Sciences statistiques - Exercice 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques

PDF (521.8 KB)
14 pages
108Numéro de visites
Description
Sciences statistiques - Exercice 2- 2° partie -Fonctions Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: étude de la fonction f, étude d’une suite.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 14
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Partie A - Étude de la fonction f

1. Montrer que, pour tout réel x,   2ln 1 2 xf x x e   .

On admet que, pour tout réel x,   2ln 2 xf x x e    .

2. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

Étudier la position relative de (C) et de (d).

3. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d’) d'équation ln 2y x   est asymptote à (C).

4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3

ln 2 2

.

5. Tracer les droites (d) et (d’) sur la figure.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

On pose   3

2

I f x x dx    .

1. Donner une interprétation géométrique de I.

2. Montrer que, pour tout  0 ;X  ,  ln 1 X X  .

En déduire que 3

2

2

0 2 xI e dx   et donner un encadrement de I d'amplitude 0,02.

Correction

Partie A

1.           2 2 2ln 2 ln 1 2 ln ln 1 2 ln 1 2x x x x x x xf x e e e e e e x e             .

Remarque : si on met en facteur xe à la place de xe , on a    2ln 2 xf x x e    .

2.      2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0x x x

f x x e

           ;

     2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0 0x x x

f x x e

         : la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

3.      2lim lim ln 2 ln 2 0x x x

f x x e  

          ;

       2lim lim ln 2 ln 2 lim ln 2 0x x x x

f x x e f x x   

         : la droite (d’) ln 2y x   est

asymptote à (C).

4.   2

' 2

x x

x x

e e f x

e e

  

;   2 1

' 0 2 2 2 ln 2 ln 2 2

x x xf x e e e x x         .

          1 1

ln 2 ln 2 1/ 2 1/ 2 ln 2 ln 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 3/ 22 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2

2 f e e e e

  

                      

.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

1. I représente l’aire comprise entre (C), la droite (y=x), les droites x=2 et x=3.

2.    2 2ln 1 ln 1 2 2x xX X e e      car 22 0xe  . Par ailleurs on a   0f x x I   .

    33 3 3

2 2 2 6 4

2 2 2 2

2 ln 1 2 2 0,015

2

x x xI f x x dx e dx e dx e e e      

                 ; 0,01 est une

estimation de I d'amplitude 0,02.

1. 12. Sommes partielles série harmonique, N. Calédonie 2007

7 points

Soit (un) la suite définie sur * par

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      .

PARTIE A

1. Montrer que pour tout n de * ,   

1

3 2

2 2 2 1 n n

n u u

n n n

   

  .

2. En déduire le sens de variation de la suite (un).

3. Établir alors que (un) est une suite convergente.

L’objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite (un).

PARTIE B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par :   1

ln 1

x f x

x x

     

  .

1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement : 11 1 1

1

n

n

dx n x n

    .

b. Vérifier que   1 1 1n

n

dx f n x n

  .

c. En déduire que pour tout entier naturel n non nul,    

1 0

1 f n

n n  

 .

2. On considère la suite (Sn) définie sur * par

        

2 1 1 1 1

... 1 1 1 2 2 2 1

k n

n

k n

S k k n n n n n n

          .

a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,      0 1 ... 2 nf n f n f n S      .

b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait

 

1

1 1

a b

x x x x  

  .

c. En déduire l’égalité  

1

2 1 n

n S

n n

 

 .

d. En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers  de

        2

1 ... 2

k n

k n

f k f n f n f n

     .

e. Vérifier que pour tout entier n > 1,       1

1 ... 2 ln 2nf n f n f n u n

         

  .

f. Déterminer la limite de la suite (un).

Correction

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      .

PARTIE A

1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

n nu u n n n n n n n n n n

    

                        

d’où

   1

3 2

2 2 2 1 n n

n u u

n n n

   

  .

2. La suite (un) est décroissante puisque 3 2 0n   .

3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.

PARTIE B

1. a. 11 1 1 1 1 1

1 1 1

n

n

n x n dx n x n n x n

            .

b.     1

11 1 ln ln 1 ln ln

n n

n n

n dx x n n

x n

   

         ;

par ailleurs   1 1 1 1

ln ln 1

n n f n

n n n n n

           

    car ln ln

a b

b a   .

c. Comme 11 1 1

1

n

n

dx n x n

    , on a :

       

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 f n f n f n

n n n n n n n n n             

    .

