexe.

b. Soit  le point d’affixe 1 + i etsoit h l’homothétie de centre  et de rapport −2. Montrer que C et D sont les images respectives de A’ et B’ par h.

c. Soit M1 d’affixe z1 l’image par h de M, d’affixe z. Donner les éléments caractéristiques de h−1 et exprimer z en fonction de z1.

3. On pose 1f h g .

a. Déterminer l’expression complexe de f.

b. Reconnaître f. En déduire une construction du point P, imagepar g d’un point M quelconque donné du plan.

2. 46. Rotation, Antilles 2004

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire  à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure.

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle 2

 .

a. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r.

b. Déterminez les images de R et de P par r.

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c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS ?

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la similitude de centre A,

d’angle 4

 et de rapport

1

2 .

a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. Démontrez que les points M, B, N et D sont alignés.

2. 47. Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c)

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 1

cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA= 2 + i, zB= 1 + 2i, zC= 6 + 3i, zD=−1 + 6i.

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) = D.

Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.

3. Soit J le point d’affixe 3 + 5i. Montrer que la rotation R de centre J et d’angle 2

  transforme A en D

et C en B.

4. On appelle I le point d’affixe 1 + i, M et N les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].

Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.

5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD sont des carrés directs.

a. Calculer les affixes zP et zQ des points P et Q.

b. Déterminer IP

IA et

IQ

IC ainsi qu’une mesure des angles  ,IA IP et  ,IC IQ .

En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g(A) = P et g(C)= Q.

c. En déduire que J est l’image de M par g. Que peut-on en déduire pour J ?

Correction

Q

P

N

M

J

I

D

C

B

A

y

j

i xO

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