Sciences statistiques - Exercice 14, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 14, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 14. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: La rotation de centre M, Somme des termes d’une suite géométrique.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S mai 2005

Concours Fesic Correction

Exercice 1

2

' ( ) z

z f z z

      

  .

a. Vrai :

2 2 22

2 2 2 2 2

2 ' ( ) ' ' '

x y xyz z z f z z x iy i

z x y x yz

               

.

b. Faux : ' 2 0 0 ou 0z xy x y      : M appartient à l’axe des abscisses ou à l’axe des

ordonnées.

c. Vrai :  

1682 8 44

1 (1 ) 1

2

i iif i e e

                   

.

d. Vrai : M et M’ sont confondus ssi 2

22

0 '

1

zz z z z

z z zz

     

  

. Il y a donc bien une seule

possibilité puisque 0 est interdit.

Exercice 2

1Az i  , Jz i , 2Kz i  et 1Mz im  .

a. Vrai : N symétrique de M par rapport à A :

2 2 2 1 1 (2 ) 2

N M A N A M

z z z z z z i im i m

            .

b. Vrai : JM a pour affixe 1 1 ( 1)M Jz z im i i m       , NK a pour affixe

2 1 (2 ) 1 ( 1)K Nz z i i m i m         , donc NK JM .

c. Vrai : La rotation de centre M et d’angle 2

 s’écrit ' ( )M Mz z i z z   . ; si K est l’image de J, on doit

avoir 2 2

( ) 2 1 ( 1 ) 1 1 2 1

K M J M

i z z i z z i im i i im i im i m m

i

                    

 .

d. Faux : Il ne faut pas confondre le produit des complexes avec le produit scalaire… On a d’ailleurs ( ) (1 )(2 1 2 ) (1 )(1 ) 2A K Mz z z i i i i i          ; le produit ( )A K Mz z z ne peut être nul que si 0Az

ou K Mz z .

Exercice 3

On a :

2

32 1 3 i

z e i

    et 4 1

2

ii t e

 

  .

a. Vrai : 4 n

i nt e

 

 est un nombre réel si et seulement si 0 4 4

n k n k

     donc n est un multiple de

4.

b. Faux :

4 4 3 74 32 3 3 4 123 4

3 3

4

4 4 4 4

i i ii i

i

z e e e e e

t e

    

    

     .

c. Vrai :

20 2

10 10 10 6 10 9 93 3 1 3

2 2 2 2 2 3 2 2

i i iz e e e i i

 

            

.

d. Vrai : Somme des termes d’une suite géométrique :

9

9 4 4 2 8

4 4

1 1 1 1 ... 1

1 1 1

i i

i i

t e e t t t

t e e

 

 

 

 

          

  

.

Exercice 4

( ) ln( ( ))g x f x .

a. Faux : g est définie lorsque f est strictement positive, soit sur  ] 2 ; 2[ 1  .

b. Faux : Si g est dérivable en 0, on a '(0)

'(0) (0)

f g

f  , soit ici '(0) 0g  car '(0) 0f  (tangente horizontale).

c. Vrai : ( ) 1 ln( ( )) 1 ( )g x f x f x e     dans ] 2 ; 2[ ; comme f prend deux fois la valeur e, l’équation

possède exactement deux solutions.

d. Vrai : On a ( ) (ln( ( ))) ln [ln ( )]g g x g f x f f x  ; quand x tend vers 0, f tend vers e, ln( ( ))f x tend alors

vers lne = 1 et (ln( ( )))f f x tend vers 0 ; on a donc 0 0

lim ( ) lim ln x X

g g x X  

   .

Exercice 5

a. Faux : I 0 ; 2

     

, ( ) ln(cos ) cos(ln )f x x x  . f est dérivable sur I : sur I, 0x  et cos 0x  , pas de

problème ; on calcule :   (cos )' 1

'( ) ln '( sin(ln )) tan sin(ln )) cos

x f x x x x x

x x       .

b. Faux : 2

2 2

2 2 2

4 3 01 2 1 4 2 1 1 2 1 4 2 2 2

2 1 1 2 4 0

x xx x x x x

x x x x

                     

   

.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

e

(C)

Comme  1 ; 2x  , on a sur cet intervalle la première inégalité vraie (racines −1 et −3, positif à l’extérieur des racines) et la deuxième fausse en partie (racines 0 et 2, positif à l’extérieur des racines).

On pouvait également faire les variations de 2

2 1

1

x

x

 sur  1 ; 2x  …

c. Faux : La courbe image de lnx x par la translation de vecteur (3, 2) est ln( 3) 2y x   ; ici on a

ln(2 6) ln( 3) ln 2x x x     ; la translation considérée est celle de vecteur (3, ln2).

d. Vrai : 2 sin

( ) x x

f x e

 : f est dérivable sur sans problème ; on calcule :

    2 2sin sin2 2( ) sin 2 sin cos

x x x x f x x x e x x x x e

       ;

comme par ailleurs sin( ) sinx x    et cos( ) cosx x    , en mettant x en facteur on retrouve bien

    2 sin

'( ) 2sin cos x x

f x x x x x e        .

Exercice 6

a. Vrai : L’inégalité

0

(1 ) 1

n

n k

k

n x x nx

k

      

   est classique (inégalité de Bernoulli) et se démontre par

récurrence par exemple. Le reste du raisonnement est tout à fait juste.

b. Faux : Ce n’est pas parcequ’une fonction est continue qu’elle est dérivable ; d’ailleurs ici on a

0 0 0

( ) (0) ln lim lim lim ln

0x x x

f x f x x x

x x  

    

 , la fonction n’est pas dérivable en 0 (même si elle l’est pour

0x  ).

c. Faux : Le piège ici est que sur ] ; 1[  on n’a pas le droit d’écrire  ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x x   

puisque 1x  et 1x  sont négatifs. On peut faire le même calcul mais en prenant

 ( ) ln(1 ) ln( 1)f x x x x     sur ] ; 1[  ; la dérivée est alors 1 1

1 1x x

 

  pour ln(1 )x et

1 1

1 1x x

 

   pour ln( 1)x  , ce qui donne le même résultat à la fin.

d. Faux : Tout le raisonnement est juste, malheureusement la propriété P(n) est fausse pour n = 0

( 04 1 2  , pas divisible par 3), n = 1 ( 14 1 5  ) , …lol…

Exercice 7

Soit f la fonction définie sur  1 ;1 par 2

2

1 1 ( ) ln

1

x f x

x x

      

si 0x  et (0) 0f  .

a. Vrai : Cette question utilise deux fois la limite suivante du cours : 0

ln(1 ) lim 1 x

x

x

  .

2 2 2 22

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

( ) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )1 1 lim lim ln lim lim lim lim 2

1x x x x x x

f x x x x xx

x x x x x x x     

                 

.

Le résultat se voit clairement sur la courbe de f.

b. Faux : f est dérivable en 0 : oui ; '(0) 0f  : non, avec la question précédente on a '(0) 2f   .

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

x

y

c. Faux : Sans calcul la réponse est immédiate car 2 1x  est négatif sur  1 ;1 , donc 1

f x

     

n’existe

pas !

d. Faux : La fonction f est impaire, la fonction g est paire car x x  . Si on prend la restriction (C’)

de (C) sur [0 ; 1[, alors la courbe ( ) est la réunion de (C’) et de l’image de cette restriction par la symétrie d’axe (Oy). Si on prend la courbe (C) dans son entier, la symétrie ne donne pas ( ).

La question n’est pas très bien posée… le terme « on déduit » peut laisser supposer que l’on fait la symétrie sur (C) puis que l’on coupe les morceaux qui nous intéressent…

Exercice 8

E désigne la fonction « partie entière » : c’est la fonction qui à tout nombre associe le nombre entier

juste inférieur : E(2,5) = 2, E(−1,3) = −2 (figure de gauche). (0) 0f  et ( ) lnf x x x si 0x  .

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-6 -4 -2 0 2 4 6 x

y

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

x

y

a. Vrai : La fonction ( ( ))f E x est représentée à droite. Quand x tend vers 2 par valeurs inférieures, x est

de la forme 1,…, sa partie entière est 1 et 2 1

2

lim ( ) lim ln 0 x X x

f E x X X   

  .

b. Vrai : on fait la somme de 4 rectangles tous de largeur 1 :

4 1 2 3 4

0 0 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 6E x dx E x dx E x dx E x dx E x dx             .

c. Faux : 0 0

( ) ln 1 /ln 1

x x f x x x x x

x ex

          

   .

d. Faux : f s’annule en 1, donc sur l’intervalle d’intégration ; le calcul de l’aire est en fait 1

1 1

( ) ( ) e

e

f x dx f x dx   .

Exercice 9

2 0

1 ( )

1

x

f x dt t

  .

a. Vrai : f est définie sur  1, 1  et donc a fortiori sur  1 ;1 .

b. Vrai : 2

1 '( )

1 f x

x  

qui est positive sur  1 ;1 .

c. Faux : 0

2 0

1 (0) 0

1 f dt

t  

 .

d. Faux : La fonction 2

1

1 t est paire, on a donc si on prend (par exemple) x > 0,

0

2 2 2 2 0 0 0

1 1 1 1 ( ) ( )

1 1 1 1

x x x

x

dt dt dt dt f x f x t t t t

               .

f est une fonction impaire.

Exercice 10

nu = nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n côtés.

D

C

B

A

E

F

D

C

B

A

E

a. Faux : 5 5u  et 6 9u  ; lorsqu’on rajoute le point F on rajoute 3 diagonales et un côté devient une

diagonale….

b. Vrai : Lorsqu’on rajoute un point au polygone à n sommets, on rajoute 2 côtés et n − 2 diagonales,

par ailleurs un côté devient une diagonale donc : 1 2 1 1n n nu u n u n        .

c. Faux : Une suite arithmétique a une raison constante !

d. Vrai : Par récurrence : 3 0u  , ok ; 4 4

2 2

u   , 5 5.2

5 2

u   , 6 6.3

9 2

u   , ok ; ( 3)

2 n

n n u

  donc

1

( 1)( 2)

2 n

n n u

   ; a-t-on 1 1n nu u n    ?

2 2( 1)( 2) ( 3) 2 3 2 2 1

2 2 2 2

n n n n n n n n n n

             .

Exercice 11

0 0 1 1

2 1, 2, ,

2 1 2

n n n n n n

u v u v u v u v 

     

 .

a. Vrai : le calcul n’est pas très marrant…

 

1 1 1

2 2 2 2 (1 2) (1 2)

21 2 2(1 2)

(1 2) ( 2 1) ( 2 1)( 2 1)2 1 3 2 2 3 2 .

2(2 1) 22(1 2) 2(1 2) 2(1 2)( 2 1)

n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

u v u v u v u v w v u

u v v u w w w

  

           

 

               

     

b. Vrai : On a  0 3

2 1 2 2

n n

nw w q  

      

; la raison est positive ( 2 1, 414 ) de même que le

premier terme, donc 0n n nw u v   .

c. Vrai : Au pif, on peut penser que les deux suites sont adjacentes puisque nw tend évidemment vers

0 ; il faut donc que la suite v soit décroissante.

Plus sérieusement 1 2 2 2

0 1 2 1 2 1 2 1 2

n n n n n n n n n n n n

u v u v v v u v w v v v

            

    .

d. Vrai : Suites adjacentes et tutti-quanti ; les deux suites u et v convergent vers une même limite (que

vous vous ferez une joie de trouver…en partant par exemple sur l’expression de 1n nu u  puis…).

Exercice 12

0 1

3 0,

4 n

n

u u u

  

; 1

3

n n

n

u v

u

  

; ln( )n nw v .

a. Vrai : 11 1

3 43 1

1 4 4 1 1

3 3 12 33 3( 3) 3 3

4 4

n

n n n n n n

nn n

n n

u

u u u u v v

uu u

u u

 

  

        

   

 

; nv est donc géométrique de raison 1

3

et de premier terme 00 0

1 1

3 3

u v

u

   

d’où 1

1

3 n n

v

 .

b. Vrai : ln( ) ( 1)ln 3 ln 3 ln 3n nw v n n       : w est une suite arithmétique de raison − ln3 et de

premier terme −ln3.

c. Vrai : on calcule

 

   

0 1 2 2 1 1 2 ... ( 1)

1 / 2

1 1 1 1 ln ... ln ... ln [1 2 3 ... ( 1)]ln 3

3 3 3 3

( 1)( 2) ln 3 ( 1)( 2) ln 3 ( 1)( 2) ln 3 .

2

n n n v v v v n

n n n n n n

    

                      

   

           

.

d. Vrai : Comme v converge vers 0 et que 1

3

n n

n

u v

u

  

, u converge vers 1. On peut l’obtenir également en

exprimant nu en fonction de nv puis en passant à la limite, mais le résultat est le même.

Exercice 13

a. Vrai : On fait une patate et on voit que :

ne lisent que A et B : 18−3 = 15, ne lisent que A et C : 15−3 = 12 et ne lisent que B et C : 18−3 = 15 ;

ne lisent que A : 75−(15+12+3) = 45,

ne lisent que B : 58−(15+15+3) = 25,

ne lisent que C : 60−(15+12+3) = 30.

Au total on a donc 45+25+30+15+15+12+3+5 = 150 personnes.

b. Vrai : Il y a 45+25+30 = 100 personnes qui ne lisent qu’une seulement de ces trois revues.

c. Faux : Il y a au total 25+15+15 = 55 hommes ne lisant qu’une des revues ; sur ces 55, 25 lisent A, soit un peu moins de 50 %.

d. Vrai : Il y a 25 hommes parmi les lecteurs de A, soit bien 25% des lecteurs considérés.

Exercice 14

a. Faux : La loi de probabilité associée à T, v.a. uniforme, est donnée par :

( ) ( ) 300

b

a

b a P a T b f t dt

     ; la densité de probabilité f est

1 ( )

300 f t  .

b. Vrai : Pour qu’un piéton attende moins de 10 secondes, il faut que T soit compris entre 0 et 60 ou

entre 110 et 180 ou entre 230 et 300 , soit 60 70 70 200 2

300 300 300 300 3     .

c. Vrai : Un piéton attend plus de 40 secondes si T est compris entre 60 et 80 ou entre 180 et 200 , soit 20 20 40 2

300 300 300 15    .

d. Faux : Loi binomiale de paramètres 10 et 2

3 ; on a

3 7 3

10

10 2 1 120.2 ( 3)

3 3 3 3 P X

             

     .

Petite remarque : il est bizarre de ne pas tenir compte du temps de traversée… Il serait bon de reprendre cet exercice dans des conditions un peu plus réelles. En plus, le problème des feux est plutôt celui des voitures que celui des piétons…

Exercice 15

a. Vrai : On élimine t dans les équations paramétriques, ce qui donne :

1

33 1 3 31

4 3 1 4 3 4

1 1

x t

x t y yx

y t y t z

z t z t

     

            

      

.

b. Vrai : (P) est le plan d’équation 3 0x y z    ; remplaçons x, y et z dans cette équation par

3 1

4 3

1

x t

y t

z t

      

  

: 3 1 4 3 1 0t t t       , ok.

c. Vrai : Astuce « vaseuse » : Comme S est la sphère de diamètre [AB], c’est l’ensemble des points M tels

que le triangle AMB soit rectangle en M, soit . 0AM BM  ; on cherche les coordonnées de A et B : pour t = 0, on a A(1 ; 3 ; 1) et pour t = 1, on a B(−2 ; −1 ; 2).

Le produit scalaire donne alors bien ( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 1)( 2) 0x x y y z z         .

d. Vrai : G bar. {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, −1)} a pour coordonnées :

(1.1 1. 2 1.3) 0

(1.3 1. 1 1.3) 1

(1.1 1.2 1.3) 4

x

y

z

             

     

; on cherche

les distances (au carré) : 2 1 16 9 26GA     , 2 9 16 1 26GC     , 2 4 0 4 8AC     .

00 s 60 s 115 s

120 s

180 s 235 s

240 s

300 s

Rouge Rouge Rouge

Exercice 16

On lit les coordonnées de A : (3 ; 1 ; 1) et de B : (−2 ; 2 ; 3).

a. Vrai : Le vecteur ( 5 ;1 ; 2)AB  est colinéaire à un vecteur normal à (P) : (5 ; 1 ; 2)  ; par ailleurs

5( 2) 2 2(3) 18 10 2 6 18 0          donc B est ok.

b. Vrai : On applique la formule : 5(3) 1 2(1) 18 30

( ; P) 30 25 1 4 30

d A   

    

.

c. Vrai : Sans commentaire. Enfin, si quand même :

nécessaire signifie que si M est sur (AB) alors ses coordonnées vérifient

3 5

1

1 2

x t

y t

z t

    

  

,

suffisant signifie que si M a des coordonnées telles que

3 5

1

1 2

x t

y t

z t

    

  

, alors il est sur (AB).

d. Faux : Pour que l’intersection de (C) et du plan (yOz) soit un disque, il faut que l’axe de (C), (AB), soit orthogonal au plan de coupe, ici (yOz). Ce n’est visiblement pas le cas ; à première vue on peut penser qu’il s’agit d’une ellipse, mais la figure n’est peut-être pas très juste, et il faudrait recourir au calcul…

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