2. a. Comme

   

     

   

1 0 ,

1

1 0 1 ,

1 2

...,

1 0 2 ,

2 2 1

f n n n

f n n n

f n n n

  

    

  

on somme toutes ces inégalités et on obtient :

            

1 1 1 0 1 ... 2 ...

1 1 2 2 2 1 nf n f n f n S

n n n n n n          

    .

b. On a déjà le résultat au 1.c. :  

1 1 1

1 1n n n n    

c. On remplace donc dans  

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 1 1 2 2 2 1 2 1

k n

n

k n

S k k n n n n n n n n

                car

tous les termes intermédiaires s’éliminent ;    

1 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 n

n n n S

n n n n n n

      

   .

d. nS tend vers 0 en  ; grâce aux « gendarmes »      1 ... 2f n f n f n    tend également vers 0.

e.

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      ;

      1 1 1 1 2

1 ... 2 ln ln ... ln 1 1 2 2 2 1

1 1 1 1 2 ... ln ...

1 2 1 2 2 1

2 1 1 ln ln ln 2 .

2 1 n n n

n n n f n f n f n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

n n u u u

n n n

                     

        

                        

                      

Les logarithmes se simplifient car tous les termes du produit à l’intérieur du crochet s’éliminent.

f. On sait déjà que      1 ... 2f n f n f n    tend vers 0 ; le logaritheme tend vers ln2 donc nu tend

vers ln2.

1. 13. Fonction+aire+suite, Liban 2006

7 points

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = x ln(x +1).

Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal ( ; , )O u v est donnée ci-dessous.

1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle  0 ;  .

b. L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?

2. On pose 21

0 1

x I dx

x

 .

a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout 1x   , 2

1 1

x c ax b

x x   

  .

b. Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x = 0, x =1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note  cette solution. Donner un encadrement de  d’amplitude 102.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un) est définie sur par   1

0

ln 1nnu x x dx  .

1. Déterminer le sens de variation de la suite (un). La suite (un) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, ln 2

0 1

nu n

  

. En déduire la limite de la suite (un).

Correction

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = x ln(x +1).

1. a.    ' ln 1 1

x f x x

x   

 ; sur  0 ;  les deux termes  ln 1 x et

1

x

x sont positifs donc f est

croissante sur cet intervalle.

b. La tangente en O a pour équation    ln 1 0 0 0 0y x     donc l’axe des abscisses est tangent à (C)

au point O.

2. a. 2 2 1 1 1

1 . 1 1 1 1

x x x

x x x x

     

   

b. 121 1

2

0 0 0

1 1 1 1 ln 1 ln 2

1 1 2 2

x I dx x dx x x x

x x

                  .

3.     11 1

2 2

0 00

1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 2

2 2 1 2 2 4 x x dx x x x dx I

x

             .

4. La fonction f est continue, monotone strictement croissante et donc bijective de  0 0f  vers

 1 ln 2 0,69f   ; comme  0,25 0 ; ln 2 , 0,25 a un unique antécédent dans [0 ; 1]. On obtient

x f(x)

0,56020942 0,24919239

0,56544503 0,25341558

d’où 0, 56  .

Partie B : étude d’une suite

1.         1 1 1

1 1

0 0 0

ln 1 ln 1 1 ln 1n n nn nu u x x dx x x dx x x x dx

           ; comme  1x  est négatif et que les autres termes sont posititfs sur [0 ; 1], l’intégrale est négative et (un) est décroissante. Par ailleurs il est évident que (un) est positive donc (un) décroissante, minorée par 0 converge.

2. On a  ln 1 ln 2x   sur [0 ; 1] donc   11 1

1

0 0 0

1 ln 2 ln 1 ln 2 ln 2

1 1

n n n nu x x dx x dx x

n n

          .

On a donc bien ln 2

0 1

nu n

  

. Comme ln 2

1n tend vers 0 à l’infini, la suite converge vers 0.

1. 14. Logarithme+ expo+ acc finis

Partie A

Le but de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur ]0 ;  [ par

2ln ( )

x f x x

x   .

(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; )i, j (unité graphique : 1 cm).

1.Étude de la fonction auxiliaire g définie sur ]0 ;  [ par 2( ) 2 2lng x x x   .

a. Étudier le sens de variation de g et calculer g(1).

b. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ;  [.

2.a. Calculer les limites de f en 0 et en  .

b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. Montrer que la droite  d'équation y = x est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à  .

d. Déterminer les coordonnées du point A de (C) sachant que (C) admet en A une tangente T parallèle à  .

e. Tracer (C),  et T dans le repère (O ; )i, j .

3.Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par  , la courbe (C) et les droites d'équations x = 1 et x = e.

4.Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique x0. Prouver que 0 1

1. 2

x 

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer une valeur approchée de x0.

On désigne par h la fonction définie sur ]0 ;  [ par

2

2( ) .

x

h x e

1. Montrer que x0 est l'unique solution de l'équation h(x) = x.

2. On note I l'intervalle 1

; 1 2

    

. Montrer que, pour tout x appartenant à I, h(x) appartient aussi à I.

3.a. Calculer la dérivée h´ de h et la dérivée seconde h'' de h.

b. Étudier les variations de h´ sur I.

c. En déduire que, pour tout x de I, on a

1

2'( )h x e

 .

4.On considère la suite définie par u0 = 1 et un + 1 = h(un) pour tout entier naturel n de .

a. Montrer par récurrence que, pour tout n de : 1

1 2

nu  .

b En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout n de : 1/ 2

1n nu e u  

    .

c. En déduire que, pour tout n de : 20 1

e . 2

n

nu x

 

5. a. Déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que, pour tout entier nn0, on ait : 22

1 e 10 .

2

n



b. Montrer que : 200 10nu x   . Que représente

0n u relativement à x0 ? Calculer

0n u à 102 près par

défaut.

Correction

Partie A

1. a. 2 2( ² 1) 2

'( ) 2 ( 1)( 1) x

g x x x x x x x

       .

x − −1 0 1 +

g’(x) − 0 + − 0 +

g(x)

3

g(1) = 1² + 2 – 2  0 = 3.

b. 3 est un minimum de la fonction g sur ]0 ;  [ donc la fonction g est positive quel que soit x.

2. a. 0 0 0 0

2ln ln lim ( ) lim ( ) lim 2 lim

x x x x

x x f x x x

x x             car

0

1 ln

ln lim lim lim ( ln )

1X Xx

x X X X x

X

  

     .

2ln ln lim ( ) lim ( ) lim 2 lim

x x x x

x x f x x x

x x          car

ln lim 0

x

x

x  .

b.

1 2 2ln 1

( )² 2 2ln '( ) 1

² ² ²

x x g xx xxf x

x x x

     

    du signe de g(x), c’est à dire positif !

f est donc strictement croissante sur ]0 ;  [.

x 0 +

f ’(x) +

f (x)

−

+

c. 2ln

lim ( ( ) ) lim 0 x x

x f x x

x

     , donc la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe. Lorsque x <

1 la courbe est en dessous de  , lorsque x > 1, la courbe est au-dessus.

d. (C) admet en A une tangente de coefficient directeur 1 ssi '( ) 1Af x  :

( ) '( ) 1 1 ² 2 2ln ² 2 2ln 0 2ln 2 ln 1

²

A A A A A A A A A

A

g x f x x x x x x x x e

x                 ;

2ln 2 ( ) ( ) 3,45A

e f x f e e e

e e       .

0

5

10

15

0 4 8 12 16

y

x

0

3

6

0 2 4 6

y

x

3. Il faut calculer 1 1

ln ( ( ) ) 2

e e x f x x dx dx

x    ; or

1

x est la dérivée de ln x, donc on a quelque chose de la

forme '.u u dont une primitive est 2 1

2 u : 2

1 1 1

ln 1 1 ( ( ) ) 2 2 (ln ) 2 0 1

2 2

ee e x f x x dx dx x

x

                 .

4. La fonction f est continue, strictement croissante, sur ]0 ;  [, c’est donc une bijection de ]0 ;  [ sur . Il existe bien une valeur x0 appartenant à ]0 ;  [ telle que f(x0) = 0.

