Sciences statistiques - Exercice 3 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 3 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 3- 1° partie - Fonction Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Introduction de Ln, la courbe représentative de f, le plan muni du repère.
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Terminale S

Fonction Logarithmes Exercices

1. 1. Introduction de Ln 1 1. 2. STL France, Juin 2006 2 1. 3. STL, France, sept. 2004 2 1. 4. STL, France, juin 2005 (11 points) 3 1. 5. ROC+construction géo, La Réunion 2007 4 1. 6. ROC+ Étude, Antilles-Guyane, sept 2010, 7 pts 4 1. 7. ROC, Antilles 2006 5 1. 8. Étude+aire, France, sept. 2010, 6 pts 6 1. 9. Famille fonctions, La Réunion sept. 2010, 6 pts 6 1. 10. Fonction+suite intégrales, Liban 2009 7 1. 11. ROC+tangente+suite, Liban 2008 8 1. 12. ROC+limite, Am. du Sud 11/2008 10 1. 13. Equation+suite, Am. du Sud remplt 2007 10 1. 14. Logarithme+suite récurrente, France 2007 10 1. 15. Logarithme + suite, Polynésie, nov 2004 12 1. 16. Logarithme, Polynésie, sept 2003 13 1. 17. Distance point-courbe, Liban 2010, 6 pts 14 1. 18. Tangentes, N. Calédonie, mars 2003 15 1. 19. Tangente+intégrale, La Réunion 2008 17 1. 20. Logarithme, France, sept 2002 18 1. 21. Logarithme et intégrale, Antilles, sept 2002 20 1. 22. ROC+fonction+aire, Centres étrangers 2008 21 1. 23. ln+intégrale, Liban 2007 22 1. 24. Logarithme et calcul d’aire, Antilles, sept 2001 23 1. 25. Logarithme et exponentielle 24 1. 26. Logarithme et 2nd degré 24

1. 27. Logarithme et valeur absolue 25 1. 28. Logarithme et équa diff 25 1. 29. Logarithme et radical 26 1. 30. Logarithme et primitives 26 1. 31. Logarithme+ acc finis 26 1. 32. Logarithme+irrationnelle+intégrales+acc finis 27 1. 33. Logarithme+asymptote+acc finis 29 1. 34. Famille de fonctions ln + aire 29 1. 35. Fonction ln et rotation 31 1. 36. Etude de ln(chx) et de son intégrale 32 1. 37. Th. des valeurs intermédiaires 32 1. 38. Étude + suite, La Réunion 2010, 6 points 33 1. 39. Fonction+suite, Bac C, Paris, 1990 33 1. 40. Dérivabilité, Centres étrangers, 2000, extrait 34 1. 41. Limites+courbes, D’après Japon, 1997 34 1. 42. Equations 34 1. 43. Paramètre+aire+équation, Am. du Nord 1998 35 1. 44. Intégrales 36 1. 45. Ln et intégrale 36 1. 46. Limites, Bac S, Antilles, 1997 36 1. 47. Un exo de sup 36 1. 48. Ln et exp (2) 37 1. 49. Distance minimum 38 1. 50. Ln et exp (3) 38 1. 51. Equation+intégrale, N. Calédonie 11/2008 39

1. 1. Introduction de Ln

Une fonction f est définie et dérivable sur ]0 ; [ . Elle vérifie 1

'( )f x x  pour tout 0x  et (1) 0f  .

Partie A

1. En se ramenant à la définition du nombre dérivé en a (a > 0), montrer que, pour h voisin de 0, on a :

( ) ( ) h

f a h f a a

  .

2. a. Déterminer alors une valeur approchée des images par f de 1,1 et 1,2.

b. Même question pour l’image de 0,9.

Partie B

1. a. Etudier les variations de f.

b. Etudier le signe de f.

2. On se propose d’étudier quelques propriétés algébriques de la fonction f :

a. Rappeler la formule donnant la dérivée de [ ( )]f u x .

b. Soit g la fonction définie sur ]0 ; [ par : ( ) ( ) ( )g x f ax f x  , a étant un réel strictement positif.

