Sciences statistiques - Exercice 13, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 13, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 13. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Le plan complexe, le point d’affixe, l’axe des ordonnées.
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Fesic 2004 - Enoncé

Concours Fesic 2004 - Enoncé

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère les points A, B, C et

D d’affixes respectives a = −2 − 2i, b = 2, c = 2 + 4i, d = −2 + 2i.

a. ABCD est un parallélogramme.

b. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle 2

  , est un point de l’axe des

abscisses.

c. Soient f = 6i − 4 et F le point d’affixe f. Le triangle CDF est rectangle et isocèle en D.

d. Soient g = −2i et G le point d’affixe g. Le triangle CDG est rectangle et isocèle en D.

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v .

a. La partie réelle de 5(1 2 ) i est 41.

b. On considère trois points A, B, C d’affixes respectives a, b et c. L’écriture ( ) ( )  b c i a c

caractérise une homothétie de centre C et de rapport i.

c. 20(1 ) i est un réel.

d. L’équation 4 1 0 z possède quatre solutions distinctes dans .

Exercice 3

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Soient A le point d’affixe a = 1 − i

et B le point d’affixe b = 2i − 3. A tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe

1

3 2

    

z i Z

z i .

a. L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB].

b. Pour tout z différent de −3 + 2i et de −3 − 2i, on obtient la forme algébrique de Z par le calcul :

( 1 )( 3 2 )

( 3 2 )( 3 2 )

   

   

z i z i

z i z i .

c. L’ensemble des points M d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées est le cercle

d’équation   2

2 1 25 1

2 4

      

  x y .

d. Soit z0 une solution de l’équation 1

3 2

  

 

z i i

z i (on admet l’existence d’une telle solution). Le

point M0 d’affixe z0 est un point de la médiatrice de [AB].

Exercice 4

Soit f la fonction définie par , si 0

( ) cos , si 0

   



xe x f x

x x . On appelle C sa représentation graphique dans

un repère du plan. Soit Γ la représentation graphique de la fonction exponentielle  xx e dans le

même repère.

a. Dans la portion du plan correspondant aux points d’abscisses négatives, C est l’image de Γ par la

symétrie axiale dont l’axe de symétrie est l’axe des abscisses.

b. f est continue en 0.

c. f est dérivable en 0.

d. L’équation f(x) = 0 possède une et une seule solution dans l’intervalle  ; .

2

Exercice 5

On donne ci-dessous la représentation graphique de trois courbes C1, C2 et C3. L’une d’elles est la

représentation d’une fonction, les deux autres sont les représentations de deux de ses primitives.

On note f1 la fonction représentée par C1, f2 celle représentée par C2 et f3 celle représentée par C3.

a. f1 est une primitive de f2.

b. f3 est la dérivée de f1.

c. On considère la surface plane délimitée par la courbe C3, l’axe des abscisses , l’axe des ordonnées

et la droite d’équation x = −1. L’aire, en unités d’aire, de cette surface est f2(−1).

d. Soit x . Soient M1 le point de C1 d’abscisse x et M2 le point de C2 de même abscisse. La

distance M1M2 est constante.

Exercice 6

On donne ci-dessous la représentation graphique de deux courbes C1 et C2. C1 représente une

fonction f dérivable sur ; C2 représente la dérivée f’ de f.

On appelle f’’ la dérivée seconde de f, c’est-à-dire la dérivée de f’.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

x

y

C3

C2

C1

a. Toute primitive de f est croissante sur [−1 ; 6].

b. La courbe représentant la fonction f’’ passe par le point de coordonnées (0 ; 0).

c. La fonction f’’ s’annule trois fois sur [−1 ; 6].

d. On considère la surface plane délimitée par la courbe C2, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées

et la droite d’équation x = 1. L’aire de cette surface est égale à celle d’un carré unité.

Exercice 7

a. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ( ) [sin(ln ) cos(ln )] f x x x x . La dérivée f’ de f est la

fonction définie par '( ) 2sin(ln )f x x .

b. 7ln( 2 1) 2ln(3 2) ln(11 6 2) 7ln( 2 1) 0        .

c. 4 0

1 tan . ln 2

2

 x dx .

d. 1

ln 4 2 

e x dx e

x .

Exercice 8

Soient f et g les fonctions définies sur par 2

1 ( )

1  

f x x

et 2

( ) ( )  x

x g x f t dt .

a. L’image de par f est ]0 ; 1].

b. Pour tout x réel, 20 ( )  g x x x .

c. Dans un repère du plan et pour x0 réel, g(x0) représente l’aire de la surface plane limitée par la

courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites 0x x et 2

0x x .

d. g est dérivable sur et pour tout x réel, 2'( ) ( ) ( ) g x f x f x .

Exercice 9

Soient l un réel et ( ) n nu une suite réelle à termes tous strictement positifs. Pour les questions a.,

b., c. on suppose que un converge vers l.

a. l est strictement positif.

b. Il existe n entier naturel tel que l soit une valeur approchée de un à 10−3 près.

c. La suite (ln ) n nu converge vers ln(l).

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

C1

C2

4

d. On suppose dans cette question que la suite ( ) n nu vérifie pour tout entier naturel n, 1 ln n nu u

et que 0 1u u . On ne suppose pas que la suite ( ) n nu converge.

La suite ( ) n nu est décroissante.

Exercice 10

On considère la suite complexe ( ) n nz définie par 0 1z et, pour tout entier n, 1 1

2 

 n n

i z z . Pour

n entier naturel, on appelle nM le point d’affixe zn.

a. La suite   n n

z est une suite géométrique de raison 1

2 .

b. Quel que soit n entier naturel, les triangles 1n nOM M sont rectangles.

c. nM appartient à l’axe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.

d. Pour tout n entier naturel,

 

4

2

n i

n n

e z .

Exercice 11

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j . On considère dans ce repère les points

A(1 ; −1), B(5 ; 3) et I le milieu de [AB]. Soit (G ) n n la suite de points définie par :

* G0 = O,

* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}.

On appelle (xn ; yn) les coordonnées de Gn.

a. G1, G2 et G3 sont alignés.

b. Quel que soit n, Gn+1 est l’image de Gn par l’homothétie de centre I et de rapport 2.

c. La suite ( ) n nu définie par 3 n nu x est une suite géométrique de premier terme −3 et de

raison 1

2 .

d. Pour tout n, 1

3 1 2

      

n n x .

Exercice 12

On considère une droite graduée Δ d’origine O. On considère les suites de points (G ) n n et

(H ) n n définies ainsi :

* G0 = O,

* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)},

* H0 a pour abscisse 1,

* Pour n entier naturel, Hn+1 est le barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)}.

On appelle gn et hn les abscisses respectives de Gn et Hn.

a. La suite ( )n ng h est une suite géométrique de raison 1

5  .

b. La suite ( )n ng h est une suite constante.

c. Les deux suites gn et hn convergent vers la même limite.

d. Les suites gn et hn sont adjacentes.

Exercice 13

Une urne contient 3 boules : une bleue, une verte et une rouge. Soit n un entier supérieur ou égal à

2. On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise intermédiaire.

On suppose les tirages équiprobables et indépendants et on appelle p la probabilité associée à cette

expérience. On définit de plus les événements suivants :

* On appelle An l’événement : « Les n − 1 tirages ont donné la même boule et la nième boule tirée est

différente des précédentes » ;

* Lorsque k est un entier compris entre 1 et n, on appelle Bk, Vk et Rk les événements respectivement

associés au tirage d’une boule bleue, verte ou rouge lors du kième tirage.

a. 1 2 1 2 1 2( ) 1 ( ) ( )     p B B p V V p R R .

b. 2 2

( ) 3 p A .

c. Pour tout entier 2n , on a : 1

2 ( )

3  n np A .

d.  2 3 1

lim ( ) ( ) ... ( ) 3

   n n

p A p A p A .

Exercice 14

La durée de vie d’un moteur est de 5 ans et suit une loi exponentielle de paramètre λ. On utilisera

pour les calculs ln 2 0,7 .

a. La densité de probabilité associée à cette loi est la fonction f définie sur par

5

( ) 0 si [0 ; 5]

( ) 5 si [0 ; 5]

  

  t

f t t

f t e t .

b. On suppose que 50% des clients ont été dépannés durant la garantie. La durée de cette garantie

est de 3 ans et demi environ.

c. On considère un lot de 10 moteurs fonctionnant de manière indépendante et on appelle X le

nombre de moteurs qui n’ont pas de panne pendant les deux premières années.

La probabilité d’avoir 1X est 4( 1)  p X e .

d. On est dans les mêmes conditions qu’au c. L’espérance de la variable aléatoire X est 2

5( ) 10 

E X e .

Exercice 15

On considère le prisme ABCDEF ci-dessous. Sur ce prisme, I est le milieu de [AB], J celui de [BC]

et ABED et ADFC sont des carrés. On rapporte l’espace au repère ( ; , , )A AB AD AC .

Pour n entier naturel, on appelle Gn le barycentre du système {(A ; 1), (B ; 1), (E ; 1), (D ; n)} (on

notera que Gn existe puisque n + 1 + 1 + 1 n’est pas nul).

6

J

I

F

C

D E

BA

a. Le plan (IJF) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que 2 2 3 1 0   x y z .

b. La droite Δ passant par D et orthogonale au plan (IJF) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels

que

1

1 ,

3

2

       

   

x k

y k k

z k

.

c. G3 appartient au segment [BD].

d. L’ensemble des points M tels que 3    MA MB ME nMD n est la droite (BD).

Exercice 16

J

I

H G

FE

D C

BA

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous où I est le milieu de [EF] et J est le centre de la face

ADHE. On rapporte l’espace au repère ( ; , , )A AB AD AE .

a. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que 1  y x est le plan (DBH).

b. Le plan (AIG) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que 2 0  x y z .

c. La droite (BJ) est orthogonale au plan (AIG).

d. La distance, en unités de repère, de B au plan (AIG) est 2.

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