Sciences statistiques - Exercice 1 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 1 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 1- 3° partie - géométrie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Suite géométrique, Rotations, homothéties, Similitudes, Correction.
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Terminale S 43 http://laroche.lycee.free.fr

Exercices spécialité géométrie

2.    

 

 

 

1 2 2 2 4 4 2

21 6 6 3 1 2 2

i a i b i a i a i f z az b

bi a i b b i a i

                 

            .

Comme 1a  et  arg 2

a   , on a bien une rotation d’angle

2

 .

Le point invariant est : 2

2 1 1

i i i

        

.

3. R de centre J d’angle 2

  :    2' ' 1 2 8

i

J j Jz z e z z z iz i z iz i

 

             .

L’image de A est  2 2 8 1 6 Di i i i z        , celle de C :  6 3 2 8 1 2 Bi i i i z       . Ok.

4. Il semble que IMJN est un carré : comme A a pour image B et C pour image D dans la rotation de

centre I d’angle 2

 , le milieu M de [AC] a pour image le milieu N de [BD] donc MIN est un triangle

rectangle isocèle. Même chose pour MJN.

5. a. Pour P on fait la rotation de centre B d’angle 2

 , ce qui donne 2 2Pz i  ; pour Q on fait la rotation

de centre D, ce qui donne 4 8Qz i  .

b. 2 IP

IA  , 2

IQ

IC  : rapport entre la diagonale et le côté du carré.

 , 4

IA IP   et  ,

4 IC IQ

  : angle entre le côté et la diagonale du carré.

Comme I est invariant, g est la similitude de centre I, d’angle 4

 et de rapport 2 .

c. Comme IMJN est un carré, J est l’image de M par g. Je ne vois pas ce qu’on peut en déduire pour J.

2. 48. Suite géométrique, Polynésie, juin 2004

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 3 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que

a= 3, 2

1 3

b i  , c= 3i et 1

3 d i  .

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Déterminer l’angle  et le rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C en D.

3. Donner l’écriture complexe de s. En déduire l’affixe du centre I de s.

4. Soit M le point de coordonnées (x ; y) et M’(x; y’) son image par s.

Montrer que :

1 ' 1

3

1 1 '

3 3

x y

y x

   

    

.

5. On construit une suite (Mn) de points du plan en posant 0

1 ( )n n

M A

M s M

 

 pour tout entier naturel n.

On note zn l’affixe du point Mn et on pose 1n nr z  .

a. Montrer que (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que 310kIM  .

2. 49. Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c)

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v (unité graphique : 1 cm).

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Exercices spécialité géométrie

On note r1 la rotation de centre O et d’angle 3

 et r2 la rotation de centre O et d’angle

5

 .

Partie A

1. Résoudre dans  l’équation (E) : 3y = 5(15 − x).

2. Soit I le point d’affixe 1. On considère un point A mobile sur le cercle trigonométrique (C)de centre O. Sa position initiale est en I.

On appelle d la distance, exprimée en centimètres, qu’a parcouru le point A sur le cercle (C)après avoir subi p rotations r1 et q rotations r2 (p et q étant des entiers naturels).

On convient que lorsque A subit la rotation r1 (respectivement r2), il parcourt une distance de 3

 cm

(respectivement 5

 cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de p et q pour lesquelles le point A a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle (C)à partir de I.

Partie B

On note h1 l’homothétie de centre O et de rapport 4 et h2 l’homothétie de centre O et de rapport 6. On

pose 1 1 1s r h et 2 2 2s r h .

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s1 et s2.

2. On pose 1 1 1...mS s s s (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul),

2 2 2...nS s s s  (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et n mf S S .

a. Justifier que f est la similitude directe de centre O, de rapport 22 3m n n  et d’angle 6

3 5 m n    .

b. f peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?

c. On appelle M le point d’affixe 6 et Mson image par f. Peut-on avoir OM = 240 ? Démontrer qu’il existe un couple d’entiers naturels unique (m, n) tel que OM = 576.

Calculer alors la mesure principale de l’angle orienté  , 'u OM .

Correction

Partie A

1. 3y = 5(15 − x) : comme 5 ne divise pas 3, il doit diviser y, donc 5y k ; ceci donne alors

 15 5 15 15 3 15 3k x x k x k        .

2. Comme l’unité est le centimètre, la distance parcourue sur le cercle lorsque A fait un angle  est 

centimètres (définition du radian). Après p fois r1 il a donc parcouru 3

p

cm et après q fois r2, il a

parcouru 5

q

, soit au total  5 3 3 5 15

d p q p q   

    .

On a alors    2, 5 2 cm 5 3 5 5 3 5 15 3 5 15 15

d p q p q q p

             . On retombe donc

sur l’équation précédente, ce qui donne 15 3

5

p k

q k

   

.

Comme p et q doivent être positifs, on a 15 3 0 5k k    et 0k  ; ceci donne donc les 6 couples

             , 15, 0 , 12, 5 , 9,10 , 6,15 , 3, 20 , 0, 25p q  .

Partie B

1. s1 est la similitude de centre O, d’angle 3

 , de rapport 4, s2 est la similitude de centre O, d’angle

6

5 5

    et de rapport 6 (attention au signe du rapport…).

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2. On pose 1 1 1...mS s s s (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul),

2 2 2...nS s s s  (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et n mf S S .

a. Pour Sm on a le rapport 4 répété m fois, donc 24 2m m et pour angle

3 m

; pour nS  on a le rapport 6

répété n fois, soit 6 2 3n n n  et l’angle 5

6 n

, d’où un total de 2 22 2 3 2 3m n n m n n    pour le rapport et

6

3 5 m n    pour l’angle.

b. On a 2 4 2144 12 2 3   , il faudrait 2 4 1

2 2

m n m

n n

     

   et donc un angle de

  6 5 36 41

2 0 2 3 5 15 15

    

     .