* En calculant g’(x) montrer que g est une fonction constante que l’on déterminera.

* En déduire que la fonction f vérifie la propriété « l’image d’un produit de deux réels strictement positifs est égale à la somme des images de ces deux réels ».

c. Déduire de la propriété précédente les relations :

* 1

( )f f x x

    

  pour tout x > 0.

* 1 1 2 2

( ) ( ) x

f f x f x x

    

  pour tous réels x1 et x2 strictement positifs.

* ( ) ( )nf x nf x pour tout x > 0 et pour tout entier naturel n.

3. A est un réel strictement supérieur à 1 et n est un entier naturel non nul.

Montrer que si nx A alors ( ) ( )f x nf A .

En déduire lim ( ) x

f x 

puis, à l’aide du changement de variable 1

X x  , déterminer

0 lim ( ) x

f x

.

4. Donner le tableau de variation complet de f.

1. 2. STL France, Juin 2006

10 points

Partie A

On considère la fonction f déflnie sur l’intervalle ]0 ;  [ par   1 ln x

f x x

  .

On note Cla courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; , )O i j .

1. Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2. En remarquant que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;  [, f(x) est égal à 1 ln x

x x  , déterminer la limite de la fonction f en  . Interpréter graphiquement le résultat.

3. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ;  [.

Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;  [,   2

2 ln x f x

x

    .

b. Étudier le signe de −2+ln x sur l’intervalle ]0 ;  [. En déduire le signe de f sur l’intervalle ]0 ;

 [.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. On note I le point d’intersection de Cet de l’axe ( ; )O i . Déterminer les coordonnées du point I.

5. On note Tla tangente à la courbe Cau point A d’abscisse 1. Déterminer une équation de la droite T.

6. Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère ( ; , )O i j la courbe Cet la droite T.

On prendra 1 cm pour unité graphique sur l’axe ( ; )O i et 5 cm pour unité graphique sur l’axe ( ; )O j .

Partie B

1. a. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par     2

lng x x . On note gla

fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle ]0 ;  [.

Calculer  g x .

b. En déduire une primitive de la fonction ln x

x x

sur l’intervalle ]0 ;  [.

2. a. Calculer   1

e

J f x dx  où f est la fonction définie dans la partie A.

b. Interpréter graphiquement l’intégrale J.

1. 3. STL, France, sept. 2004

11 points

Partie A

On considère la fonction g définie sur ]0 ;  [ par   22 1 lng x x x    .

1. Calculer  'g x pour tout x de ]0 ;  [. Étudier son signe sur ]0 ;  [.

2. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ;  [. (On ne demande pas les limites de g aux bornes de son ensemble de définition).

3. En déduire que pour tout x de ]0 ;  [, g(x) < 0.

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]0 ;  [ par   1 ln

1 2

x f x x

x     .

On désigne par Csa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal ( ; , )O i j d’unités

graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Calculer la limite de f en  .

c. Démontrer que la droite  d’équation y =x+1 estasymptote à la courbe C.

d. Étudier la position relative de Cet  sur ]0 ;  [.

2. a. Calculer  'f x pour tout x > 0.

b. Vérifier que pour tout x de ]0 ;  [,    

2 '

2

g x f x

x  .

c. Déduire de la partie A. le tableau de variations de f sur ]0 ;  [.

d. Calculer f(1). En déduire le signe de f sur ]0 ;  [.

3. Dans le plan muni du repère ( ; , )O i j , tracer la droite  et la courbe C .

Partie C

1. Vérifier que la fonction F définie sur ]0 ;  [ par     221 1 ln

2 4 F x x x x    est une primitive de f

sur ]0 ;  [.

2. Calculer l’intégrale   1

e

I f x dx  (on donnera la valeur exacte).

3. a. Hachurer sur le graphique la partie Edu plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x = e.

b. Déduire de la question 2. de la partie C. la valeur exacte de l’aire S de E en cm2, puis en donner la valeur arrondie en cm2, au mm2 près.

1. 4. STL, France, juin 2005 (11 points)

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire g

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par   2ln 2 1g x x x   .

1. Soit g‘ la fonction dérivée de la fonction g. Calculer g‘(x). Étudier le signe de g’(x) sur ]0 ;  [. Dresser le tableau de variations de la fonction g dans lequel on précisera la valeur exacte de l’extremum (aucune limite n’est demandée).

2. Déduire du 1. que la fonction g est négative sur l’intervalle ]0 ;  [.

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par   ln

1 2 x

f x x x

   .

On appelle Cla courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité

graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  .

b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit Dla droite d’équation y = 1 − 2x.

a. Démontrer que la droite Dest asymptote à la courbe C.

b. Étudier la position de la courbe Cpar rapport à la droite D.

3. a. Soit f la fonction dérivée de la fonction f.

Démontrer que pour tout x de l’intervalle ]0 ;  [,    

2 '

g x f x

x  .

b. En utilisant la partie A déduire le signe de f ’(x) sur I’intervalle ]0 ;  [ et dresser le tableau de variations de la fonction f .

4. Tracer la droite Det la courbe Cdans le repère ( ; , )O i j .

Partie C : Calcul d’une aire

On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par     21

ln 2

h x x .

1. On désigne par hla fonction dérivée de la fonction h. Calculer h’(x) pour tout réel x de ]0 ;  [.

2. On désigne par A la mesure, exprimée en cm2, de l’aire de la partie du plan comprise entre la droite D, la courbe Cet les droites d’équations x = 1 et x = e.

a. Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.

b. Calculer la valeur exacte du nombre réel A.

1. 5. ROC+construction géo, La Réunion 2007

5 points

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.

On désigne par A et par B les points d’abscisses respectives a et b de la courbe  représentative de la

fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l’axe des ordonnées.

1. a. Donner l’équation réduite de la tangente T au point A à la courbe  .

b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection P de T avec l’axe des ordonnées.

Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de T ; la réaliser sur la figure ci-dessous.

2. Restitution organisée de connaissances : on suppose connue la propriété

« Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a ln(xy) = ln(x)+ln(y). »

En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a 1

ln ln 2

m m .

3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l’axe des abscisses le point G d’abscisse ab .

Expliquer la construction et la réaliser sur la figure (on laissera les traits de construction apparents).

1. 6. ROC+ Étude, Antilles-Guyane, sept 2010, 7 pts

PARTIE A - Restitution organisée des connaissances

On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u v ainsi que ses conditions d’utilisation.

On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur  0 ;  et que pour tout x de  0 ;  on a :

 exp ln x x .

À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur

 0 ;  qui à x associe 1

x .

PARTIE B - Étude de fonction

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par   ln x

f x x x

  .

Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 3 cm.

I - Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur  0 ;  par   2 1 lng x x x   .

1. Étudier les variations de g sur  0 ;  .

2. En déduire le signe de g sur  0 ;  .

II - Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative C

1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f. Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ?

2. Déterminer la limite en  de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C.

3. Soit f  la fonction dérivée de la fonction f. Calculer  f x pour tout réel x de  0 ;  .

4. En déduire le sens de variation de f sur  0 ;  puis dresser le tableau de variations de la fonction f.

5. Déterminer le point A de la courbeC en lequel la tangente T est parallèle à la droite D.

6. Dans le repère ( ; , )O i j tracer les droites D et T et la courbe C.

III - Calcul d’une aire

1. Montrer que 1

ln 1

2

e x dx

x  .

2. En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x = 1, x = e, l’axe des abscisses et la courbe C. On exprimera cette aire en cm2. Hachurer cette région sur le graphique.

1. 7. ROC, Antilles 2006

3 points

1. Restitution organisée des connaissances.

Pré-requis :

– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ;  [ et sa fonction dérivée est la fonction

inverse ( 1

x x

).

– ln(1)= 0.

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, ln(ax) = ln(a)+ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que 1

ln ln b b   et que ln ln ln

a a b

b   pour tous réels

strictement positifs a et b.

3. On donne 0,69  ln2  0,70 et 1,09  ln3  1,10. En déduire des encadrements de ln6, 1

ln 6

et 3

ln 8

.

1. 8. Étude+aire, France, sept. 2010, 6 pts

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ; par    1 lnf x x x  .

La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

Partie I : Étude de la fonction f

1. Étudier le signe de  f x suivant les valeurs du nombre réel x.

2. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

3. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle  0 ; et dresser le tableau de variations de la

fonction f sur l’intervalle  0 ; .

4. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (TA) au point A de la courbe C d’abscisse a.

a. Déterminer, en fonction du nombre réel a, les coordonnées du point A0, point d’intersection de la droite (TA) et de l’axe des ordonnées.

b. Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (TA). Construire la tangente (TA) au point A placé sur la figure.

Partie II : Un calcul d’aire

Soit a un nombre réel strictement positif. On note (a) la mesure, en unité d’aire, de l’aire de la région du plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = e.

1. Justifier que     e

a

a f x dx A , en distinguant le cas a < e et le cas a > e.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer (a) en fonction de a.

1. 9. Famille fonctions, La Réunion sept. 2010, 6 pts

Pour tout nombre réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur l’intervalle  0 ; par

    2ln 1kf x x kx   .

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction fk en 0.

2. On rappelle que ln

lim 0 x

x

x  . Démontrer que

2

ln lim 0

x

x

x  . En déduire la limite de la fonction fk en

 .

3. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif,   21 2

k

kx f x

x

   .

4. Pour un nombre réel k strictement positif on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction fk.

x 0 1

2k 

 f x

 1 ln 2 2

k

Justifier les renseignements sur les variations de la fonction fk figurant dans ce tableau.

5. On a tracé ci-dessous la courbe Ck représentative d’une fonction fk pour une certaine valeur du nombre

réel k strictement positif. Le point 1

1 ; 2

A      

appartient à la courbe Ck.

Quelle est la valeur du nombre réel k correspondant ? Justifier la démarche.

Partie B

Dans cette partie on pose 1

2 k  .

1. Calculer   1

1

2

ln x dx . On pourra utiliser une intégration par parties.

2. Calculer, en unité d’aire, la mesure de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la

fonction 1/ 2f , l’axe des abscisses et les droites d’équation 1

2 x  et x = 1.

1. 10. Fonction+suite intégrales, Liban 2009

8 points

On considère la fonction f définie sur  par     1ln 1 3

xf x e x   .

La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci- dessous. Cette figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  .

b. Montrer que la droite (D) d’équation 1

3 y xest asymptote à la courbe (C). Tracer (D).

c. Étudier les positions relatives de (D) et de (C).

d. Montrer que pour tout réel x,     2ln 1 3

xf x e x   .

e. En déduire la limite de f en  .

2. a. On note f  la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel,    

2 '

3 1

x

x

e f x

e

 

 .

b. En déduire les variations de la fonction f.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. On appelle dn, l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par

la courbe (C), la droite (D) d’équation 1

3 y xet les droites d’équations x = 0 et x = n.

1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul,   0

ln 1 n

x nd e dx

  .

2. On admet que pour tout réel x,  ln 1 x xe e   . Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 1nd  . La suite (dn) est-elle convergente ?

Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe (C).

On note (T) la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient M et N deux points de la courbe (C) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T).

1. 11. ROC+tangente+suite, Liban 2008

6 points

Partie A. Démonstration de cours

Prérequis : définition d'une suite tendant vers  .

« Une suite tend vers  si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A »

Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante non majorée tend vers  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle  0 ;  par     2 1

ln 1 2

f x x x   .

La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  0 ;  .

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique.

Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle  0 ;  ,la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

On considère la suite  nu définie sur  par : 0 1u  et, pour tout entier naturel n,  1n nu f u  .

1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite  nu en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite  nu et son comportement lorsque n tend vers  ?

3. a. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1nu  .

b. Montrer que la suite  nu est croissante.

c. Montrer que la suite  nu n'est pas majorée.

d. En déduire la limite de la suite  nu .

1. 12. ROC+limite, Am. du Sud 11/2008

3 points

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur  0 ;  , positive sur  1 ;  , et vérifie :

* ln1 = 0 ;

* pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = lnx +ln y ;

* pour tout réel strictement positif x,   1

ln 'x x

    ;

* ln(2)  0,69 à 10–2 près.

1. On considère la fonction f définie sur  0 ;  par   lnf x x x  .

a. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur  0 ;  .

b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1,  ln

0 x x

x x   .

c. En déduire que ln

lim 0 x

x

x  .

2. Soit n un entier naturel non nul.

On considère la fonction fn définie sur  0 ;  par :   1

ln n

n

x f x

x

 .

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en  de la fonction fn.

1. 13. Equation+suite, Am. du Sud remplt 2007

6 points

1. On considère la fonction f1 définie sur [0 ;  [ par    21 2 2 ln 1f x x x    . a. Déterminer la limite de f1 en  .

b. Déterminer la dérivée de f1.

c. Dresser le tableau de variations de f1.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn, définie sur [0 ;  [ par

   2ln 1

2 2n

x f x x

n

    .

a. Déterminer la limite de fn en  .

b. Démontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ;  [.

c. Démontrer que l’équation   0nf x  admet une unique solution nsur [0 ;  [.

d. Justifier que, pour tout entier naturel n, 0 1n  .

3. Montrer que pour tout entier naturel non nul n,  1 0n nf    .

4. Étude de la suite  n

a. Montrer que la suite  n est croissante.

b. En déduire qu’elle est convergente.

c. Utiliser l’expression  2ln 1

1 2

n

n n

 

   pour déterminer la limite de cette suite.

1. 14. Logarithme+suite récurrente, France 2007

5 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  1 ;  par :    ln 1

1

x f x x

x

  

 .

La courbe C représentative de f est donnée sur la figure ci-dessous que l’on complétera.

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note f la fonction dérivée de f. Calculer  'f x pour tout x de l’intervalle  1 ;  .

2. Pour tout x de l’intervalle  1 ;  , on pose      21 1 ln 1N x x x     .

Vérifier que l’on définit ainsi une fonction strictement croissante sur  1 ;  .

Calculer  0N . En déduire les variations de f.

3. Soit D la droite d’équation y = x. Calculer les coordonnées du point d’intersection de la courbe C et de la droite D.

Partie B : Étude d’une suite récurrente définie à partir de la fonction f

1. Démontrer que si  0 ; 4x , alors    0 ; 4f x  .

2. On considère la suite (un) définie par :  

0

1

4

n n

u

u f u

 

 pour tout n de .

a. Sur le graphique, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points de C d’abscisses u0, u1, u2 et u3.

b. Démontrer que pour tout n de on a :  0 ; 4nu  .

c. Étudier la monotonie de la suite (un).

d. Démontrer que la suite (un) est convergente. On désigne par l sa limite.

e. Utiliser la partie A pour donner la valeur de l.

-2 -1 0

1. 15. Logarithme + suite, Polynésie, nov 2004

9 points

La courbe C donné ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ;  [ par : ln

( ) 1 x

f x x x

   .

1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f(x) est du signe de

 ( ) 2 1 lnN x x x x      .

b. Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 1x  et 1x  .

c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ;  [ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale.

2. On note ( )A  l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où  désigne

un réel de ]0 ; 1[.

a. Exprimer ( )A  en fonction de  (on pourra utiliser une intégration par parties).

b. Calculer la limite de ( )A  lorsque  tend vers 0. Donner une interprétation de cette limite.

3. On définit une suite ( )n nu  par son premier terme 0u élément de [1 ; 2] et :

pour tout entier naturel n, 1 ln

1nn n

u u

u    .

a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité : ln

0 1 x

x   .

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, nu appartient à [1 ; 2].

4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, 1 ( )n n nu f u u   , déterminer le sens de variation de la

suite ( )nu .

5. a. Montrer que la suite ( )n nu  est convergente. On note l sa limite.

b. Déterminer la valeur exacte de l.

1. 16. Logarithme, Polynésie, sept 2003

10 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;  [ par :  2

(0) 1

1 ( ) 3 2 ln si 0

2

f

f x x x x

  

   

.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Partie A

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

C

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