1 2ln

1 1 12 4ln 2 0 12 2 2

2

f  

       

et 2ln 1

(1) 1 1 0 1

f     donc 0 1

1 2

x  .

1. 15. Logarithme+primitive

L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire et d’en déterminer une primitive.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]−1 ;  [ par : ( ) 2ln( 1) 1

x f x x

x    

.

1. Calculer f’(x), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

2. Calculer f(0). Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par  , appartient à [−0,72 ; −0,71].

3. Donner le signe de f(x), pour x appartenant à ]−1 ;  [.

Partie B

Soit g la fonction définie sur l'ensemble D = ]−1 ; 0[  ]0 ;  [ par : ln( 1)

( ) ²

x g x

x

  .

1. Étude de g aux bornes de son ensemble de définition.

a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures.

b. Calculer 1

1

lim ( ) x x

g x  

et lim ( ) x

g x 

.

2. Sens de variation de g

a. Calculer g ’(x) et déduire, à l'aide de la partie A, son signe.

b. Montrer que 1

( ) 2 ( 1)

g   

 

. En déduire une valeur approchée de ( )g  en prenant 0,715   .

3. Tableau et représentation graphique de g.

a. Dresser le tableau de variation de la fonction g.

b. Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

4. Calcul d’une primitive de g :

Soit h la fonction définie sur D par : ln( 1) 1

( ) ² ( 1)

x h x

x x x

  

 .

a. Déterminer des fonctions u et v telles que l’on puisse écrire ( ) '( ). ( ) ( ). '( )h x u x v x u x v x  et en déduire

une primitive de h.

b. Après avoir vérifié que 1 1 1

( 1) 1x x x x  

  , déterminer une primitive de

1

( 1)x x  .

c. Déduire des questions précédentes, une primitive de g.

Correction

Partie A

( ) 2ln( 1) 1

x f x x

x    

, Df = ]−1 ;  [.

1. f est dérivable comme somme de fonctions dérivables : en effet, : 1

x u x

x  est dérivable sur Df et

: 1 2lnv x x y y   est dérivable sur Df.

1 1 1 2( 1) 2 1 '( ) 2

( 1)² 1 ( 1)² ( 1)²

x x x x f x

x x x x

         

    .

2. 1

'( ) 0 2 1 0 2

f x x x        .

x −1 1

2  

f’(x) + 0 −

f(x) 

f(-1/2)



1 1 1 1

2( 1)ln( 1) lim ( ) lim

1x x x x

x x x f x

x   

     

 car

0 lim ln 0 X

X X

  .

lim 2ln( 1) 1x

x x

x    

 car lim 1

1x

x

x 

 et lim 2ln( 1)

x x

     .

1/ 2 1 ( 1/ 2) 2ln 1 2ln 2 0,39

1/ 2 2 f

        , f(0) = 0.

3. f est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]−1 ; −1/2[ et f(x) change de signe sur cet

intervalle ; il existe donc un nombre  de ]−1 ; −1/2[ tel que ( ) 0f   .

( 0,71) 0,027f   et ( 0,72) 0,025f    donc 0,72 0,71    .

Signe de f(x) :

x −1 0 

f(x)0 + 0

Partie B

ln( 1) ( )

²

x g x

x

  , D = ]−1 ; 0[  ]0 ;  [ .

1. a. 0 0

0 0

ln( 1) 1 lim ( ) lim x x x x

x g x

x x   

     car

0

ln( 1) lim 1 x

x

x

  et

0 0

1 lim x x

x 

  .

De même 0 0

0 0

ln( 1) 1 lim ( ) lim x x x x

x g x

x x   

     .

b. 1

lim ( ) x

g x 

  et ln( 1) 1

lim ( ) lim 0 ( 1) ²x x

x x g x

x x 

    

 car

ln lim 0

X

X

X  et

1 lim 0

²x

x

x

  .

2. a. 4 3 3

1 ² ln( 1) 2 2ln( 1)

( )1 1'( )

x x x x x

f xx xg x x x x

          .

x −1  0 

f(x) − 0 + 0 −

x3 − − +

g’(x) + 0 − −

b. ln( 1)

( ) ²

g

 

  ; or on sait que ( ) 0f   donc 2ln( 1) 0 ln( 1)

1 2( 1)

   

       

  .

