Sciences statistiques - Exercice 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 2 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 2- 2° partie -Fonctions Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: étude de la fonction f, étude d’une suite.
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Partie A - Étude de la fonction f

1. Montrer que, pour tout réel x,   2ln 1 2 xf x x e   .

On admet que, pour tout réel x,   2ln 2 xf x x e    .

2. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

Étudier la position relative de (C) et de (d).

3. Calculer  lim x

f x 

et montrer que la droite (d’) d'équation ln 2y x   est asymptote à (C).

4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3

ln 2 2

.

5. Tracer les droites (d) et (d’) sur la figure.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

On pose   3

2

I f x x dx    .

1. Donner une interprétation géométrique de I.

2. Montrer que, pour tout  0 ;X  ,  ln 1 X X  .

En déduire que 3

2

2

0 2 xI e dx   et donner un encadrement de I d'amplitude 0,02.

Correction

Partie A

1.           2 2 2ln 2 ln 1 2 ln ln 1 2 ln 1 2x x x x x x xf x e e e e e e x e             .

Remarque : si on met en facteur xe à la place de xe , on a    2ln 2 xf x x e    .

2.      2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0x x x

f x x e

           ;

     2lim lim ln 1 2 ln 1 2 0 0x x x

f x x e

         : la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

3.      2lim lim ln 2 ln 2 0x x x

f x x e  

          ;

       2lim lim ln 2 ln 2 lim ln 2 0x x x x

f x x e f x x   

         : la droite (d’) ln 2y x   est

asymptote à (C).

4.   2

' 2

x x

x x

e e f x

e e

  

;   2 1

' 0 2 2 2 ln 2 ln 2 2

x x xf x e e e x x         .

          1 1

ln 2 ln 2 1/ 2 1/ 2 ln 2 ln 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 3/ 22 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2

2 f e e e e

  

                      

.

Partie B - Encadrement d'une intégrale

1. I représente l’aire comprise entre (C), la droite (y=x), les droites x=2 et x=3.

2.    2 2ln 1 ln 1 2 2x xX X e e      car 22 0xe  . Par ailleurs on a   0f x x I   .

    33 3 3

2 2 2 6 4

2 2 2 2

2 ln 1 2 2 0,015

2

x x xI f x x dx e dx e dx e e e      

                 ; 0,01 est une

estimation de I d'amplitude 0,02.

1. 12. Sommes partielles série harmonique, N. Calédonie 2007

7 points

Soit (un) la suite définie sur * par

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      .

PARTIE A

1. Montrer que pour tout n de * ,   

1

3 2

2 2 2 1 n n

n u u

n n n

   

  .

2. En déduire le sens de variation de la suite (un).

3. Établir alors que (un) est une suite convergente.

L’objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite (un).

PARTIE B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par :   1

ln 1

x f x

x x

     

  .

1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement : 11 1 1

1

n

n

dx n x n

    .

b. Vérifier que   1 1 1n

n

dx f n x n

  .

c. En déduire que pour tout entier naturel n non nul,    

1 0

1 f n

n n  

 .

2. On considère la suite (Sn) définie sur * par

        

2 1 1 1 1

... 1 1 1 2 2 2 1

k n

n

k n

S k k n n n n n n

          .

a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul,      0 1 ... 2 nf n f n f n S      .

b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait

 

1

1 1

a b

x x x x  

  .

c. En déduire l’égalité  

1

2 1 n

n S

n n

 

 .

d. En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers  de

        2

1 ... 2

k n

k n

f k f n f n f n

     .

e. Vérifier que pour tout entier n > 1,       1

1 ... 2 ln 2nf n f n f n u n

         

  .

f. Déterminer la limite de la suite (un).

Correction

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      .

PARTIE A

1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

n nu u n n n n n n n n n n

    

                        

d’où

   1

3 2

2 2 2 1 n n

n u u

n n n

   

  .

2. La suite (un) est décroissante puisque 3 2 0n   .

3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.

PARTIE B

1. a. 11 1 1 1 1 1

1 1 1

n

n

n x n dx n x n n x n

            .

b.     1

11 1 ln ln 1 ln ln

n n

n n

n dx x n n

x n

   

         ;

par ailleurs   1 1 1 1

ln ln 1

n n f n

n n n n n

           

    car ln ln

a b

b a   .

c. Comme 11 1 1

1

n

n

dx n x n

    , on a :

       

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 f n f n f n

n n n n n n n n n             

    .

2. a. Comme

   

     

   

1 0 ,

1

1 0 1 ,

1 2

...,

1 0 2 ,

2 2 1

f n n n

f n n n

f n n n

  

    

  

on somme toutes ces inégalités et on obtient :

            

1 1 1 0 1 ... 2 ...

1 1 2 2 2 1 nf n f n f n S

n n n n n n          

    .

b. On a déjà le résultat au 1.c. :  

1 1 1

1 1n n n n    

c. On remplace donc dans  

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 1 1 2 2 2 1 2 1

k n

n

k n

S k k n n n n n n n n

                car

tous les termes intermédiaires s’éliminent ;    

1 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 n

n n n S

n n n n n n

      

   .

d. nS tend vers 0 en  ; grâce aux « gendarmes »      1 ... 2f n f n f n    tend également vers 0.

e.

2 1 1 1 1

... 1 2

k n

n

k n

u k n n n

      ;

      1 1 1 1 2

1 ... 2 ln ln ... ln 1 1 2 2 2 1

1 1 1 1 2 ... ln ...

1 2 1 2 2 1

2 1 1 ln ln ln 2 .

2 1 n n n

n n n f n f n f n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

n n u u u

n n n

                     

        

                        

                      

Les logarithmes se simplifient car tous les termes du produit à l’intérieur du crochet s’éliminent.

f. On sait déjà que      1 ... 2f n f n f n    tend vers 0 ; le logaritheme tend vers ln2 donc nu tend

vers ln2.

1. 13. Fonction+aire+suite, Liban 2006

7 points

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = x ln(x +1).

Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal ( ; , )O u v est donnée ci-dessous.

1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle  0 ;  .

b. L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?

2. On pose 21

0 1

x I dx

x

 .

a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout 1x   , 2

1 1

x c ax b

x x   

  .

b. Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x = 0, x =1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note  cette solution. Donner un encadrement de  d’amplitude 102.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un) est définie sur par   1

0

ln 1nnu x x dx  .

1. Déterminer le sens de variation de la suite (un). La suite (un) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, ln 2

0 1

nu n

  

. En déduire la limite de la suite (un).

Correction

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = x ln(x +1).

1. a.    ' ln 1 1

x f x x

x   

 ; sur  0 ;  les deux termes  ln 1 x et

1

x

x sont positifs donc f est

croissante sur cet intervalle.

b. La tangente en O a pour équation    ln 1 0 0 0 0y x     donc l’axe des abscisses est tangent à (C)

au point O.

2. a. 2 2 1 1 1

1 . 1 1 1 1

x x x

x x x x

     

   

b. 121 1

2

0 0 0

1 1 1 1 ln 1 ln 2

1 1 2 2

x I dx x dx x x x

x x

                  .

3.     11 1

2 2

0 00

1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 2

2 2 1 2 2 4 x x dx x x x dx I

x

             .

4. La fonction f est continue, monotone strictement croissante et donc bijective de  0 0f  vers

 1 ln 2 0,69f   ; comme  0,25 0 ; ln 2 , 0,25 a un unique antécédent dans [0 ; 1]. On obtient

x f(x)

0,56020942 0,24919239

0,56544503 0,25341558

d’où 0, 56  .

Partie B : étude d’une suite

1.         1 1 1

1 1

0 0 0

ln 1 ln 1 1 ln 1n n nn nu u x x dx x x dx x x x dx

           ; comme  1x  est négatif et que les autres termes sont posititfs sur [0 ; 1], l’intégrale est négative et (un) est décroissante. Par ailleurs il est évident que (un) est positive donc (un) décroissante, minorée par 0 converge.

2. On a  ln 1 ln 2x   sur [0 ; 1] donc   11 1

1

0 0 0

1 ln 2 ln 1 ln 2 ln 2

1 1

n n n nu x x dx x dx x

n n

          .

On a donc bien ln 2

0 1

nu n

  

. Comme ln 2

1n tend vers 0 à l’infini, la suite converge vers 0.

1. 14. Logarithme+ expo+ acc finis

Partie A

Le but de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur ]0 ;  [ par

2ln ( )

x f x x

x   .

(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; )i, j (unité graphique : 1 cm).

1.Étude de la fonction auxiliaire g définie sur ]0 ;  [ par 2( ) 2 2lng x x x   .

a. Étudier le sens de variation de g et calculer g(1).

b. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ;  [.

2.a. Calculer les limites de f en 0 et en  .

b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. Montrer que la droite  d'équation y = x est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à  .

d. Déterminer les coordonnées du point A de (C) sachant que (C) admet en A une tangente T parallèle à  .

e. Tracer (C),  et T dans le repère (O ; )i, j .

3.Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par  , la courbe (C) et les droites d'équations x = 1 et x = e.

4.Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique x0. Prouver que 0 1

1. 2

x 

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer une valeur approchée de x0.

On désigne par h la fonction définie sur ]0 ;  [ par

2

2( ) .

x

h x e

1. Montrer que x0 est l'unique solution de l'équation h(x) = x.

2. On note I l'intervalle 1

; 1 2

    

. Montrer que, pour tout x appartenant à I, h(x) appartient aussi à I.

3.a. Calculer la dérivée h´ de h et la dérivée seconde h'' de h.

b. Étudier les variations de h´ sur I.

c. En déduire que, pour tout x de I, on a

1

2'( )h x e

 .

4.On considère la suite définie par u0 = 1 et un + 1 = h(un) pour tout entier naturel n de .

a. Montrer par récurrence que, pour tout n de : 1

1 2

nu  .

b En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout n de : 1/ 2

1n nu e u  

    .

c. En déduire que, pour tout n de : 20 1

e . 2

n

nu x

 

5. a. Déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que, pour tout entier nn0, on ait : 22

1 e 10 .

2

n



b. Montrer que : 200 10nu x   . Que représente

0n u relativement à x0 ? Calculer

0n u à 102 près par

défaut.

Correction

Partie A

1. a. 2 2( ² 1) 2

'( ) 2 ( 1)( 1) x

g x x x x x x x

       .

x − −1 0 1 +

g’(x) − 0 + − 0 +

g(x)

3

g(1) = 1² + 2 – 2  0 = 3.

b. 3 est un minimum de la fonction g sur ]0 ;  [ donc la fonction g est positive quel que soit x.

2. a. 0 0 0 0

2ln ln lim ( ) lim ( ) lim 2 lim

x x x x

x x f x x x

x x             car

0

1 ln

ln lim lim lim ( ln )

1X Xx

x X X X x

X

  

     .

2ln ln lim ( ) lim ( ) lim 2 lim

x x x x

x x f x x x

x x          car

ln lim 0

x

x

x  .

b.

1 2 2ln 1

( )² 2 2ln '( ) 1

² ² ²

x x g xx xxf x

x x x

     

    du signe de g(x), c’est à dire positif !

f est donc strictement croissante sur ]0 ;  [.

x 0 +

f ’(x) +

f (x)

−

+

c. 2ln

lim ( ( ) ) lim 0 x x

x f x x

x

     , donc la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe. Lorsque x <

1 la courbe est en dessous de  , lorsque x > 1, la courbe est au-dessus.

d. (C) admet en A une tangente de coefficient directeur 1 ssi '( ) 1Af x  :

( ) '( ) 1 1 ² 2 2ln ² 2 2ln 0 2ln 2 ln 1

²

A A A A A A A A A

A

g x f x x x x x x x x e

x                 ;

2ln 2 ( ) ( ) 3,45A

e f x f e e e

e e       .

0

5

10

15

0 4 8 12 16

y

x

0

3

6

0 2 4 6

y

x

3. Il faut calculer 1 1

ln ( ( ) ) 2

e e x f x x dx dx

x    ; or

1

x est la dérivée de ln x, donc on a quelque chose de la

forme '.u u dont une primitive est 2 1

2 u : 2

1 1 1

ln 1 1 ( ( ) ) 2 2 (ln ) 2 0 1

2 2

ee e x f x x dx dx x

x

                 .

4. La fonction f est continue, strictement croissante, sur ]0 ;  [, c’est donc une bijection de ]0 ;  [ sur . Il existe bien une valeur x0 appartenant à ]0 ;  [ telle que f(x0) = 0.

1 2ln

1 1 12 4ln 2 0 12 2 2

2

f  

       

et 2ln 1

(1) 1 1 0 1

f     donc 0 1

1 2

x  .

1. 15. Logarithme+primitive

L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire et d’en déterminer une primitive.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]−1 ;  [ par : ( ) 2ln( 1) 1

x f x x

x    

.

1. Calculer f’(x), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

2. Calculer f(0). Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par  , appartient à [−0,72 ; −0,71].

3. Donner le signe de f(x), pour x appartenant à ]−1 ;  [.

Partie B

Soit g la fonction définie sur l'ensemble D = ]−1 ; 0[  ]0 ;  [ par : ln( 1)

( ) ²

x g x

x

  .

1. Étude de g aux bornes de son ensemble de définition.

a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures.

b. Calculer 1

1

lim ( ) x x

g x  

et lim ( ) x

g x 

.

2. Sens de variation de g

a. Calculer g ’(x) et déduire, à l'aide de la partie A, son signe.

b. Montrer que 1

( ) 2 ( 1)

g   

 

. En déduire une valeur approchée de ( )g  en prenant 0,715   .

3. Tableau et représentation graphique de g.

a. Dresser le tableau de variation de la fonction g.

b. Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

4. Calcul d’une primitive de g :

Soit h la fonction définie sur D par : ln( 1) 1

( ) ² ( 1)

x h x

x x x

  

 .

a. Déterminer des fonctions u et v telles que l’on puisse écrire ( ) '( ). ( ) ( ). '( )h x u x v x u x v x  et en déduire

une primitive de h.

b. Après avoir vérifié que 1 1 1

( 1) 1x x x x  

  , déterminer une primitive de

1

( 1)x x  .

c. Déduire des questions précédentes, une primitive de g.

Correction

Partie A

( ) 2ln( 1) 1

x f x x

x    

, Df = ]−1 ;  [.

1. f est dérivable comme somme de fonctions dérivables : en effet, : 1

x u x

x  est dérivable sur Df et

: 1 2lnv x x y y   est dérivable sur Df.

1 1 1 2( 1) 2 1 '( ) 2

( 1)² 1 ( 1)² ( 1)²

x x x x f x

x x x x

         

    .

2. 1

'( ) 0 2 1 0 2

f x x x        .

x −1 1

2  

f’(x) + 0 −

f(x) 

f(-1/2)



1 1 1 1

2( 1)ln( 1) lim ( ) lim

1x x x x

x x x f x

x   

     

 car

0 lim ln 0 X

X X

  .

lim 2ln( 1) 1x

x x

x    

 car lim 1

1x

x

x 

 et lim 2ln( 1)

x x

     .

1/ 2 1 ( 1/ 2) 2ln 1 2ln 2 0,39

1/ 2 2 f

        , f(0) = 0.

3. f est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]−1 ; −1/2[ et f(x) change de signe sur cet

intervalle ; il existe donc un nombre  de ]−1 ; −1/2[ tel que ( ) 0f   .

( 0,71) 0,027f   et ( 0,72) 0,025f    donc 0,72 0,71    .

Signe de f(x) :

x −1 0 

f(x)0 + 0

Partie B

ln( 1) ( )

²

x g x

x

  , D = ]−1 ; 0[  ]0 ;  [ .

1. a. 0 0

0 0

ln( 1) 1 lim ( ) lim x x x x

x g x

x x   

     car

0

ln( 1) lim 1 x

x

x

  et

0 0

1 lim x x

x 

  .

De même 0 0

0 0

ln( 1) 1 lim ( ) lim x x x x

x g x

x x   

     .

b. 1

lim ( ) x

g x 

  et ln( 1) 1

lim ( ) lim 0 ( 1) ²x x

x x g x

x x 

    

 car

ln lim 0

X

X

X  et

1 lim 0

²x

x

x

  .

2. a. 4 3 3

1 ² ln( 1) 2 2ln( 1)

( )1 1'( )

x x x x x

f xx xg x x x x

          .

x −1  0 

f(x) − 0 + 0 −

x3 − − +

g’(x) + 0 − −

b. ln( 1)

( ) ²

g

 

  ; or on sait que ( ) 0f   donc 2ln( 1) 0 ln( 1)

1 2( 1)

   

       

  .

On déduit que ln( 1) 1 1

( ) 2,455 ² 2( 1) ² 2 ( 1)

g  

     

      

  .

x –1  0 

g’(x) + 0 – –

g(x)







0

y

x

4. a. ln( 1) 1

( ) ² ( 1)

x h x

x x x

  

 .

1 1 1 ln( 1), ' , ' , ' '

1 ² u x u v v h uv u v

x x x         

 .

La fonction ln( 1)x

uv x

   est une primitive de h.

b. 1 1 ( 1) 1

1 ( 1) ( 1)

x x

x x x x x x

       

donc la fonction ln( ) ln( 1)x x  est une primitive de 1

( 1)x x  .

c. Une primitive de la fonction ln( 1) 1

( ) ( ) ² ( 1)

x g x h x

x x x

   

 est

ln( 1) ln ln( 1)

x x x

x

     .

1. 16. Logarithme

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ;  [ par :

1 ( ) ln 1

² f x x

x

    

  si 0x  et (0) 0f  .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  ; ,O i j (unité graphique : 5 cm).

Le but du problème est d'étudier certaines propriétés de la fonction f .

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ;  [ par : 1 2

( ) ln 1 ² ² 1

g x x x

     

  .

1. Calculer la dérivée g ' de g. Montrer que pour tout x de ]0 ;  [, 2( ² 1)

'( ) ( ² 1)²

x g x

x x

 

 .

2. Etudier le signe de g'(x) selon les valeurs de x. Déterminer la limite de g en  . Déterminer la limite de g en 0.

3. Dresser le tableau des variations de g.

4. En déduire qu'il existe un unique nombre réel 0  tel que ( ) 0g  . Vérifier que 0,5 0,6  .

Déduire des questions précédentes le signe de g(x) sur l'intervalle ]0 ;  [.

On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction g.

Partie B : Etude de la fonction f

1. a. Calculer la limite quand x tend vers  de ( )xf x (on pourra poser 1

² X

x  ).

b. En déduire que f(x) tend vers 0 quand x tend vers +. Montrer que pour tout x de ]0 ; + [, on a ( ) ( )f x g x  . Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ;  [.

2. Etude de f en 0

a. Montrer que 1

ln 1 ²

x x

   

  tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs suprieures. Que peut-on en

conclure ?

b. Etudier la dérivabilité de f en 0.

c. Préciser la tangente à la courbe de f au point O.

3. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.

4. Donner l’allure de (C).

Correction

1. a. g est dérivable comme somme de fonctions dérivables. En effet, 1

ln 1 ²x

   

  est dérivable comme

composée de fonctions dérivables, de même que 2

² 1x  

.

       

 

   

4 3

2 2 2 2 2

2 2

2 ² 1 4 ²2 2 4 2 4 2( ² 1) '( )

1 ² 1 ² 1² 1 ² 1 ² 1 ² 1 ² 11 ² ²

x

x xx x x xx xg x x x xx x x x x

x x

 

            

     

.

b. Le signe de g'(x) est celui de 2 1 ( 1)( 1)x x x    . Comme g' est définie sur * , on a :

si 0 < x < 1, g'(x) est négatif ;

si x > 1, g'(x) est positif.

2. 1 2

lim ( ) lim ln 1 lim ² ² 1x x x

g x x x  

     

  ;

1 lim 0

²x x  donc

1 lim ln 1 ln 1 0

²x x

     

  et

2 lim 0

² 1x x 

donc lim ( ) 0 x

g x 

3. 0 0 0

1 2 lim ( ) lim ln 1 lim

² ² 1x x x g x

x x  

     

  ;

0

1 lim

²x x   donc

0

1 lim ln 1 lim ln

²x X X

x 

      

  avec

1 1

² X

x   et

0

2 lim 2

² 1x x 

 donc

0 lim ( ) x

g x

  .

4. a.

x 0 1 

g'(x) – 0 +

g(x)



−0,3

0 0

1 2 (1) ln(1 ) ln 2 1 0,3

1² 1² 1 g       

 .

4. b. La fonction est continue et dérivable sur ]0 ; 1], de plus elle est strictement décroissante sur cet

intervalle en changeant de signe, donc il existe une valeur 0  telle que ( ) 0g  .

On a (0,5) 0,009438g  et (0,6) 0,141452g   donc (0,5) 0 ( ) (0,6)g g g   et comme g est

décroissante, 0,5 <  < 0,6.

5. Pour 0 < x <  , alors g(x) est positif ; pour x >  alors g(x) est négatif.

1. a. 2

2 0

1 ln 1

1 ln(1 ) lim ( ) lim ² ln 1 lim lim 1

1

²

x x x X

Xx xf x x

Xx

x

   

   

         

  (cours).

b. 1

lim ( ) 1 lim ( ) lim 0 x x x

xf x f x x  

    .

2. 1

( ) ln(1 ) ²

f x x x

  , 4 3

2 2

1 1 1 2 '( ) 1.ln(1 ) . ln(1 ) . ln(1 ) ( )

1 ² 1² ² ² ² 1 1

² ²

x

x xf x x x g x xx x x x

x x

 

           

.

x 0  

f '(x) + 0 –

f(x) f( )

0

3. a.   0 0 0

0 0 0

1 ² 1 lim ln 1 lim ln lim ln( ² 1) ln ²

² ²x x x x x x

x x x x x x x

x x     

           

    ,

0 0

lim ln( ² 1) 0 x x

x x  

  car 0

0

lim ln( ² 1) ln 1 0 x x

x  

   .

1

0 0 0 0 0 0 0 0

1 2ln

2ln 2ln 2ln lim ln ² lim lim lim lim 0

1 1 1x x x x X x x x x

x x Xxx x X

x x x

 

        

        avec 1

X x  .

Conclusion : 0

0

1 lim ln 1 0

²x x

x x

    

  .

b. f dérivable en 0 si et seulement si la limite de son taux d'accroissement est finie.

0 0 0

( ) (0) ( ) 1 lim lim lim ln 1

0 ²x x x

f x f f x

x x x  

        

  

La fonction n'est donc pas dérivable en 0.

c. La tangente en O à f est verticale. Son équation est x = 0.

4. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation '(1)( 1) (1)y f x f   : 1

(1) 1ln(1 ) ln 2 1²

f    ,

'(1) (1) ln 2 1f g   d’où (ln 2 1)( 1) ln 2 (ln 2 1) 1y x y x        .

5.

Remarque :

On a vu dans la partie A que g'(1) = 0, or g'(1) = f "(1), c'est-à-dire la dérivée seconde de f en 1 : la courbe admet un point d'inflexion pour x = 1.

1. 17. Logarithme+ asymptote+primitives

Soit la fonction définie sur l'intervalle I = ]4 ;  [ par : 1

( ) 2 5 3ln 4

x f x x

x

    

 et (C) sa courbe

représentative dans le repère orthonormal (O ; )i, j , unité graphique : 1 cm.

1. Étude de f

a. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de I.

b. Montrer que sur I, f ´(x) est strictement négatif et dresser le tableau de variation de f.

c. Montrer que la droite (D) d'équation y =  2x + 5 est une asymptote à (C). Préciser la position de (C) par rapport à (D).

2. Tracer la courbe (C) et la droite (D) dans le repère (O ; )i, j .

3. Déterminer les coordonnées du point de (C) où la tangente  a un coefficient directeur égal à 2

9  .

Donner une équation de  et la tracer dans le repère (O ; )i, j .

4. Calcul d'aire

a. Déterminer, à l'aide d'une intégration par parties, les primitives sur ]0 ;  [ de la fonction x  ln x.

b. Montrer que la fonction G : x  (x + 1) ln (x + 1)  x est une primitive de la fonction g : x  ln (x + 1) sur I.

c. Montrer que la fonction H : x  (x  4) ln (x  4)  x est une primitive de la fonction h : x  ln (x  4) sur I.

d. Déduire des questions précédentes le calcul de l'aire A du domaine plan délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x = 5 et x = 6.

On donnera la valeur exacte de A puis une valeur approchée à 10 2 près.

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