Sciences statistiques - Exercice 15, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 15, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 15. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Le plan complexe, la translation de vecteur, le raisonnement.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S mai 2005

Concours Fesic

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère la fonction f qui, à tout

complexe z non nul, associe le complexe :

2

' ( ) z

z f z z

      

  .

Soient {0}z  et ' ( )z f z . On appelle M le point de coordonnées (x, y) d’affixe z et M’ le point de

coordonnées (x’, y’) d’affixe z’.

a. On a 2 2

2 2 '

x y x

x y

 

 et

2 2

2 '

xy y

x y

 .

b. 'z  si et seulement si M appartient à l’axe des ordonnées.

c.   8

(1 )f i est un nombre réel.

d. Il existe un et un seul point M tel que M et M’ soient confondus.

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v .

Soit *m . On considère les points A, J, K et M d’affixes respectives 1Az i  , Jz i , 2Kz i  et

1Mz im  . Soit N le symétrique de M par rapport à A.

a. Le point N a pour affixe 1 (2 )i m  .

b. Quel que soit *m , K est l’image de N par la translation de vecteur JM .

c. Il existe une valeur de m et une seule telle que K soit l’image de J par la rotation de centre M et d’angle

2

 .

d. Soit 2m  . Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de

prouver que ( ) 0A K Mz z z  .

Exercice 3

On appelle z le complexe de module 2 et d’argument 2

3

 et on pose

1

2

i t

 .

a. Soit n . nt est un nombre réel si et seulement si n est un multiple de 4.

b. 12

 est un argument de

2

3

z

t .

c. La partie réelle de 10z est 92 .

d. 2 81 ... 1t t t     .

Exercice 4

On considère la courbe (C) ci-dessous, la droite  : 2x  et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C).

On appelle f la fonction représentée par (C) et g la fonction définie par ( ) ln( ( ))g x f x .

a. g est définie sur ] 2 ; 2[ .

b. g est dérivable en 0 et 1

'(0)g e  .

c. L’équation ( ) 1g x  possède exactement deux solutions.

d. 0

lim ( ) x

g g x

  .

Exercice 5

a. Soit f la fonction définie sur I 0 ; 2

     

par ( ) ln(cos ) cos(ln )f x x x  . f est dérivable sur I et, pour

tout Ix , 1

'( ) tan sinf x x x

      

  .

b. Soit  1 ; 2x  . On a 2

1 2 1 1

2 1

x

x

   

 .

c. La courbe représentant la fonction ln(2 6)x x  dans un repère du plan se déduit de la courbe

représentant lnx x par une translation d’un vecteur de coordonnées (3, 2).

d. Soit f la fonction définie sur par : 2 sin

( ) x x

f x e

 . f est dérivable sur et, pour x ,

    2 sin

'( ) 2sin cos x x

f x x x x x e        .

Exercice 6

a. On considère le raisonnement suivant :

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

e

(C)

« Pour tout x  , et pour tout *n ,

0

(1 ) 1

n

n k

k

n x x nx

k

      

   . En particulier pour *n et

1 x

n  on obtient

1 1 1

n

n n

     

  . Comme  lim 1

n n

    , on en déduit que

1 lim 1

n

n n

     

  . » Ce raisonnement est exact.

b. On considère la fonction f définie sur  par : ( ) lnf x x x si 0x  et (0) 0f  et on considère le

raisonnement suivant :

« f est continue sur  comme produit de fonctions continues sur  . De plus, comme

0 lim( ln ) 0 (0) x

x x f

  , c’est que f est continue en 0. Il s’ensuit que f est continue sur  et donc est

dérivable sur  . » Ce raisonnement est exact.

c. Soit f la fonction définie sur ] ; 1[ ]1 ; [D      par : 1

( ) ln 1

x f x x

x

    

  . On considère le

raisonnement suivant :

« f est définie et dérivable sur D car composée par des fonctions définies et dérivables sur D. Pour x D

on peut écrire :  ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x x    et on obtient alors

1 1 1 2 '( ) ln( 1) ln( 1) ln

1 1 1 ( 1)( 1)

x x f x x x x

x x x x x

              

        . »

Ce raisonnement est exact.

d. Soit P(n) la phrase définie sur par : « 4 1n  est divisible par 3. » On considère le raisonnement suivant :

« Supposons qu’il existe 0n  tel que 0P( )n soit vraie. Montrons que 0P( 1)n  est vraie.

Puisque 0P( )n est vraie, il existe k tel que 04 1 3n k  .

On a alors  10 0 0 0 0 04 1 4 4 1 3 4 4 1 3 4 3 3 4n n n n n nk k              .

Ceci prouve que 04 1n  est un multiple de 3 et donc que 0P( 1)n  est vraie. On en déduit que quel que

soit n , P(n) est vraie. » Ce raisonnement est exact.

Exercice 7

Soit f la fonction définie sur  1 ;1 par 2

2

1 1 ( ) ln

1

x f x

x x

      

si 0x  et (0) 0f  . On appelle (C) la

courbe représentant f dans un repère orthonormal du plan.

a. 0

( ) lim 2 x

f x

x   .

b. f est dérivable en 0 et '(0) 0f  .

c. Pour  1 ;1x  et 0x  , 1

f x

     

existe et vaut 2

2

1 1 ln

1

x f x

x x

           

.

d. Soient g la fonction définie sur  1 ;1 par  ( )g x f x et ( ) la courbe représentant g dans le même repère que (C). On déduit ( ) à partir de (C) par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice 8

E désigne la fonction « partie entière ». Soit f la fonction définie sur  par : (0) 0f  et ( ) lnf x x x si

0x  .

a. 2

2

lim ( ) 0 x x

f E x  

 .

b. 4

0

( ) 6E x dx  .

c. Il existe une et une seule valeur réelle x telle que ( )f x x  .

d. 1

( ) e

e

f x dx désigne l’aire de la portion de plan située entre les droites d’équation 1

x e  , x e , 0y  et

la courbe (C) représentant f.

Exercice 9

Soit f la fonction définie par 2

0

1 ( )

1

x

f x dt t

  .

a. f est définie sur  1 ;1 .

b. f est croissante sur  1 ;1 .

c. (0) 1f  .

d. f est une fonction paire.

Exercice 10

Pour tout entier n, 3n , on désigne par nu le nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n

côtés. On appelle u la suite ainsie définie pour 3n , de terme général nu .

a. 5 6u  et 6 10u  .

b. Pour tout entier n, 3n , on a 1 1n nu u n    .

c. La suite u est une suite arithmétique de raison 1n .

d. Pour tout entier n, 3n , on a : ( 3)

2 n

n n u

  .

Exercice 11

On considère les suites u et v définies pour n par : 0 0 1 1 2

1, 2, , 2 1 2

n n n n n n

u v u v u v u v 

     

 .

a. Soit w la suite définie pour n par : n n nw v u  . La suite w est une suite géométrique de raison

3 2

2  .

b. Quel que soit n , n nu v .

c. La suite v est décroissante.

d. Les deux suites u et v convergent et ont la même limite.

Exercice 12

On considère la suite u définie pour n par : 0 1 3

0, 4

n n

u u u

  

.

Soit v la suite définie pour n par : 1

3

n n

n

u v

u

  

. On considère enfin la suite w définie pour n par :

ln( )n nw v . On admet que u, v, w sont bien définies.

a. Quelque soit n , 1

1

3 n n

v

 .

b. w est une suite arithmétique dont la raison est égale au premier terme.

c. Soit n ;    0 1 2ln ... ( 1)( 2)ln 3nv v v v n n        .

d. La suite u est convergente.

Exercice 13

Un sondage fait état de l’intérêt d’un certain nombre de personnes sur la lecture de trois revues, appelées A, B et C. Tous les chiffres cités ci-dessous font référence à ces personnes sondées.

Parmi les personnes interrogées, 75 lisent A, 58 lisent B et 60 lisent C. On sait de plus que 18 lisent A et B, 18 lisent B et C et 15 lisent A et C. Enfin 3 personnes lisent les trois revues et 5 personnes ne lisent aucune de ces revues.

Par ailleurs, et parmi les personnes qui ne lisent que la revue A, 20 sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue B, les deux-cinquièmes sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue C, il ya moitié-moitié d’hommes et de femmes.

a. 150 personnes ont été sondées.

b. 100 personnes lisent une et une seulement de ces trois revues.

c. On interroge au hasard une personne du sexe masculin qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.

d. On interroge au hasard une personne qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.

Exercice 14

Un feu tricolore de circulation reste 55 secondes au vert et 5 secondes à l’orange, temps pendant lesquels un piéton ne peut pas traverser. Puis il reste 60 secondes au rouge, temps pendant lequel un piéton peut traverser. Dans l’exercice, on ne s’intéresse qu’aux seuls piétons qui se présenteraient pour traverser à ce feu tricolore entre 8 h 00 et 8 h 05.

A 8 h 00, ce feu se met au rouge. On appelle T la variable aléatoire qui donne, en secondes, le temps écoulé entre 8 h 00 et l’heure d’arrivée devant ce feu d’un piéton qui souhaite traverser. On admet que T suit une loi uniformément répartie sur l’intervalle [0 ; 300].

a. La densité de probabilité associée à T est la fonction f ainsi définie :

1 ( )

3 f t  si [0 ; 60[t ou si [120 ;180[t ou si [240 ; 300[t ; ( ) 0f t  dans les autres cas.

b. La probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes est 2

3 .

c. La probabilité qu’un piéton attende plus de 40 secondes est 2

15 .

d. Entre 8 h 00 et 8 h 05, 10 piétons se présentent à ce feu tricolore. La probabilité que 3 d’entre eux

exactement aient attendu moins de 10 secondes est 3

10

2

3 .

Exercice 15

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Soit (D) la droite définie pour t par :

3 1

4 3

1

x t

y t

z t

      

  

. Lorsque [0 ;1]t , l’ensemble des points M de (D) décrivent un segment ; soient A et B les

extrémités de ce segment, A étant le point dont les coordonnées sont toutes positives. Soit (S) la sphère

de diamètre [AB]. Soient (P) le plan d’équation 3 0x y z    et C le point de coordonnées (3, 3, 3).

a. Une équation cartésienne de (D) est 31

1 3 4

yx z

    .

b. Le plan (P) contient la droite (D).

c. Une équation de (S) est donnée par ( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 1)( 2) 0x x y y z z         .

d. Soit G le barycentre de {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, −1)} (on notera que G existe pusique la somme des coefficients n’est pas nulle). Le triangle GAC est isocèle.

Exercice 16

Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié.

B

-2

3

2 A

1

3

1 1

z

y

x

O

On appelle (P) le plan perpendiculaire à (AB) passant par B et on appelle (C) le cône de sommet A et dont la base est le disque de centre B et de rayon 2.

a. Une équation de (P) est : 5 2 18 0x y z    .

b. La distance de A à (P) est 30 en unités de repère.

c. On considère le raisonnement suivant : « Soit M(x, y, z) un point de l’espace. M appartient à (AB) s’il

existe t tel que AM tAB . Dans ce cas, on a

3 5

1

1 2

x t

y t

z t

     

  

. On en déduit

3 5

1

1 2

x t

y t

z t

    

  

. »

Ce raisonnement donne de façon nécessaire et suffisante une équation paramétrique de la droite (AB).

d. L’intersection de (C) et du plan (yOz) est un disque.

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