On déduit que ln( 1) 1 1

( ) 2,455 ² 2( 1) ² 2 ( 1)

g  

     

      

  .

x –1  0 

g’(x) + 0 – –

g(x)







0

y

x

4. a. ln( 1) 1

( ) ² ( 1)

x h x

x x x

  

 .

1 1 1 ln( 1), ' , ' , ' '

1 ² u x u v v h uv u v

x x x         

 .

La fonction ln( 1)x

uv x

   est une primitive de h.

b. 1 1 ( 1) 1

1 ( 1) ( 1)

x x

x x x x x x

       

donc la fonction ln( ) ln( 1)x x  est une primitive de 1

( 1)x x  .

c. Une primitive de la fonction ln( 1) 1

( ) ( ) ² ( 1)

x g x h x

x x x

   

 est

ln( 1) ln ln( 1)

x x x

x

     .

1. 16. Logarithme

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ;  [ par :

1 ( ) ln 1

² f x x

x

    

  si 0x  et (0) 0f  .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  ; ,O i j (unité graphique : 5 cm).

Le but du problème est d'étudier certaines propriétés de la fonction f .

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ;  [ par : 1 2

( ) ln 1 ² ² 1

g x x x

     

  .

1. Calculer la dérivée g ' de g. Montrer que pour tout x de ]0 ;  [, 2( ² 1)

'( ) ( ² 1)²

x g x

x x

 

 .

2. Etudier le signe de g'(x) selon les valeurs de x. Déterminer la limite de g en  . Déterminer la limite de g en 0.

3. Dresser le tableau des variations de g.

4. En déduire qu'il existe un unique nombre réel 0  tel que ( ) 0g  . Vérifier que 0,5 0,6  .

Déduire des questions précédentes le signe de g(x) sur l'intervalle ]0 ;  [.

On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction g.

Partie B : Etude de la fonction f

1. a. Calculer la limite quand x tend vers  de ( )xf x (on pourra poser 1

² X

x  ).

b. En déduire que f(x) tend vers 0 quand x tend vers +. Montrer que pour tout x de ]0 ; + [, on a ( ) ( )f x g x  . Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ;  [.

2. Etude de f en 0

a. Montrer que 1

ln 1 ²

x x

   

  tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs suprieures. Que peut-on en

conclure ?

b. Etudier la dérivabilité de f en 0.

c. Préciser la tangente à la courbe de f au point O.

3. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.

4. Donner l’allure de (C).

Correction

1. a. g est dérivable comme somme de fonctions dérivables. En effet, 1

ln 1 ²x

   

  est dérivable comme

composée de fonctions dérivables, de même que 2

² 1x  

.

       

 

   

4 3

2 2 2 2 2

2 2

2 ² 1 4 ²2 2 4 2 4 2( ² 1) '( )

1 ² 1 ² 1² 1 ² 1 ² 1 ² 1 ² 11 ² ²

x

x xx x x xx xg x x x xx x x x x

x x

 

            

     

.

b. Le signe de g'(x) est celui de 2 1 ( 1)( 1)x x x    . Comme g' est définie sur * , on a :

si 0 < x < 1, g'(x) est négatif ;

si x > 1, g'(x) est positif.

2. 1 2

lim ( ) lim ln 1 lim ² ² 1x x x

g x x x  

     

  ;

1 lim 0

²x x  donc

1 lim ln 1 ln 1 0

²x x

     

  et

2 lim 0

² 1x x 

donc lim ( ) 0 x

g x 

3. 0 0 0

1 2 lim ( ) lim ln 1 lim

² ² 1x x x g x

x x  

     

  ;

0

1 lim

²x x   donc

0

1 lim ln 1 lim ln

²x X X

x 

      

  avec

1 1

² X

x   et

0

2 lim 2

² 1x x 

 donc

0 lim ( ) x

g x

  .

4. a.

x 0 1 

g'(x) – 0 +

g(x)



−0,3

0 0

1 2 (1) ln(1 ) ln 2 1 0,3

1² 1² 1 g       

 .

4. b. La fonction est continue et dérivable sur ]0 ; 1], de plus elle est strictement décroissante sur cet

intervalle en changeant de signe, donc il existe une valeur 0  telle que ( ) 0g  .

On a (0,5) 0,009438g  et (0,6) 0,141452g   donc (0,5) 0 ( ) (0,6)g g g   et comme g est

décroissante, 0,5 <  < 0,6.

5. Pour 0 < x <  , alors g(x) est positif ; pour x >  alors g(x) est négatif.

1. a. 2

2 0

1 ln 1

1 ln(1 ) lim ( ) lim ² ln 1 lim lim 1

1

²

x x x X

Xx xf x x

Xx

x

   

   

         

  (cours).

b. 1

lim ( ) 1 lim ( ) lim 0 x x x

xf x f x x  

    .

2. 1

( ) ln(1 ) ²

f x x x

  , 4 3

2 2

1 1 1 2 '( ) 1.ln(1 ) . ln(1 ) . ln(1 ) ( )

1 ² 1² ² ² ² 1 1

² ²

x

x xf x x x g x xx x x x

x x

 

           

.

x 0  

f '(x) + 0 –

f(x) f( )

0

3. a.   0 0 0

0 0 0

1 ² 1 lim ln 1 lim ln lim ln( ² 1) ln ²

² ²x x x x x x

x x x x x x x

x x     

           

    ,

0 0

lim ln( ² 1) 0 x x

x x  

  car 0

0

lim ln( ² 1) ln 1 0 x x

x  

   .

1

0 0 0 0 0 0 0 0

1 2ln

2ln 2ln 2ln lim ln ² lim lim lim lim 0

1 1 1x x x x X x x x x

x x Xxx x X

x x x

 

        

        avec 1

X x  .

Conclusion : 0

0

1 lim ln 1 0

²x x

x x

    

  .

b. f dérivable en 0 si et seulement si la limite de son taux d'accroissement est finie.

0 0 0

( ) (0) ( ) 1 lim lim lim ln 1

0 ²x x x

f x f f x

x x x  

        

  

La fonction n'est donc pas dérivable en 0.

c. La tangente en O à f est verticale. Son équation est x = 0.

4. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation '(1)( 1) (1)y f x f   : 1

(1) 1ln(1 ) ln 2 1²

f    ,

'(1) (1) ln 2 1f g   d’où (ln 2 1)( 1) ln 2 (ln 2 1) 1y x y x        .

5.

Remarque :

On a vu dans la partie A que g'(1) = 0, or g'(1) = f "(1), c'est-à-dire la dérivée seconde de f en 1 : la courbe admet un point d'inflexion pour x = 1.

1. 17. Logarithme+ asymptote+primitives

Soit la fonction définie sur l'intervalle I = ]4 ;  [ par : 1

( ) 2 5 3ln 4

x f x x

x

    

 et (C) sa courbe

représentative dans le repère orthonormal (O ; )i, j , unité graphique : 1 cm.

1. Étude de f

a. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de I.

b. Montrer que sur I, f ´(x) est strictement négatif et dresser le tableau de variation de f.

c. Montrer que la droite (D) d'équation y =  2x + 5 est une asymptote à (C). Préciser la position de (C) par rapport à (D).

2. Tracer la courbe (C) et la droite (D) dans le repère (O ; )i, j .

3. Déterminer les coordonnées du point de (C) où la tangente  a un coefficient directeur égal à 2

9  .

Donner une équation de  et la tracer dans le repère (O ; )i, j .

4. Calcul d'aire

a. Déterminer, à l'aide d'une intégration par parties, les primitives sur ]0 ;  [ de la fonction x  ln x.

b. Montrer que la fonction G : x  (x + 1) ln (x + 1)  x est une primitive de la fonction g : x  ln (x + 1) sur I.

c. Montrer que la fonction H : x  (x  4) ln (x  4)  x est une primitive de la fonction h : x  ln (x  4) sur I.

d. Déduire des questions précédentes le calcul de l'aire A du domaine plan délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x = 5 et x = 6.

On donnera la valeur exacte de A puis une valeur approchée à 10 2 près.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome