Sciences statistiques - Exercice 16, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 16, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 16. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: le triangle équilatéral, la tangente, la dérivée.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2006

Concours Fesic Correction

Exercice 1

a. Faux : Points invariants : 2 2 1

3 1 0 1

z z z z

z

      

; 9 4 13    , les racines sont réelles...

b. Vrai :    

 

   

 

   

 

2

2 2 22 2 2

2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 12 1 2 '

1 1 1 1

x iy x iy x x y y x y xx iy z i

x iy x y x y x y

               

        .

'z  si sa partie imaginaire est nulle, soit lorsque    2 1 2 1 0 3 0 0y x y x y y         .

c. Faux : 1

' 2 2 1 2 1 1 2

z z z z z         : c’est une droite (médiatrice).

d. Vrai : Il faut exprimer z en fonction de z’ :

  2 1 ' 1

' ' ' 2 1 ' 2 ' 1 1 ' 2

z z z z z z z z z z z

z z

              

sauf si ' 2z  .

Exercice 2

3 3 4 1 2 32 1 3, 2 1 3, 2 1

i i i

z e i z e i z e i

   

         .

a. Vrai :  

8 98 9 4 9

23 1

11 11 11 2

2 2 2 2 2 4

2 2

z z

z

      .

b. Faux : 4 7 1 2

1 2 36 3

5 arg 4arg 7 arg 6 arg 4 7 6

3 3 4 2

z z z z z

z

            donc c’est un imaginaire pur.

c. Vrai :

              4 4 4 2 3 44 4 3 2

1 3 1 3 1 1 3 1 4.1 3 6.1 3 4.1 3 3

1 4 3 18 12 3 9 28 16 3.

z z i i i            

      

.

d. Faux : dans tous les cas    3arg argz z s’exprime modulo 2 ; au mieux c’est une demi-droite ;

pour avoir une droite entière il faudrait que ce soit modulo  .

Exercice 3

Une fois la figure faite les réponses sont (assez) évidentes…

a. Faux : le point B a pour affixe environ 3,8 3,5b i  .

b. Vrai :   1

2 d c b a   est le théorème des milieux…

c. Vrai : comme C est le barycentre de {(O, 1) ; (A, 1)}, et que E est le centre de gravité de OAB, E est le barycentre de {(B, 1) ; (O, 1) ; (A, 1)} = {(B, 1) ; (C, 2)}.

d. Vrai : (OE) est la troisième médiane d’un triangle équilatéral donc est perpendiculaire à (AB).

E

D

C

B

u=60

A

y

j

i xO

Exercice 4

a. Faux : ce n’est aucune des quatre…

b. Vrai : sans commentaire.

c. Faux : sur [0 ; 4], 0

( ) ( ) x

F x f t dt  ,    'F x f x change de signe.

d. Vrai :    0 ' 0 0F f   puisuqe la tangente est horizontale.

Exercice 5

a. Faux : par exemple g peut osciller entre f et h sans avoir de limite.

b. Vrai :

1

0

0 0

lim ( ) x x

f x e e



 

    donc asymptote d’équation 0x  ;   1

0

0 0

lim ( ) 0 0 x x

f x e e f



 

    .

c. Faux : lorsqu’on dérive F on ne retrouve pas ( ) lnf x x x .

d. Faux : tangente en −1 pour ln … bof !

Exercice 6

a. Vrai : on a  1 ;t n , donc 2t t , donc 2

0 t te e   ; on intègre, on calcule l’intégrale de droite et on

trouve 10 1nnu e e      . Tout le reste du raisonnement est correct également. Par contre on ne

connaît pas la limite.

b. Faux : en fait la courbe coupe l’axe en 0,5 qui est entre 0 et ln2 donc l’aire n’est pas du tout cela.

c. Vrai : il s’agit de l’approximation affine utilisée dans la méthode d’Euler. Les calculs sont justes.

d. Faux : cos

( ) sin

x f x

x  est la fonction cotangente, décroissante sur chaque intervalle de la forme

 ; 1 ,k k k     ; mais à chaque fois que l’on traverse une asymptote x k on remonte ou on

redescend brutalement…

Exercice 7

a. Vrai :     1 1

( ) cos sin sin cos cos 2 2

x x xf x e x x e x x e x        

b. Vrai :

 

         

     

 

1

1

1 1 '( ) 1 cos 1 cos

2 2

11 1 1 1 1 .

2 2 2

n n n

n

n n nn n n

f x dx f n f n e n e n

e e e e

   

    

    

  

    

      

       

c. Faux : on vérifie aisément que f est une solution ; par contre  0 1 1

(0) cos0 sin 0 2 2

f e     …

d. Vrai :      0' 2 sin ' 0 2 0 sin 0 2 0xg g e x g g e g         donc lorsqu’on cherche l’équation de la

tangente on a            ' 0 0 0 2 0 0 0 1 2y g x g g x g g x        .

Exercice 8

a. Faux :   2

; 0 ; 3

fD         

.

b. Faux : 3 1

'( ) 3 2

g x x x

  

ressemble à la dérivée de f lorsqu’on écrit

         ln 3 2 ln 5 ln 3 2 ln ln 5f x x x x x      

dont la dérivée est bien g. Le problème vient de l’ensemble de définition : pour que deux fonctions soient égales, il faut au moins qu’elles aient même ensemble de définition, ce qui n’est pas le cas.

c. Vrai : on fait le changement de variable 1X x  , ce qui donne en utilisant  

0

ln 1 lim 1 X

X

X

  et des

petites astuces :

    1 0 0

3 2 3 3 ln ln ln 1 ln 1

ln 1 ln 13 3 25 5 5 lim lim lim 1

31 5 5 5

5

x X X

x x X X

X X

x X X X X

  

                   

        

.

d. Vrai :       0 0 0 0

0 0 0 0

lim ( ) lim ln 3 2 lim ln lim ln 5 0 0 0 x x x x x x x x

xf x x x x x x        

       car   0

0

lim ln 0 x x

x x  

 .

Note : les questions c. et d. sont quasiment hors du programme de TS (les astuces à utiliser dans c. et la limite du d. ne sont pas dans les textes et encore moins dans l’esprit du programme).

Exercice 9

a. Faux : vrai pour l’abscisse, faux pour l’ordonnée :

  2

3 2 2 2 22 2 0 0 lnx x x x x xe e e e e e x                 ;   3ln 31 lnf e    .

b. Vrai :     2

1 2( ) 0 x xf x f x e e     quel que soit *  .

c. Vrai : 31 ( ) 3 xf x e  , 2 22 ( ) 4

x xf x e e     , 3 2 2 2 23 4 0 3 4 0x x x x xe e e e e          ;

2 2 216 12 4      ; on a les racines 1 1 4 2

ln 2

xe x  

  

    et

2 2

4 2 3 ln 3

2

x e x

   

     .

Pour lnx  la fonction et la dérivée sont égales donc ok.

d. Faux :

    ln 3ln ln

3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2

0 0 0

1 1 2

3 3 3

x x x x x xf x f x dx e e e dx e e e

          

                  ,

soit  

33 2 13 3 1

3 3

       .

Exercice 10

a. Faux : v converge, mais on ne sait pas vers où.

b. Faux : la fonction cosinus est décroissante sur  0 ; et v est croissante donc :

   1 1 1cos cosn n n n n nv v v v c c       .

c. Faux : Bof...

d. Faux : si v converge vers 4

 , c et s tendent vers

2

2 . Les suites sont adjacentes si par exemple :

 

croissante, décroissante

lim 0

n n

n n

n n n

s c

s c

c s 

    

  

… c’est loin d’être le cas.

Exercice 11

a. Vrai : le module de zn est toujours 1.

b. Vrai :

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 1 11 1

n n n i i i i i

n nz z e e e e e z

    

        .

c. Faux : la suite  nz est périodique de période 3 et non 5.

d. Faux :

2 4 6 8 24

3 3 3 3 3

00

1 3 1 0 1

2 2

i i i i i

k

k

z e e e e e i

    

          .

Exercice 12

a. Vrai : Si c’est vrai on a 1

! n

n u

n

  ; or

    1 2 2

1 1 1 1

1 ! 1 ! ! n n

n n n n n u u

n n n nn n

         

   .

b. Faux : 1 2

1 1n

n

u n

u n

   , donc décroissante.

c. Vrai : 2

2 termes

1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 ... 2 ... 2

! 1 2 2 1 4 4 4 4

n

n

n

n n u

n n n n

             

    car

1 1 1 2

n

n n

    .

d. Vrai : la factorielle du dénominateur grossit très vite…

Exercice 13

Complétons le tableau :

A1 A2 A3 Total / A

B1 =30−30=0 20 4 24

B2 30 =60−20=40 6 76

Total / B =100−70=30 60 10 100

   

     1 3B 3 1 3 11

1

B A1 1 1 A B A B

6 B 6 6

p p p p

p

       . La première ligne du tableau donne alors :

           1 3 1 1 1 1 1 1 5

20 B A B 20 B B B 20 B 24 6 6

p p p p p p          .

a. Vrai :  1 1B A 0p   .

b. Vrai : voir tableau.

c. Faux :    

  1 3

A 1 33 3

B A 4 B A 0,4 40 %

A 10

p p

p

      .

d. Vrai : voir tableau.

Exercice 14

Rappelons que   b

t a b

a

p a t b e dt e e          .

a. Faux :   0 5 11 1

1 0 5 1R RUp t e e e

         .

b. Faux :              1 0,751 21 20 5 0 5 0 5 0,6 1 0,4 1U Up t p U p t p U p t e e              , soit

en développant   1 0,75 1 0,750 5 0,6 0,6 0,4 0,4 1 0,6 0,4p t e e e e            .

c. Vrai : même technique, on change simplement les valeurs de  :

         

        1 21 2

0,15 5 0,15 10 0,1 5 0,1 10 0,75 1,5 0,5 1

5 10 5 10 5 10

0,6 0,4 0,6 0,4 .

U Up t p U p t p U p t

e e e e e e e e           

       

       

d. Faux : on cherche T tel que

  0,1 0,1 2

1 0 0,5 1 0,5 0,1 ln 2 10 ln 2

2

T T Up t T e e T T

               .

Exercice 15

a. Vrai : d passe par le point B(1 ; 0 ; 0) et par A(2 ; −1 ; −2) donc un vecteur directeur de d est

1

1

2

u

        

;

une équation cartésienne de P qui passe par B est alors

1 1

. 0 . 1 0 2 1 0

2

x

BM u y x y z

z

       

                  

.

b. Vrai : si d a pour équations paramétriques :

2

1 2

2 4

x t

y t

z t

    

  

un vecteur directeur serait

2

2 2

4

v u

           

;

c’est bon. Il faut vérifier que B est bon :

1 2 1/ 2

0 1 2 1/ 2

0 2 4 1/ 2

t t

t t

t t

            

     

. Ok.

c. Faux : pour que ce soit une demi-droite, il faudrait par exemple t 

d. Faux : distance entre O et P :   0 1 0 1 0 2 1 1

, P 1 1 4 6

d O      

   

qui est inférieure à 1

2 .

Exercice 16

a. Faux :

1 0

. 1 . 1 1 0

0 1

P Qn n

                       

b. Vrai :  est telle que 2 2 2

2 2 2

sin sin sin

1cos cos sin

y x y x y x

z xz y z x

  

  

             

         

; donc le plan

1z x

y

   

contient  .

c. Vrai : un vecteur directeur u de  est orthogonal à Pn et Qn :

1

. . 1 0 0

0

P

a

u n b a b a b

c

                          

;

0

. . 1 0 0

1

Q

a

u n b c b c b

c

                          

.

Donc par exemple

1

1

1

u

          

qui est un vecteur normal au plan d’équation 0x y z   .

d. Faux : la droite  a pour équations paramétriques :

2

2

sin

cos

x t

y t

z t

    

  

; l’intersection avec ( ; , )O i j est

telle que 0z  , soit 2cost   d’où

2 2

2

cos sin 1

cos

0

x

y

z

 

        

  

qui existe toujours.

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