Sciences statistiques - Exercice 10, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 10, Exercices de Statistiques

PDF (202.0 KB)
5 pages
177Numéro de visites
Description
Sciences statistiques - Exercice 10. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la droite asymptote, la première bissectrice, la fonction définie.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Terminale S

Terminale S mai 2002

Concours Fesic 2002

1. EXERCICE 1

Soit f la fonction définie par 1

( ) 2 ln( )

x f x

x   , D son ensemble de définition et C sa courbe

représentative.

a. On a D=]0, +[.

b. La courbe C admet une droite asymptote en +.

c. Pour tout x  D, on a : ( ) 2

x f x  .

d. Pour tout x  D, on a : 2

1 2 '( )

2 (ln ) f x

x x   .

2. EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur par ( ) sin( )f x x x  et C sa courbe représentative.

a. Pour tout réel x, on a : '( ) 1 cos( )f x x  .

b. On a : 0

( ) lim 1 x

f x

x

    

  .

c. La courbe C coupe la première bissectrice en chaque point d’abscisse 1

2 x k  , où k  .

d. La courbe C admet la première bissectrice comme droite asymptote en +.

3. EXERCICE 3

Soit f et g les fonctions définies par ( ) ln( 1 1)f x x   et 2( ) 2x xg x e e   . On note C la courbe

représentative de f et  celle de g.

On considère la rotation R de centre O et d’angle 2

 . On note M’ le point de coordonnées (x’, y’) et

d’affixe z’, image par R du point M de coordonnées (x, y) et d’affixe z.

a. L’ensemble de définition de f est I=]–1, +[.

b. On a : z’=iz.

c. On a : '

'

x y

y x

   

.

d. Tout point M de la courbe C a une image M’ par R qui appartient à la courbe .

4. EXERCICE 4

On rappelle que 2<e<3. Soit f la fonction définie sur par ( ) 1

x

x

e f x

e  

.

a. La fonction f est paire.

b. On a : lim ( ) 0 x

f x 

 et lim ( ) 1 x

f x 

 .

c. On a : 0

3 lim '( )

4x f x 

  et 0

1 lim '( )

4x f x 

 .

d. On a : 22

0

1 ( ) ln

2

e f x dx

       

 .

5. EXERCICE 5

On rappelle que 2<e<3. Soit f la fonction définie sur par 2( ) ( 1) xf x x e  .

a. La fonction f vérifie l’équation 2( ) '( ) 2 ( ) xx y x y x e    .

b. L’équation 1

( ) 16

f x   a deux solutions distinctes.

Pour  réel, on pose 1

( ) ( )I f x dx

 

  .

c. Pour tout réel , on a : 2 2

1 2 1 ( )

44 I e

e

 

   .

d. On a : lim ( )I

 

  .

6. EXERCICE 6

On considère les fonctions définies par 1( ) [2 cos ] xf x x e   et sin

( ) 1 2 cos

x g x

x   

 .

On note G la primitive de g valant 1+ln3 en 0 et I son intervalle de définition.

a. On a I = .

b. Pour tout xI, on a : ( ) ln[ ( )]G x f x .

c. La fonction G est strictement monotone sur I.

d. On a : 1

0

(1) ( ) ln

(0)

f g x dx

f

      

 .

7. EXERCICE 7

Soit f la fonction définie par 2 3

( ) 2

x f x

x

  

et D son ensemble de définition.

On note 2

0

( )I f x dx  et, pour tout n  * ,

2 /

0

( ) x nnu f x e dx  .

a. Il existe deux réels a et b tels que, pour tout xD, on ait : ( ) 2

b f x a

x  

b. La suite   *n nu  est décroissante.

c. Pour tout n  * , 2/ nnI u e I  .

d. La suite   *n nu  a pour limite 4 – ln2.

8. EXERCICE 8

On considère l’équation différentielle '( ) 2 ( ) 0y x y x  (E1)

a. Les solutions de (E1) sont les fonctions / 2( ) xy x Ke où K  .

b. L’équation (E1) admet une unique solution vérifiant la condition y(0)=2 et c’est la fonction 2( ) 1xy x e  .

On considère l’équation 3( ) '( ) ( ) 2 xx u x u x e    (E2)

c. Une fonction f vérifie l’équation (E2) si et seulement si la fonction g, définie pour tout x  , par 3( ) ( ) 1xg x e f x  est solution de l’équation (E1).

d. La fonction 3( ) 2 x xf x e e   est l’unique fonction u vérifiant l’équation (E2) et la condition u(0)=1.

