Sciences statistiques - Exercice 2 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 2 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 2- 1° partie -Fonctions Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la droite asymptote, la fonction, l’équation.
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Terminale S

Fonctions Logarithmes Exercices corrigés

1. 1. Vrai-Faux 1 1. 2. Fonction ln, EPF 2006 1 1. 3. Equation, France 2004 2 1. 4. Dérivées et ln 4 1. 5. Primitives et ln 5 1. 6. Calcul de limites 6 1. 7. Résolution (in)équations 7 1. 8. Avec ROC 8 1. 9. Dérivation et encadrement 9 1. 10. Fonction+équation, Am. Nord 06/2008, 6 pts 11 1. 11. Ln et exp+intégrale Polynésie 09/2008 6 pts 14

1. 12. Sommes partielles série harmonique, N. Calédonie 2007 16 1. 13. Fonction+aire+suite, Liban 2006 18 1. 14. Logarithme+ expo+ acc finis 19 1. 15. Logarithme+primitive 22 1. 16. Logarithme 25 1. 17. Logarithme+ asymptote+primitives 28 1. 18. Fonction inconnue 29 1. 19. Une fonction assez simple 31 1. 20. Logarithmes 33 1. 21. Ln+second degré+intégrale, Antilles 2001 36 1. 22. Ln et calculatrice, N. Caledonie 2005 38

1. 1. Vrai-Faux

Fesic 2002, exercice 1

Soit f la fonction définie par 1

( ) 2 ln( )

x f x

x   , D son ensemble de définition et C sa courbe

représentative.

a. On a D = ]0, +[.

b. La courbe C admet une droite asymptote en +.

c. Pour tout x  D, on a : ( ) 2

x f x  .

d. Pour tout x  D, on a : 2

1 2 '( )

2 (ln ) f x

x x   .

Correction

a. Faux : On doit avoir 1x  et x>0 donc D= ]0, 1[ ]1, [  .

b. Vrai : 1

lim ( ) x

f x 

    

et lim ( ) 0 2x

x f x

   donc

2

x y  est asymptote de C.

c. Faux : ( ) 2

x f x  si

1 0

ln( )x   , soit ln( ) 0x  donc quand 1 1x x   .

d. Vrai : Rappelons que '

1 'u

u u

    

  et remarquons que

2 ( )

2 ln

x f x

x   ; nous avons donc

2 2

1 1/ 1 1 '( ) 2 2

2 2(ln ) (ln )

x f x

x x x

           

    .

1. 2. Fonction ln, EPF 2006

1. On considère la fonction 2

: 1

x f x

x x  . Montrer que f est définie et dérivable sur et déterminer

la fonction dérivée f ’ de f.

2. On considère la fonction  

2

ln :

ln ln 1

x g x

x x  et on désigne par  sa courbe représentative dans

un repère orthonormal d’unités graphiques 1 cm.

a. Exprimer g en fonction de f et préciser l’ensemble de définition de g.

b. Déterminer la fonction dérivée g ’ de g (on pourra utiliser la question 1.).

c. Etudier le signe de g ’.

d. Déterminer les limites de g en 0 et  .

e. Dresser le tableau des variations de g.

f. Construire la courbe  en précisant la tangente au poiint d’abscisse 1.

Correction

1. f est un quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s’annule pas, elle est donc continue et dérivable sur .

   

   

2 2

2 2 2 2

1 2 1 1 '

1 1

x x x x x f x

x x x x

       

   

.

2. a.     2

ln ln

ln ln 1

x g x f x

x x  

  donc, comme f est définie sur , g est définie sur  0 ;  .

b.    ' ' 'f g g f g  .      

2

2

1 1 ln 1 ' ' ln

ln ln 1

x g x f x

x x x x

     

    

.

c. Le signe de g ’ dépend de celui de   21 ln 1 ln 1 lnx x x    .

x 0 1/e e 

1 ln x + + 0 −

1 ln x − 0 + +

g’(x) − 0 + 0 −

g(x)

0

−1

1

3

0

d. En  g se comporte comme les termes de plus haut degré en ln, soit 2

ln 1 1 0

lnln

x

xx   

 ; en 0

c’est pareil car ln x tend vers  , donc encore 0 comme limite.

f. Tangente au point d’abscisse 1 : 1y x  .

1. 3. Equation, France 2004

6 points

L’exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.

Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; [ , les couples

solutions de l’équation y xx y (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.

1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à lnln yx

x y  .

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; [ par ln

( ) x

h x x

 . La courbe (C) représentative de la

fonction h est donnée en annexe ; 0x est l’abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle ]0 ; [ .

a. Rappeler la limite de la fonction h en  et déterminer la limite de la fonction h en 0.

b. Calculer '( )h x , où h’ désigne la fonction dérivée de h ; retrouver les variations de h. Déterminer les

valeurs exactes de 0x et 0( )h x .

c. Déterminer l’intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses.

3. Soit  un élément de l’intervalle 1

0 ; e

    

.

Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; [e et d’un unique nombre réel b de

l’intervalle ] ; [e  tel que ( ) ( )h a h b   .

Ainsi le couple ( , )a b est solution de (E).

4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; [e , associe l’unique nombre réel

b de l’intervalle ] ; [e  tel que ( ) ( )h a h b (on ne cherchera pas à exprimer ( )s a en fonction de a).

Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux questions suivantes :

a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?

b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?

c. Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s.

5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).

A rendre avec la copie.

Correction

1. (E) : lnln

ln( ) ln( ) ln lny x y x yx

x y x y y x x y x y

       : pour la première égalité, ln est bijective,

x et y sont strictement positifs ; la deuxième est une propriété de ln, le reste est du calcul.

2. a. ln

lim 0 x

x

x  ;

0 0

ln 1 lim lim ln

x x

x x

x x        .

b. 2 2

1 ln

1 ln '( )

x x xxh x

x x

 

  ; 01 ln 0 ln 1x x x e x       ; ln 1

( ) e

h e e e

  .

c. ( ) 0 ln 0 1h x x x     .

3. hest continue, monotone strictement croissante de ]1 ; [e vers 1

0 ; e

    

(voir les variations de

h) ; il existe donc un unique réel a tel que ( )h a  ; de même hest continue, monotone

strictement décroissante de ] ; [e  vers 1

0 ; e

    

(voir les variations de h) ; il existe donc un unique

réel b tel que ( )h b  (sur chacun des intervalles considérés h est bijective, même si elle ne l’est pas

globalement).

4. s(a) = b.

a. Quand a tend vers 1,  tend vers 0, donc b tend vers  .

b. Quand a tend vers e inférieurement,  tend vers 1/e, donc b tend vers e supérieurement.

c. Lorsque a varie de 1 à e, b varie de  à e, donc s est décroissante.

5. Entre 1 et e il n’y a que deux entiers : 1 et 2 ; pour a = 1, b = … pour a = 2, b semble valoir 4.

Vérifions en remplaçant dans (E) : 4 22 16,4 16  ok !

1. 4. Dérivées et ln

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

1.   2

( ) ln 6 ln 5f x x x   .

2. 1

( ) 2 ln x

f x x x

     

  .

3. ln

( ) ²

x x f x

x

  .

Correction

1. 1 1 2ln 6

'( ) 2 ln 6 x

f x x x x x

     .

2. 1

( ) 2 ln 2 ln( 1) ln x

f x x x x x x

         

 

1 1 2 ( 1) 1 2 ² 2 1 1 1 '( ) 2 2 2 2 .

1 ( 1)

x x x x x x f x x

x x x x x x x

               

 

0

0 ,05

0 ,1

0 ,15

0 ,2

0 ,25

0 ,3

0 ,35

0 ,4

0 ,45

0 ,5

0 2 4 6 8 10 12

x

y

a b

3. ln 1 ln

( ) ² ²

x x x f x

x x x

    ,

4 4 3 3

1 ² ln 2

1 1 2 ln 1 1 2ln 1 2ln '( )

² ² ²

x x x x x x x x xxf x

x x xx x x x

      

          .

1. 5. Primitives et ln

1. Calculer la dérivée de la fonction f définie par 3

( ) ln 3

x f x

x

    

  sur ]0 ; 3[.

2. a. Déterminer toutes les primitives de la fonction h définie par : 3

4 ( )

(3 ² 2)

x h x

x

 .

b. Déterminer la primitive de h qui s’annule en 10.

4. Déterminer une primitive F de chacune des fonctions suivantes qui réponde à la condition posée :

a. 2

0,5 ( )

1

x f x

x x

 

  et F(1) = 0.

b. cos2

( ) sin .cos

x f x

x x  et F(2) = 1.

4. Calculer la dérivée de la fonction définie par 1

( ) ln 1

x f x

x

    

  .

5. Trouver une primitive de la fonction définie par :  

3

1 ( )

² 2

x f x

x x

 

 .

6. a. Montrer qu'une primitive de x ln x

x est x

2(ln )

2

x . En déduire l'ensemble des primitives F de

f.

b. Déterminer la primitive de f qui s'annule pour x = 1.

Correction

1. '( )

( ) ln( ( )) '( ) '( )ln'( ( )) ( )

u x f x u x f x u x u x

u x    

avec 3

( ) 3

x u x

x

  

1 (3 ) ( 1) (3 ) 3 3 6

'( ) (3 )² (3 )² (3 )²

x x x x u x

x x x

           

  

d’où

6

'( ) 6 3 6(3 )² '( )

3( ) (3 )² 3 (3 )(3 )

3

u x xx f x

xu x x x x x

x

     

    

.

2. a. 3 3 3 3

4 4 6 2 '( ) 2 ( ) '( ) ( )

6 3 3(3 ² 2) (3 ² 2) ( )

x x u x h x u x u x

x x u x

       

avec 2( ) 3 2u x x  et 1 3 2n n      .

2

2 2

2 ( ) 1 1 ( )

3 2 3 ( ) 3(3 ² 2)

u x H x K K K

u x x

          

(K réel).

b. 2

1 1 1 (10) 0 0

3 302² 2736123(3 10² 2) H K K       

  d’où

2

1 1 ( )

2736123(3 ² 2) H x

x   

 .

4. 1

( ) ln 1

x f x

x

    

  :

 ( ) ln ( )f x u x avec 1

( ) 1

x u x

x

  

et 1 ( 1) (1 ) 1 1 1 2

'( ) ( 1)² ( 1)² ( 1)²

x x x x u x

x x x

             

   ;

2

'( ) 2 1 2 2 2( 1)² '( )

1( ) ( 1)² 1 (1 )(1 ) (1 )( 1) ² 1

1

u x xx f x

xu x x x x x x x x

x

         

       

.

5.  

3

1 ( )

² 2

x f x

x x

 

 . Soit u(x) = x² + 2x, on a : u'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) et

 

3

3 3 3

1 1 2( 1) 1 '( ) 1 ( ) '( ) ( )

2 2 2( ² 2 ) ( )² 2

x x u x f x u x u x

x x u xx x

        

qui est de la forme 1 1

'( ) ( ) 2

nu x u x avec n − 1 = −3, ou n = −2.

Les primitives de telles fonctions sont de la forme :

2

2

1 ( ) 1 ( ² 2 ) 1 1 ( )

2 2 2 4 ( ² 2 )

nu x x x F x

n x x

       

  (+ constante…).

6. a. Dérivons 2(ln )

( ) 2

x u x  ,

1 1 ln '( ) .2. .ln

2

x u x x

x x   donc u est bien une primitive de

ln x

x .

Toutes les primitives sont alors de la forme u(x)+K.

b. 2(ln 1)

(1) 0 (1) 0 2

u K K u        .

1. 6. Calcul de limites

1. Soit

1 cos( ² )

3 2( ) 1

x

f x x

   

 

; calculer 1

lim ( ) x

f x

.

2. 3

( ) ln 5

ex f x

x

    

  ; calculer lim ( )

x f x

 .

3. ² 3

( ) ln x

x f x

e

      

; calculer lim ( ) x

f x 

.

4. 2ln 1

lim 2x

x

x

 .

5. 1

lim ln 1 x

x x

   

  .

Correction

1. 1 1

1 cos( ² )

( ) (1)3 2lim lim '(1) 1 1x x

x f x f

f x x

 

 

  

   

avec

( ) cos( ² ) 3

2 1 (1) cos( ) cos( )

3 3 2

f x x

f

 

  

  

       

.

On calcule donc '( ) 2 sin( ² ) 3

f x x x

    d'où 2 2 3

'(1) 2 sin( ) 2 sin 3 3 3 2

f   

            .

2. 3 3

lim lim ln ln 1 5 5x x

ex ex e e

x x 

       

   .

3. ² 3 3 3

lim ln lim ln( ² 3) ln lim ln( ² 1 ) lim ln ² ln 1 ² ²

x

xx x x x

x x e x x x x

x xe   

                                     ,

or 3

lim ln 1 ln 1 0 ²x x

     

  et

ln lim (ln ² ) lim (2ln ) lim 2 1

x x x

x x x x x x

x  

         

  car

ln lim 0

x

x

x  .

4. 2ln 1 ln 1

lim lim lim 0 2 2x x x

x x

x x x  

    car

ln lim 0

x

x

x  et

1 lim 0

2x x 

5. 0

1 ln 1

1 ln(1 ) lim ln 1 lim lim 1

1x x X

Xx x

x X

x

   

   

        

  d’après le cours.

1. 7. Résolution (in)équations

1. Résoudre l’équation : 2ln( 3 2) ln(2 6)x x x    .

2. Résoudre l’inéquation :

1 2ln 1

2xe e

   

   .

3. Résoudre dans le système : ln ln 1

2

x y

x y e

  

  .

4. Résoudre l’inéquation : ln(1 ) ln(1 ) ln 2 ln(1 )x x x x      .

5. Résoudre : 1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3).

6. Résoudre : ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x).

Correction

1. Domaine de définition : 1 3 17 3 17

; ; 2 2

D               

, par ailleurs 2x − 6 > 0 si et seulement

si x > 3. On a donc 1 3 17

]3 ; [ ; 2

fD D  

       

car 3 17

3,56 2

  .

Pour la résolution : ln a = ln b équivaut à a = b donc, l’équation devient : 2 3 2 2 6x x x    ou encore 2 5 4 0x x   d’où les solutions 1 et 4 ; mais seule 4 est valable.

2. Domaine de définition : il faut que x > 0, soit Df = ]0 ; [ .

1 ln 2 2ln 1

2ln 1 2 ln 2

2 2 2ln 1 ln(2 ) 2ln ln 2 ln 1 ln 2

xxe e e e x e x e x x e

    

                    . On

peut simplifier un peu :   1 1

ln 2 ln 22 2

1 2

22 e e  

   et finalement 2

0; 2

S       

.

3.

2 ln lnln ln 1 1

2 2 ²2 2

1

ex y e x yex y ey

ye y e ex y e xx y e

e

            

         

. Les deux solutions sont positives donc c’est

bon.

4. Attention à l’ensemble de définition :  1 0,1 0, 2 0 1, 1, 0 0 ;1x x x x x x x            .

On a alors 2 2 21 2 1 2 1 2 2 2 1 3

ln ln 0 0 0 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

                    

           .

Le numérateur et le dénominateur sont positifs sur ]0 ; 1[, la solution est donc l’intervalle ]0 ; 1[.

5. 1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) : il faut que x > – 3 et que x² + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3 ) >0 (à l’extérieur des racines) donc D = ]– 3 ;  [.

1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ln e + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3)  ln e(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) 

e(x + 3) = x² + 2x – 3.

ln est une bijection : x² + (2 – e)x – 3(1 + e) = 0 ,

 = (2 –e)² + 12(1 + e) = 4 – 4e + e² + 12 + 12e = e² + 8e + 16 = (e + 4)².

(2 ) ( 4)

2

e e x      , x1 = –3  D ou x2 = e + 1 D. S = {e + 1}.

6. ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x)

Il faut que x² – 4e² >0 et que 3x > 0 i.e. x >0 et x² > 4e² c'est-à-dire (x > 0) et (x > 2e ou x<–2e).

D = ]2e ;  [.

ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x)  ln(x² – 4e²) < lne + ln(3x)  ln(x² – 4e²) < ln(3ex)  x² – 4e² < 3ex  (E) x² – 3ex – 4e² < 0.

 = 9e² + 16e² = 25e² = (5e)², 3 5

2

e e x

  ; (E)  – e < x < 4e. S = ]2e ; 4e[.

1. 8. Avec ROC

1. La fonction g est définie sur ]0 ;  [ par ( ) 2 3ln 6g x x x x   .

En utilisant les variations de g, déterminer son signe suivant les valeurs de x.

2. La fonction numérique f est définie sur ]0,+[ par

3ln ( ) 1

x f x x

x    .

a. Démonstration de cours : au choix

- démontrer que ln

lim 0 x

x

x  et en déduire que lim

x

x

e

x  

ou bien

- démontrer que lim x

x

e

x   et en déduire que

ln lim 0

x

x

x  .

b. Déterminer les limites de f en 0 et + (en +, on pourra poser X x ).

c. Utiliser la première partie pour déterminer le sens de variation de f.

3. Soit  la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. Montrer que  est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. construire C et  .

Correction

1. 21 1 4 2 3 3 3

'( ) 2 2 3 3 2 2

x x x x x g x x x

x x xx x x x x

          .

On a alors 2 2 4 30 ( 1) 0 1x x x x x x x x x           car x est positif.

Conclusion g est décroissante avant 1, croissante après ; on a un minimum en 1 qui vaut g(1)=2+0+6=8 et est positif. Finalement g(x) est toujours positive.

2. 3ln

( ) 1 x

f x x x

  

a. No comment.

b. Comme ln

lim 0 x

x

x  , si on pose X x , cela nous donne

2ln ln ln lim lim lim 2 0

x X X

x X X

X Xx      .

En 0, lnx tend vers  et 1

x tend vers  donc

ln x

x tend vers  ainsi que f.

c.

1 1 2 1 3(2 ln ) 2 ln ln

( )6 3ln 22 2 2 2 2 '( ) 3 1 3

2 2

x x x x x x

g xx x x xx x x x x x f x

x x x x x x x x

   

         .

Donc f’ est du signe de g et donc toujours positive, f est donc croissante.

3. On a 3ln

( ) ( 1) x

f x x x

   qui tend vers 0 à l’infini et qui est positif (C au-dessus de  ) lorsque x >1,

négatif lorsque x < 1 (C en dessous de  ) .

1. 9. Dérivation et encadrement

Le plan P est muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité graphique 3 cm).

1. On considère la fonction définie sur [0, [ par :

ln( 1) ( ) si 0

(0) 1

x f x x

x

f

  

  

Montrer que f est continue en 0.

2. a. Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0, [ par 2 3

( ) ln(1 ) 2 3

x x g x x x

        

  .

Calculer g(0) et en déduire que sur + : 2 3

ln(1 ) 2 3

x x x x  

       

.

b. Par une étude analogue, montrer que si 0x  , alors 2

ln(1 ) 2

x x x   .

c. Établir que pour tout x strictement positif on a 2

1 ln(1 ) 1

2 2 3

x x x

x

       .

En déduire que f est dérivable en zéro et que 1

'(0) 2

f  

3. a. Soit h la fonction définie sur [0, [ par ( ) ln(1 ) 1

x h x x

x    

.

Étudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0, [ .

b. Montrer que sur [0, [ , 2

( ) '( )

h x f x

x  .

c. Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +

d. On désigne par C la représentation graphique de f. Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0. Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.

Correction

1.

ln( 1) ( ) si 0

(0) 1

x f x x

x

f

  

  

; f est continue en 0 ssi 0

lim ( ) (0) x

f x f

 , or le cours donne justement la limite

0

ln(1 ) lim 1 x

x

x

  .

2. a.   2 2 3 3

21 1 1'( ) 1 0 1 1 1

x x x x x x g x x x

x x x

                

. Donc g est décroissante et comme

g(0)=0, on a également ( ) 0g x  , soit 2 3

ln(1 ) 2 3

x x x x  

       

.

b. On prend 2 2 21 1 1

( ) ln(1 ) '( ) 1 0 2 1 1 1

x x x x x k x x x k x x

x x x

              

   et (0) 0k  donc

( ) 0k x  , soit 2

ln(1 ) 2

x x x   .

c. 2 3 2 2 3 2

2

1 ln(1 ) 1 ln(1 ) ln(1 )

2 3 2 2 3 2 2 3 2

x x x x x x x x x x x x x x

x

                      .

f dérivable en zéro : on calcule 20 0 0

ln(1 ) 1

( ) (0) ln(1 ) lim lim lim

0x x x

x f x f x xx

x x x  

 

    

 ; or le résultat

précédent montre que cette limite est précisément 1

2  qui est donc f’(0).

3. a. ( ) ln(1 ) 1

x h x x

x    

, 2 2 2

1 1 1 1 '( ) 0

1( 1) ( 1) ( 1)

x x h x

xx x x

       

   ; on a (0) 0h  et h décroissante

donc ( ) 0h x  .

b. 2 2

1 ln(1 )

( )1'( ) 0

x x h xxf x

x x

     .

c. ln(1 ) ln

lim ( ) lim lim 0 x x x

x x f x

x x  

   .

1. 10. Fonction+équation, Am. Nord 06/2008, 6 pts

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par   1

ln ln

f x x x

  .

On nomme (C) la courbe représentative de f et ( ) la courbe d’équation lny x dans un repère

orthogonal ( ; , )O i j .

1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en  .

2. a. Déterminer  lim ln x

f x x     . Interpréter graphiquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de (C ) et de ( ).

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O.

a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle  1 ;  . Démontrer que la tangente Ta à (C) au point

d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si    ' 0f a af a  .

Soit g la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par      'g x f x xf x  .

b. Montrer que sur  1 ;  , les équations   0g x  et     3 2

ln ln ln 1 0x x x    ont les mêmes

solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur  par   3 2 1u t t t t    , montrer que la

fonction u s’annule une fois et une seule sur .

d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.

La courbe (C) et la courbe ( ) sont données ci-dessus. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel m et l’équation  f x mxd’inconnue x.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].

Correction

1. On a 1

f u u

  , avec   lnu x x , dérivable et qui ne s’annule pas sur  1 ;  . Donc f est dérivable sur

 1 ;  en tant que différence de deux fonctions dérivables sur  1 ;  .

2 2

1 u u f u u u

u u u

             

  avec  

1 u x

x   . Donc  

    2 2

1

1 1 1 1

ln ln

xf x x xx x

           

.

Comme 1x  , 1

0 x  et

  2

1 1 0

ln x   , c’est-à-dire   0f x  . f est strictement croissante sur  1 ; .

  1

1

lim ln 0 x x

x

 

 d’où  1

1

1 lim

lnx x

x 

  , donc   1

1

lim x x

f x  

  (par somme des limites).

 lim ln x

x 

  d’où  

1 lim 0

lnx x  , donc  lim

x f x

   (par somme des limites).

2. a.    1

lim ln lim 0 lnx x

f x x x 

      

  . Les courbes  C et   sont asymptotes en  .

b.   1

ln ln

f x x x

   ; or, pour 1x  , ln 0x  ; donc   ln 0f x x  ,  C est en dessous de   .

3. a. Ta a pour équation            y f a x a f a f a x f a af a        ; Ta passe par l’origine du

repère si          0 ' 0 0f a f a af a f a af a        .

b.   0g x  équivaut à     0f x xf x  ; or    

2

1 1 1

ln f x

x x

         

et   1

ln ln

f x x x

  , soit :

   

   

 

3 2

2 2 2

ln ln ln 11 1 1 1 1 ln 1 0 ln 1 0 0

ln lnln ln ln

x x x x x x

x x xx x x

                     

.

Par conséquent les équations   0g x  et     3 2

ln ln ln 1 0x x x    ont les mêmes solutions.

c.     23 2 1 1 3 1u t t t t t       .   0u t  pour t appartenant à   1

; 1 ; 3

        

et   0u t 

pour t appartenant à 1

; 1 3

     

.

x  1

3 

1



 u t + 0 − 0 +

u



22

27 

2



Avant 1 le maximum de u est négatif ; après 1, u passe de −2 à  , on en déduit que la fonction u

s’annule une seule fois sur .

d. Ta passe par l’origine du repère si     3 2

ln ln ln 1 0x x x    , c’est-à-dire si  ln 0u x  . Or la

question 3. c. prouve que cette équation n’admet qu’une solution, que l’on notera 0a , sur .

À l’aide de la calculatrice, on trouve 0 6,29a  : il n’existe qu’une seule tangente à (C) passant par

l’origine du repère.

4. Par lecture graphique : résoudre  f x mx revient à chercher l’intersection entre (C) et les droites

passant par l’origine et de pente m ; on a donc pour 1 10x  et  

0

10

10

f m  :

- si 0m m l’équation  f x mx admet une seule solution ;

- si  0 00,187 0,2m m f a    l’équation  f x mx admet deux solutions ;

- si  0m f a l’équation  f x mx n’admet aucune solution.

1. 11. Ln et exp+intégrale Polynésie 09/2008 6 pts

On considère la fonction f définie sur  par    ln 2x xf x e e  . La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

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