Ca colle pour le rapport mais pas pour l’angle.

c. Si OM = 240, OM = 6, alors le rapport de similitude doit être de 40, ce qui est impossible puisque 5 n’apparait pas comme diviseur dans le rapport.

Avec OM = 576, il faut 5 1 2 5 2576

96 2 3 1 16

m n m k

n n

          

   donc l’angle est

2 6 28

3 5 15

     .

2. 50. Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c)

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Première partie

ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB],

[BC] et [CA]. Soit  un réel qui conduit à la réalisation de la figure ci-contresur laquelle on raisonnera.

d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de

centre I et d'angle  

d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle  .

d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle  .

A1 est le point d'intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2, et C1 celui de d2 et d3.

1. On appelle H le point d'intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( ; , )O u v

A - Construction de la figure

1. Placer les points A( −4−6i), B(14), C(−4+6i), A1 (3−7i), B1(9 + 5i) et C1(−3−i).

2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.

3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.

On admettra que B1, J, C1 d'une part, et C1, K, A1 d'autre part sont alignés.

4. Déterminer une mesure en radians de l'angle  1IB, IB .

H

d3

d2

d1

K J

I

C

BA

u=30

A1

B1

C1 d1

d2

d3 

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On admettra que    1 1 π

KA, KA = JC, JC = 4

5. Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  /4 ?

B - Recherche d'une similitude directes transformant ABC en A1B1C1

On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en A1, B1 et C1.

1. Montrer que l'écriture complexe de s est 1 1

' 2 2 2 2

z i z i         

, où z et z' désignent respectivement les

affixes d'un point et de son image par s.

2. a. Déterminer le rapport et l'angle de s.

b. Déterminer l'affixe du centre  de s.

3. Que représente le point  pour le triangle ABC ?

Correction

Première partie

1. HIB et 1HB J sont semblables : on a évidemment 1JHB = IHB ; par ailleurs 1HJB  de même que

BIH puisque c’est l’angle de rotation. Les triangles ont deux angles égaux, les triangles sont semblables.

2. Le troisième angle de chaque triangle est donc le même : 1 1 1 1HBI HB J ABC A B C   .

Le raisonnement tenu à partir de I est valable dans les rotations de centres J et K, soit 1 1 1BCA= B C A

et 1 1 1CAB= C A B donc ABC et 1 1 1A B C sont semblables.

Deuxième partie

A. 1. A(−4 − 6i), B(14), C(−4 + 6i), 1A (3 − 7i), 1B (9 + 5i) et 1C (−3 − i).

2. 4 6 14

I 5 3 2

i i

      

  ;

14 4 6 J 5 3

2

i i

     

  ;

4 6 4 6 K 4

2

i i       

  .

3. L’alignement revient à montrer soit que B I1

A I1

arg 0( ) z z

z z

   

  

soit que B I A I1 1( )z z k z z   avec k

réel : on calcule de toutes manières B I1 4 8z z i   et A I1 2 4z z i    ; on voit alors que k = −2.

4. Pour calculer l’angle des vecteurs, on calcule l’argument du quotient des affixes des deux vecteurs :

  B I11 B I

4 8 4 1 2 (1 2 )(3 ) IB, IB arg arg arg arg arg

9 3 3 3 9 1

z z i i i i

z z i i

                      

         

5 5 1 arg arg .

10 2 4

i i           

   

5. Comme A, I et B sont alignés et que  1IB, IB 4

  , l’image de (AB) est 1 1 1(IB )= (A B ) .

B. 1. On cherche a et b complexes tels que

A A1

B B1

C C1

3 7 ( 4 6 )

9 5 14

3 ( 4 6 )

z az b i a i b

z az b i a b

i a i bz az b

         

                

; en résolvant

on trouve bien 1 1

, 2 2 2 2

a i b i    .

2. Le rapport est 1 2

22 a   , l'angle est arg( )

4 a   . L'affixe du centre  est celle du point invariant :

1 1 2 2 4

2 2 z i z i z  

          

.

3.  Est-il le centre du cercle circonscrit ? B 10  , A C 4 6 4 100 10i         . Donc oui.

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2. 51. Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 1 cm.

On considère les points A0, A1, A2 d’affixes respectives z0 = 54i, z1 = −14i, z2 =−4−i.

1. a. Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1) = A2.

b. Établir que l’écriture complexe de S est 1 3

' 2 2

i i z z

     .

c. En déduire le rapport, l’angle et l’affixe  du centre  de la similitude S.

d. On considère un point M, d’affixe z avec 0z , et son image M’, d’affixe z’. Vérifier la relation :

' ( ')z i z z   ; en déduire la nature du triangle  MM’.

2. Pour tout entier naturel n, lepoint An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un = AnAn+1.

a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points A3, A4, A5, A6.

b. Démontrer que la suite (un) est géométrique.

3. La suite (vn) est définie sur par vn = u0 +u1+···+un =

0

n

k

k

u

.

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. La suite (vn) est-elle convergente ?

4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ΩAnAn+1.

b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn <102.

2. 52. Similitude, suites,Pondicherry 2009

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique

2 cm.

Soit A et B les points d’affixes respectives Az i et 1 2Bz i  .

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B.

2. Montrer que l’écriture complexe de S est :  ' 1z i z i   .

Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera  le centre de S).

On considère la suite de points (An) telle que :

A0 est l’origine du repère et,

• pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).

On note zn, l’affixe de An. (On a donc A0 = O, A1 = A et A2 = B).

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,  1 1 n

nz i   .

b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs nAet 1n nA A  .

Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle  1,n n nA A A  . c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An. Construire les points A3 et A4.

4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite  B ?

2. 53. Similitude, suites, Bézout, La Réunion, juin 2003 (c)

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 1 cm.

On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

   ' 3 1 1 3z i z i     

1. Montrer que f est une similitude directe dont le centre  a pour affixe i. En déterminer le rapport et l’angle.

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2. Soit M0 le point d’affixe 0 3 3

4 4 z i  . Calculer 0M et donner une mesure en radians de l’angle

 0,u M .

3. On considère la suite de points   0n n

M

, définie pour tout entier naturel n par Mn+1 = f(Mn). On note

zn l’affixe du point Mn.

a. Placer les points  , M0, M1, M2, M3 et M4.

b. Montrer par récurrence, pour tout entier naturel n, l’égalité :

7

6 02 ( )

n i

n nz i e z i

   .

c. Pour tout entier naturel n, calculer nM , puis déterminer le plus petit entier n tel que 210nM  .

4. a. On considère l’équation (E) : 7x − 12y = 1 où x et y sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (5 ; 3) est solution, résoudre l’équation (E).

b. Soit  l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que Im(z) = 1. Caractériser géométriquement  et le représenter.

Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite d’origine 

dirigée par le vecteur u . Préciser son plus petit élément.

Correction

   ' 3 1 1 3z i z i     

1. f est de la forme az b , c’est une similitude directe.

     3 1 1 3 3 1 1 3f i i i i i i i i             donc  est invariant, c’est le centre de

similitude.      5

6' 3 2 i

z i i z i e z i

 

       : rapport 2, angle 5

6

  .

2. 0 0 3 1 3 1 1

4 4 16 2 M z i i

        .  0

3 1 , arg

4 4 6 u M i

       

  .

3. a. Figure facile…

b. Soit la propriété Pn :

7

6 02 ( )

n i

n nz i e z i

   ; P0 est vraie car 0 0

0 02 ( ) ie z i z i   . On utilise le résultat

du 1. en remplaçant 5

6

  par

7

6

 :

       

  7 17 7 7 7

16 6 6 6 6 1 0 0' 2 2 2 2 2

nn i i i i i

n n n nz i e z i z i e z i e e z i e z i

    

            .

c.   7 7

16 6 0 0

1 2 2 2 2

2

n n i i

n n n n nM e z i e M

         .

2 110 2 100 2 50 6n nnM n         .

4. a. 7(−5)12(−3)=1 ; ok.

           

7 12 1 5 12 7 5 12 3 0 7 5 12 3

3 77 5 12 3 1

x y x k x y x y

y k

               

      et donc

5 12 ,

3 7

x k k

y k

   

   .

b. Les complexes de  sont de la forme z x i  , ils sont sur la droite 1y  , soit la droite horizontale

passant par  . Pour que Mn appartienne à la demi-droite d’origine  dirigée par le vecteur u , il faut

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que    , 0 2 2nu M k    ; or   7

6 0

0

7 , arg arg 2

6

n i

nn n

z i n M M e

z i

   

           

et  0, 6

u M

   ;

on a donc      0 7 7

, , , 6 6 6

n n

n n M u u M u M

           d’où l’équation

7 2 7 12 1

6 6

n k n k

       .

Il faut donc 5 12

, 3 7

n p p

k p

   

   . Mn a alors pour affixe

35

5 12 6 126 6 1

2 2 2

i i p p

nz i e e i

      

    ; le plus

petit élément est atteint lorsque 0n  , le premier est pour 1p  , soit 7n  et 62 64nz i i    .

2. 54. Similitude, Polynésie, juin 2003

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 2 cm.

On donne les points A, C, D et  , d’affixes respectives 1 + i, 1, 3 et 1

2 2

i .

Partie A

1. Soit  le cercle de centre  passant par A.

a. Montrer que  passe par C et D.

b. Montrer que le segment [AD] est un diamètre de  .

c. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D,  et tracer  . On note B la seconde intersection de  avec la droite (OA).

d. Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].

2. Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.

a. Montrer que S est une similitude indirecte différente d’une réflexion.

b. Quel est le centre de S ?

Partie B

1. a. Déduire de la partie A. 2. que l’on a OAOB = OCOD.

b. En déduire le module de l’affixe zB du point B. Déterminer un argument de zB.

2. Déterminer l’écriture complexe de S.

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S S.

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2. 55. Carré et rotation, Antilles sept 2002

(C4)

(C3)

(C2)

(C1)

N

M

D

B

C

A

Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que AC = BD et  , 2

AC BD

  .

On désigne par M lemilieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle (C1), (C2), (C3) et (C4) les cercles de diamètres respectifs [AB], [BC] , [CD] et [DA].

On pourra s’aider de la figure ci-jointe.

1. a. Soit r la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l’angle de r ? Montrer que le centre I de r appartient aux cercles (C1) et (C3).

b. Soit r’ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l’angle de r’ ? Montrer que le centre J de r’ appartient aux cercles (C2) et (C4).

c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement, (C1) et (C3) et par Q et S les points diamètralement opposés à J sur, respectivement, (C2) et (C4).

2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport 2 et d’angle 4

 .

a. Quelles sont les images par s des points D, N, B ?

b. En déduire que J est le milieu de [PR].

2. 56. Similitude, La Réunion, juin 2002

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v . On prendra pour unité graphique 2 cm.

On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice.

1. Dans cette question on considère l’application s du plan dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe 'z iz  .

a. Montrer que s est une réflexion d’axe noté D et de vecteur directeur w d’affixe 1 − i.

b. Soit D’ la droite d’équation y =−1, on appelle s’ la réflexion d’axe D’.

Calculer une mesure de l’angle  ,w u . Déterminer géométriquement la composée r s s .

c. Déterminer l’écriture complexe de r.

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2. Dans cette question on considére l’application p du plan dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z

associe le point M’ d’affixe 1 1 1 '

2 2 2

z z z z iz

    .

a. Soit le point A d’affixe z = 2+ i, déterminer l’affixe du point A1 image de A par p.

b. Montrer que tout point M a son image M1 située sur la droite d’équation y = −x .

c. Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l’application p.

3. On considère l’application f définie par 'f s p . Construire l’image A’ du point A par f. Montrer que

s p p et en déduire que f r p . Montrer que, tout point M du plan a son image par f sur une droite

 , que l’on déterminera.

2. 57. Similitude & barycentre, Polynésie, sept 2001

Dans le plan complexe P rapporté a un repère orthonormal ( ; , )A u v , unité graphique 2 cm., on

considère les points B, D définis par : 2AB u , 3AD v , et C tel que ABCD soit un rectangle.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit E l’image de B par la translation de vecteur DB . Déterminer l’affixe zE de E.

2. Déterminer les nombres réels a, b tels que le point F d’affixe zF= 6 − i soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients a, b et 1.

3. On considère la similitude s qui transforme A en E et B en F. À tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’, image de M par s.

a. Exprimer z’ en fonction de z.

b. Déterminer le centre I, l’angle et le rapport de la similitude s.

c. Déterminer les images deC et de D par s.

d. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD.

4. a. Déterminer l’ensemble  des points M du plan tels que : 6 10 9MA MB MC   .

b. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de  par s.

2. 58. Symétries axiales, Liban, juin 2001

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )u v , unité graphique 3 cm.

Partie A

Soit trois droites D1, D2 et D3, sécantes en  et de vecteurs directeurs respectifs 1d , 2d , 3d , supposés

unitaires et tels que 1d u et  1 2, 4

d d   ,  1 3

2 ,

3 d d

   .

On note S1, S2 et S3 les réflexions d’axes respectifs D1, D2 etD3, et f la composée 3 2 1S S S , de ces trois

réflexions.

1. Tracer ces trois droites.

2. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation 2 1r S S .

b. Caractériser la réflexion S telle que 3r S S . On notera D l’axe de S et on en déterminera un point et

un vecteur directeur d . Tracer la droite D.

c. En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques.

3. Justifier que le point E d’affixe 12 i

Ez e

 est un point de la droite D. Déterminer les nombres

complexes a et b tels que la forme complexe de f soit l’application f1 définie sur par f1(z)= az +b.

Partie B

1. Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S1 et C l’image de B par S2 . Placer les points B et C.

2. Démontrer que A est l’image de C par S3.

3. Que peut-on dire du point  pour le triangle ABC ?

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2. 59. Rotations, symétries, translations, Asie juin 2001

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

1. On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

1 3 '

2 2 z i z       

.

a. Exprimer    f f z en fonction de z.

b. Montrer que f R S , où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments

caractéristiques de ces deux applications R et S).

c. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe (D1). Réaliser une figure, en y représentant l’axe (D1) (unité graphique 2 cm).

2. On considère l’application g qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’’ d’affixe z’’telle que :

1 3 1 3 ''

2 2 2 2 z i z i         

.

a. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g .

b. Montrer que g T fT est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T).

c. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que g est une réflexion, d’axe noté (D2)

d. Quelle est l’image par g du point A d’affixe 1 3

2 2 i ? En déduire une construction de la droite (D2),

qui n’utilise pas son équation, et l’illustrer en complétant la figure précédente.

2. 60. Homothéties, Polynésie, sept 2000

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette question est de montrer que les droites (AC), (EF) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d’intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit

* l’homothétie 1h de centre I qui transforme G en E,

* l’homothétie 2h de centre I qui transforme F en H.

a. Déterminer l’image de (CG) par 1h puis par la composée 2 1h h . De

même déterminer l’image de (CF) par 1 2h h .

b. Justifier l’égalité 2 1h h = 1 2h h .

2. On veut montrer que la médiane issue de A dans le triangle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu de [EH].

F

E

HG

D A

BC

a. Exprimer AO en fonction des vecteurs AE et AH .

b. Exprimer BD en fonction des vecteurs AB et AD .

c. Calculer le produit scalaire .AO BD et conclure.

3. On étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A. On pose AB = 1 et AD = k.

a. Déterminer l’angle et le rapport de S.

b. Déterminer l’image de la droite (BD), puis l’image de la droite (AO) pas S.

c. En déduire que le point d’intersection  des droites (BD) et (AO) est le centre de S.

2. 61. Rotation et similitude

Dans le plan orienté, on considère un triangle isocèle ABC tel que : AB = AC et (AB, AC) . 4

 

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Soit I le point tel que le triangle CAI soit isocèle rectangle avec (CA,CI) . 2

   Pour la figure, que l'on

complétera en traitant les questions, on prendra AB = 5 cm.

1. On appelle rA la rotation de centre A qui transforme B en C et rC la rotation de centre C et d'angle 2

  .

On pose f = rC o rA.

a. Déterminer les images par f de A et de B.

b. Démontrer que f est une rotation dont on précisera l'angle et le centre O. Placer O sur la figure.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABOC ?

2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A en B. On appelle C' l'image de C par s, H le milieu du segment [BC] et H' son image par s.

a. Donner une mesure de l'angle de s. Montrer que C' appartient à la droite (OA).

b. Donner l'image par s du segment [OA] et montrer que H' est le milieu de [OB].

c. Montrer que (C'H') est perpendiculaire à (OB). En déduire que C' est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC.

2. 62. Rotation

Dans le plan orienté, on considère la figure ci-après.

ABCD est un carré de centre O et tel que (OA, OB) 2

   .

Les points M, N, P et Q sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

Le but de l'exercice est de prouver que le quadrilatère EFGH est un carré, puis de comparer son aire à celle du carré ABCD.

Dans chacune des questions, on énoncera avec précision les propriétés utilisées.

1. On se propose de démontrer que EFGH est un carré.

Soit r la rotation de centre O et d'angle 2

  .

a. Déterminer l'image par r du point N, puis celle du segment [AN]. Déterminer l'image par r du point P, puis celle du segment [BP]. En déduire r(F) et la nature du triangle FOG.

b. Expliquer alors comment terminer la démonstration demandée.

2. Comparaison des aires des carrés ABCD et EFGH

a. Justifier les égalités AE = EH = DH et AE = 2QH.

b. Soit K l'image de H par la symétrie s de centre Q. Démontrer que AEHK est un carré et comparer son aire à celle du triangle AED.

c. En déduire le rapport entre les aires des carrés ABCD et EFGH.

3. Généralisation de la question 1.

On suppose maintenant que les points M', N', P' et Q' vérifient respectivement les égalités :

1 AM' AB,

3 

1 BN' BC,

3 

1 CP' CD

3  et

1 DQ' DA.

3 

On construit le quadrilatère E'F'G'H' en traçant les droites (AN'), (BP'), (CQ') et (DM').

Que suffit-il de changer à la démonstration du 1. Pour démontrer que E'F'G'H' est un carré ?

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2. 63. Théorème de Ptolémée

Prolégomènes

1. Retrouver la démonstration géométrique du « théorème de l’angle inscrit ».

2. Faire cette démonstration en utilisant les complexes.

Le problème

Dans le plan orienté, on considère quatre points distincts A, B, C et D se succédant dans le sens trigonométrique sur un même cercle.

1. Soit S la similitude plane directe de centre A qui transforme C en D. On désigne par E l'image du point B.

a. Montrer que     , , 2CB DE AC AD  uur uuur uuur uuur

. 



E

D

C

B

A

O

b. Montrer que E est sur la droite (BD). Marquer le point E sur la figure. On admettra que E est sur le segment [BD].

c. Montrer que AD BC DE AC   .

2. a. Montrer que     , , 2AB AC AE AD  uur uuur uuur uuur

puis que . AD AC

AE AB

b. Soit S´ la similitude directe de centre A qui transforme B en C. Montrer que D est l'image de E par cette similitude.

c. Prouver que AB CD BE AC   .

3. Utiliser ce qui précède pour démontrer la relation : AC BD AB CD AD BC     .

En déduire la formule d’addition des sinus.

Remarque : Cette relation est connue sous le nom de théorème de Ptolémée. Ptolémée était un mathématicien et astronome grec du IIème siècle après J.-C. ; il utilisait cette relation pour calculer les longueurs des cordes d'arc de cercle, ancêtres de nos rapports trigonométriques.

2. 64. Le théorème de Napoléon 3

On considère un triangle ABC direct de centre de gravité O. On construit les triangles équilatéraux CBA’, ACB’ et BAC’ tels que les

angles  ' , 'A C A B ,  ' , 'B A B C ,  ' , 'C B C A

aient pour mesure 3

  . On désigne par F, G

et H les centres des triangles équilatéraux.

Le but de l’exercice est de montrer de deux façons différentes que le triangle FGH est équilatéral direct.

1. a. Soit R la rotation de centre A et d’angle

3

  . Déterminer R(C’) et R(C). En déduire

que CC’ = BB’ et que  ' , ' (2 ) 3

C C BB   .

b. Montrer que 1

' 3

HO C C et 1

' 3

OG BB .

H

F

G

u=1

B'

A'

C'

C

B

A

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c. Montrer que OH = OG et   2

, (2 ) 3

OH OG    .

d. En déduire que FGH est équilatéral direct de centre O.

2. On note R1, R2 et R3 les rotations d’angle 2

3

  de centres respectifs F, G et H.

a. Quelle est l’image de B par f = R1 o R2 o R3 ? Déterminer la nature de f.

b. En déduire le centre et l’angle de la rotation R = R2 o R3 .

c. On note S la réflexion d’axe (GH). Déterminer les axes des réflexions S2 et S3 telles que R2=S2 o S et R3=S o S3 . Montrer que ces axes se coupent en F’ tel que FGH soit équilatéral direct.

d. Montrer que F’ et F sont confondus et en déduire que FGH est équilatéral direct.

2. 65. Triangles équilatéraux

Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ABC tel que  , 3

AB AC   .

On désigne par rA la rotation de centre A et d'angle 3

 , rB la rotation de centre B et d'angle

3

 , rC la

rotation de centre C et d'angle 3

 et par D et E les points tels que : rB(A) = D et rC (D) = B.

1. Déterminer la nature de rC o rB o rA et préciser la position du point E.

2. a. Montrer qu'il existe une seule similitude plane directe de rapport 1

2 et d'angle

2

3

 qui transforme

A en B. On nomme S cette similitude.

b. Calculer le rapport BD

AE , ainsi qu'une mesure de l'angle  ,AE BD . En déduire S(E).

3. Soit  le centre de la similitude S.

Montrer que  appartient aux cercles circonscrit aux triangles ABC et DBE. Construire  .

4. a. Démontrer que S transforme la droite (AC) en (CB).

b. Démontrer que l'image par S du cercle circonscrit au triangle ACE est le cercle de diamètre [BD].

En déduire que l'image de C par la similitude S est le point I, milieu du segment [DE].

2. 66. Similitude

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que AB = AC = l, où l est un réel

fixe strictement positif et  , (2 ) 2

AB AC   .

On note D le symétrique de A par rapport à B, O le milieu de [CD] et ( ) le cercle de diamètre [CD]. Placer sur une figure les points A, B, C, D, O et ( ).

On désigne par s la similitude directe qui transforme D en B et B en C et on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de s, notamment son centre I.

1. Méthode géométrique

a. Déterminer le rapport k et l’angle  de la similitude s ; en déduire l’existence de I.

b. Montrer que ( , ) (2 ) 2

ID IC    (1) et que IC = 2 ID (2).

c. A l’aide de (1), prouver que I appartient au cercle ( ), puis, en utilisant (2), prouver que ID = l. Etablir enfin que BI = BC.

d. Prouver que la droite (OB) est la médiatrice de [IC]. Préciser la nature du quadrilatère CADI. Placer le point I.

2. Utilisation des complexes

On pose 1

u AB l  et

1 v AC

l  et on considère le repère orthonormal ( ; , )A u v du plan complexe. On

note z0 l’affixe de I.

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a. Déterminer les affixes des points B, C et D.

b. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s. Déterminer z0 et préciser la position de I.

2. 67. Similitude

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , l'unité est le centimètre.

Soit ABC un triangle direct dont le point O est le centre du cercle circonscrit. On désigne par M le milieu de [BC] ; N celui de [CA] et P celui de [AB]. Les affixes respectives des points M, N et P sont notées m, n, p.

1. Dans cette question m=−1− 3i et n = 2. Construire les triangles ABC et MNP.

2. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à chaque point d'affixe z = x + iy associe

le point d'affixe z' = x' + iy' telle que

     4

' ( ) 2

i

e z z m n p .

Quelle est la nature de f ? Donnez ses éléments caractéristiques.

3. a, b, c désignent les affixes respectives des points A, B, C. Montrez que MN PA . En déduire que a = n + p − m. Exprimez de manière analogue b et c en fonction de m, n et p.

4. On pose f(A) = A', f(B) = B', f(C) = C'. On désigne par a', b' et c' les affixes de A', B' et C'. Démontrez que : a' = (1+i) m, b' = (1+i) n, c' = (1+i) p.

En déduire que 'MA et OM sont orthogonaux et que A' appartient à (BC).

Montrez de même que B' appartient à (AC) et que C' appartient à (AB).

5. Montrez que les triangles MNP et A'B'C' sont directement semblables (précisez le centre de la similitude directe transformant le triangle MNP en A'B'C').

6. Construisez les points A', B' et C' sur la figure du 1.

2. 68. Similitude et barycentre

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal  ; ,O u v ; unité graphique : 5 cm.

1. A, B et C désignent les points d’affixes respectives a, i et –1. On note g l’application du plan complexe dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe

' 3

a z iz z

   .

a. A tout point M d’affixe z, on fait correspondre M1 d’affixe iz. On note M’ l’isobarycentre des points A, M et M1. Exprimer en fonction de z l’affixe de M’.

b. Montrer que g(B) = O si et seulement si a = 1 − i et que, dans ces conditions, les points O, A et I sont alignés, I désignant le milieu de [BC]. Placer les points O, A, B, C et I sur une figure.

2. Dans la suite de l’exercice on prendra a = 1 − i.

a. Prouver que g est une similitude directe dont on déterminera le centre  , le rapport et l’angle.

b. Prouver que A, B et  sont alignés.

3. a. Déterminer la mesure de l’angle ( , )OB OI . Montrer que l’image de la droite (OB) par g est la droite

(OI).

b. Soit O’ l’image de O par g. Montrer que la droite (OO’) est l’image par g de la droite (BO).

c. En déduire que les points I, O, O’ et A sont alignés.

4. Déterminer l’angle  , 'B O  et montrer que les points I et  appartiennent au cercle de diamètre [BO’]. En déduire une construction géométrique de  .

2. 69. Réflexion - Rotation

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal  ; ,O u v , on considère l’application f qui associe au

point M d’affixe z le point M’ d’affixe z’ tel que

'z iz .

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1. Montrer que f = R o SS est la réflexion d’axe  ,O u et R une rotation dont on précisera les

éléments.

2. En utilisant une décomposition de R en composée de deux réflexions, montrer que f est une réflexion dont on précisera l’axe.

3. Soit g l’application du plan dans lui même qui au point M d’affixe z associe le point M’’ d’affixe z’’ tel que

'' 1z iz i  

a. Caractériser l’application T telle que g = T o f.

b. En déduire une construction géométrique , pour tout point M du plan , du point M’’ image de M par g.

c. Montrer que pour tout point M du plan, le milieu du segment [MM’’] appartient à une droite fixe.

2. 70. Barycentres+similitude

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; , )u v .

Lorsqu'un point de P est désigné par une lettre majuscule (A, B, G, ..., M1, M’, ...), on convient de désigner son affixe complexe par la lettre minuscule correspondante (a, b, g, ..., m1, m´, ...).

Soit A, B, C trois points du plan P. On note G leur isobarycentre.

À tout point M du plan P on associe les points M1, M2, M3 isobarycentres respectifs de {M, B, C}, {M, A, C} et {M, A, B}. On note enfin M’ l'isobarycentre de {M1, M2, M3).

1.a. Tracer le triangle ABC et son isobarycentre G sur une figure.

Exprimer OG en fonction de OA, OB et OC . En déduire l'expression de g en fonction de a, b, c.

b. Exprimer de même m1, m2, m3, puis en fonction de a, b, c, m.

2. Soit f la transformation qui, à tout point M de P, associe le point M’.

a. Montrer que g = 3

1 (m g).

b. En déduire la nature de la transformation f et ses éléments caractéristiques.

c.Placer sur la figure l'image A’B’C’ du triangle ABC par la transformation f.

d. Déterminer le rapport des aires de ces deux triangles.

2. 71. Ligne de niveau+similitude

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD tel que 2AB , AD=1 ;

 , 2

AB AD   ; I désigne le milieu de [AB].

Partie A

Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que 2 2 1MD MB  .

1. Vérifier que C et I appartiennent à (E).

2. Déterminer et construire l’ensemble (E) (on pourra utiliser les coordonnées (x, y) des points M…)

3. En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires. On note K leur point d’intersection.

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )A u v où 1

2 u AB et v AD . Soit S une similitude

directe qui, au point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que z’ = az + b, a et b étant des nombres complexes avec a non nul.

1. Déterminer a et b pour que S(D)=C et S(C)=B.

2. Soit T la similitude directe qui, au point d’affixe z associe le point d’affixe z’ tel que

2 2 '

2 2

i z z i    . Déterminer le rapport et l’angle de T.

3. Déterminer l’image de B par T.

4. En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

5. Quel est le centre de la similitude T ?

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2. 72. Similitude et Bézout

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , d’unité graphique 1 cm.

Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

' (3 4 )z i z  .

1. Quelle est la nature de f ? Déterminer ses éléments géométriques ; on donnera une valeur approchée d’une mesure en radians de son angle à 10−2 près.

2. a. Soit n un entier relatif, on considère le point d’affixe ( )n i noté An. Placer les points A−1, A0, A1sur

une figure. Calculer les affixes de leurs images par f et placer les points correspondants.

b. Montrer que tous les points A’n sont alignés. Calculer la distance A’n A’n+1.

3. a. Démontrer que si M a des coordonnées entières, il en est de même pour f(M).

b. Tout point du plan à coordonnées entières a-t-il un antécédent à coordonnées entières ?

4. a. Trouver les couples ( , )x y d’entiers relatifs qui vérifient l’équation : 3 4 4x y   .

b. Déterminer les valeurs de l’entier relatif b pour lesquelles le point M’ d’affixe 4 bi  possède un antécédent M par f à coordonnées entières.

2. 73. Spirale

Soit A le point du plan complexe d’affixe 1. On complétera la figure jointe au sujet et on la rendra avec la copie.

1. On se donne les points B d’affixe 6 3

4

i

e

et C d’affixe 3 9

16

i

e

. Placer B et C sur la figure. Déterminer les

valeurs de a et b complexes pour que la transformation F définie par F(z)=az+b transforme A en B et B en C.

2. Soit la transformation f du plan complexe définie par

3 3 3 : ( ) '( ') / '

8 8 f M z M z z i z

     

  .

Quelle est la nature de f ? Préciser ses éléments caractéristiques.

3. On construit les points Nk de la manière suivante : N0=A et pour tout k, Nk a pour affixe zk telle

que 1 ( )k kz f z  . Placer sur la figure les point Nk , 1 12k  . Que peut-on dire de N12 ? Quelle est la

nature de la suite k kd ON ? Exprimer sous forme trigonométrique l’affixe zk des points Nk.

4. Justifier que les triangles 1k kN ON  sont tous semblables. Quelle est la nature de la suite

1k k kD N N  ? Donner son expression en fonction de k et de D0 ; exprimer en fonction de k et D0 la

somme 0 1 ...n nS D D D    où n est un entier quelconque.

5. Donner une valeur approchée à 10 – 3 près de la longueur 0 0 1D N N , en déduire une valeur

approchée à 10 – 3 près de la longueur de la ligne polygonale 0 1 2 11 12...N N N N N . Quelle est la limite de Sn

lorsque n tend vers l’infini ? Quelle signification concrète a cette limite ?

6. On considère maintenant les points P(t) du plan complexe d’affixe u(t) définie par ( ) bt itu t e  où

ln(3 / 4)

/ 6 b

  et t un réel quelconque. Montrer que ( ( )) ( )

6 f u t u t

   (on pourra se rappeler que

ln(3 / 4)3

4 e ).

2. 74. Rotation et similitude

Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ABC tel que( , ) 3

AB AC   .

On désigne par : rA la rotation de centre A et d'angle 3

 ; rB la rotation de centre B et d'angle

3

 ; rC la

rotation de centre C et d'angle 3

 et par D et E les points tels que : rB(A) = D et rC(D) = E.

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Exercices spécialité géométrie

1. Démontrer que rC  rB  rA est la symétrie centrale de centre B. Préciser alors la position du point E.

2. On admet qu'il existe une seule similitude plane directe de rapport 1

2 et d'angle

2

3

 qui transforme

A en B. On nomme S cette similitude. Calculer le rapport BD

AE ainsi qu'une mesure de l'angle ( , )AE BD .

En déduire que S(E) = D.

3. Soit  le centre de la similitude S.

Montrer que  appartient aux cercles circonscrits aux triangles ABC et DBE. Construire  .

4. a. Démontrer que S transforme la droite (AC) en (CB).

b. Démontrer que l'image par S du cercle circonscrit au triangle ACE est le cercle de diamètre [BD].

En déduire que l'image de C par la similitude S est le point I, milieu du segment [DE].

2. 75. Cercle et similitude

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Cet exercice propose l'étude de l'ensemble (C) des points M du plan dont les affixes vérifient :

      2 2

(1 ) 3 3 6 54i z i z .

1. Première méthode

a. En posant z = x + iy, donner une équation cartésienne de (C).

b. En déduire la nature de (C).

c. Construire (C).

2. Deuxième méthode

On désigne par s la similitude qui, au point M d'affixe z, associe le point M1 = s(M) d'affixe

z1 = (1 + i) z – 3 + 3i

et on désigne par t la translation qui, au point M d'affixe z, associe le point M2 = t(M) d'affixe z2 = z – 6.

a. Caractériser géométriquement ces deux transformations.

b. Déterminer les antécédents respectifs S et T de O par s et t.

c. Calculer le rapport 1

SM

OM puis le rapport

2

TM

OM .

d. En déduire que (C) est la ligne de niveau définie par :  2 22 54SM TM .

e. Calculer l'affixe du barycentre G du système {(S, 2), (T, 1)}.

f. Montrer que l'ensemble (C) est défini par MG2 = 8.

g. En déduire la nature et les éléments qui déterminent (C).

2. 76. Similitude indirecte (c)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( ; , )O u v . L’unité graphique est 4 cm.

On considère les points A,B,C et D d’affixes respectives :

a = 1 ; 3 i

b e

 ; 3 3

2 2 c i  ; 6

3

2

i

d e

 

 .

1. a. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d.

b. Représenter les points A, B, C et D.

2. Déterminer l'angle  et le rapport k de la similitude plane directe s de centre O qui transforme A en C.

3. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respectivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés.

4. On considère la transformation  qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle

que :

2

3 3 3

' 2 2

i

z e z i

 

   .

Pour toute droite  du plan, on notera  , la réflexion d'axe  .

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Exercices spécialité géométrie

a. Soit r la transformation qui, à tout point M1 d'affixe z1, associe le point M’1 d'affixe z'1 telle que : 2

3 1 1

3 3 '

2 2

i

z e z i

 

   .

Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.

Exprimer r sous sa forme complexe simplifiée en faisant apparaître l'affixe de son centre.

b. Exprimer  sous la forme d'une composée de deux transformations que l'on déterminera.

c. Déterminer deux points invariants de  et en déduire la nature de  .

d. Déterminer graphiquement  (C).

Correction

1. a. 6 3 3 9 3 3 1 3 1

3 3 3 3 2 2 4 4 2 2 22 3

i

c i c c i i e

   

                 

.

6 3 3 3 3 1 3 3

cos( ) sin( ) 2 2 6 6 2 2 2 4 4 2

i c d e i d i i

     

                

.

A

B C

D

F

G

O

2. On a s(O) = O et s(A) = C. s est de la forme z' = mz + p.

En remplaçant : 6 6

0 0 0

3 1 0 3 i i

m p p

e m m e

 

      

       

donc s de la forme : 6' 3 i

z e z

 . s est une SD de centre

O, de rapport 3 et d'angle 6

 .

3. Les points F, G et C sont alignés, si et seulement si l'angle  ;FG FC k avec k relatif, autrement

dit, si arg C F

G F

z z k

z z

   

  ou si C F

G F

z z

z z

 est un nombre réel.

3 3

2 2 Cz i  ;

6 6 6 3 3

' 3 3 2 2

i i i

F D Dz z e z e e

   

    et 6 3 1 3

' 3 3 3 2 2

i i

G C Cz z e z e i

   

       

.

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Exercices spécialité géométrie

On remarque que les points F, C et G ont même abscisse, donc ils sont tous sur la droite d'équation 3

2 x  . Dans le cas où on ne s'en serait pas aperçu, on continue et on a :

3 3 3 3

12 2 2 2

33 3 3 3 3 3

2 2 2 2

C F

G F

i i z z

z z i i

  

   

 

. Les points F, G et C sont donc alignés.

4a.

2

3 1 1 1

3 3 : '

2 2

i

r z z e z i

 

   . Cherchons un éventuel point invariant :  invariant par r si et

seulement si :

2

3 3 3 1 3 3 3

2 2 2 2 2 2

1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 .

2 2 2 2 2 2 2 2

i

A

e i i i

i i i i z

   

  

            

 

                  

   

r est donc la rotation de centre A, d'angle 2

3

  . Sa forme complexe est  

2

3 1 1' 1 1

i

z e z

 

   .

4b. Il est clair que  est de la forme : ( )

1: ' OA r

z z z z

  , on a donc ( )OAr  où ( )OA est la

réflexion d'axe (OA).

4c. Il est clair que A est invariant par ( )OA et par r, donc par  . Calculons  (B) :

2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3

' 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

i i i i

B B Bz e z i e e i e i i i z

   

                   .

A et B sont invariants par  , qui admet donc au moins deux points invariants, d'après le cours,  est

soit l'identité (ce qui n'est pas le cas), soit une réflexion. En l'occurrence, c'est la réflexion d'axe (AB).

Graphiquement,  (C) = O.

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