9. EXERCICE 9

Pour tout entier naturel 2n  , on considère la fonction nf définie sur par

3( ) 2 1nf x x nx   .

a. Pour tout 2n  , la fonction nf est strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1].

b. Pour tout 2n  , l’équation ( ) 0nf x  admet une unique solution dans  .

On note nu l’unique solution dans l’intervalle [0, 1] de l’équation ( ) 0nf x  .

c. Pour tout 2n  , on a : 1

0 nu n

  .

d. On a : lim 0.n n

u 

10. EXERCICE 10

On considère la suite  n nu  définie par 0 0u  , 1 1u  et, pour tout n  ,

2 1

1 2

3 3 n n nu u u   .

On définit les suites  n nv  et  n nw  par 1n n nv u u  et 1 2

3 n n nw u u  .

a. La suite  n nv  est arithmétique.

b. La suite  n nw  est constante.

c. Pour tout n  , on a :   3

5 n n nu w v  .

d. La suite   *n nu  n’a pas de limite finie.

11. EXERCICE 11

Soit  un réel et (E) l’équation d’inconnue complexe z : 2 2(1 ) 0z z     . On désigne par M et M’

les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E).

a. Le nombre complexe 2 5z i   est une solution de (E3).

b. Les solutions de (E) sont soit réelles, soit complexes conjuguées.

c. Pour tout >1, le triangle '( )OM M  est isocèle.

d. Pour tout >1, on a ' (3 1)( 1)M M      .

12. EXERCICE 12

Dans le plan complexe, on considère le point A d’affixe 4 et l’application F qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, associe le point M’=F(M), d’affixe z’ donné par

4 '

4

z z

z

  

(1)

a. Le point B d’affixe 1+3i a pour image par F le point B’ d’affixe i.

b. Tous les points de la droite d’équation x=4 privée du point A ont la même image par F.

c. Pour tout point M distinct de A, d’image M’ par F, on a : OM’=1.

d. Pour tout nombre complexe 4z  , le nombre ' 1

4

z

z

 est réel.

13. EXERCICE 13

Soit (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; G le centre de gravité de (ABC) ; H le symétrique de A par rapport à G. On pourra également considérer I le milieu du segment [BC].

a. Le point H est le barycentre du système de points pondérés : {(A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2)}.

b. On a : . 3HA HC  .

Soit (P) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC).

c. Pour tout point M de (P), on a : . 3HM HC  .

d. Le plan (P) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :

( 2 2 ). 9MA MB MC HC   

14. EXERCICE 14

Soit (SMN) un triangle isocèle de sommet principal S, de cercle inscrit de centre  et de rayon 1. On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin on pose OS=x.

a. On a : 1x

OM QS  .

b. On a : 2 ( 2)QS x x  .

c. On a : 2

2

x OM

x  

.

On rappelle que le volume d’une section de cône est égale au tiers du volume de la section de cylindre correspondante (c’est à dire de même base et de même hauteur). Soit V le volume du cône engendré par rotation du triangle (SMN) autour de l’axe (SO).

d. Le volume V est minimum pour x=4.

15. EXERCICE 15

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient :

 une boule numérotée 0,

 une boule numérotée 1,

 21 boules numérotées 2,

 22 boules numérotées 3,

……………………………….

 2k–1 boules numérotées k (k entier compris entre 1 et n),

……………………………….

 2n–1 boules numérotées n.

Les boules sont indiscernables au toucher. On extrait au hasard une boule de l’urne et on note X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.

a. L’urne contient 2 1n  boules.

b. Pour tout entier naturel k tel que 1 k n  , on a : 1( ) 2n kP X k    .

c. On a pour 2n  : 1

1

2 ( 1)2 1

n

k n

k

k n

   .

d. On a : ( ) ( 1)2 1nE X n   .

16. EXERCICE 16

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On dispose de deux urnes U et V. L’urne U contient 2 boules blanches et n boules noires ; l’urne V contient n boules blanches et 2 boules noires. On choisit au hasard l’une des deux urnes, puis on tire deux boules de cette urne, successivement et sans remise.

On désigne par U l’événement : « on choisit l’urne U », par V l’événement : « on choisit l’urne V » et par B l’événement : « les deux boules tirées sont blanches ».

a. On a :   2

P ( 2)( 1)

B U n n

   

.

b. On a : 2 2

( ) ( 2)( 1)

n n P B

n n

    

.

c. 2

2 ( / )

2 P U B

n n   

.

d. Pour que ( / ) 0,1P U B  , il suffit que 4n .

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome