Sciences statistiques - Exercice 3 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 3 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 3- 2° partie - Fonction Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les variations de u, la courbe représentative, le repère orthogonal.
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1. a. Calculer 0

lim ( ) x

f x

. Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

b. Déterminer la limite de f en  .

2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ;  [ et calculer f ’(x) pour x > 0.

3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ;  [, puis dresser son tableau de variations.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une solution unique  sur l’intervalle [0 ;  [. Déterminer

une valeur approchée décimale de  à 10−2 près.

Partie B

1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse 1x  .

2. On considère la fonction g : 1

( ) 2 2

x f x x  définie sur l’intervalle ]0 ;  [.

a. Calculer g ’(x), puis g ’’(x) où g et g ’’désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g. Étudier le sens de variations de g ’. En déduire le signe de g ’(x) sur ]0 ;  [.

b. Étudier le sens de variations de g. En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. n est un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n le réel 1

2

1 lnn

n

I x xdx  (on pourra utiliser

une intégration par parties).

2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe

C , la tangente D et les deux droites d’équation 1

x n  et x = 1.

3. Calculer lim n n

A 

et interpréter le résultat obtenu.

1. 17. Distance point-courbe, Liban 2010, 6 pts

Partie A

Soit u la fonction définie sur  0 ;  par   2 2 lnu x x x   .

1. Étudier les variations de u sur  0 ;  et préciser ses limites en 0 et en  .

2. a. Montrer que l’équation   0u x  admet une solution unique sur  0 ;  . On note  cette solution.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de  .

3. Déterminer le signe de  u x suivant les valeurs de x.

4. Montrer l’égalité : 2ln 2   .

Partie B

On considère la fonction f définie et dérivable sur  0 ;  par     22 2 lnf x x x   .

On note 'f la fonction dérivée de f sur  0 ;  .

1. Exprimer, pour tout x de  0 ;  ,  'f x en fonction de  u x .

2. En déduire les variations de f sur  0 ;  .

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j on note :

*  la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;

* A le point de coordonnées (0 ; 2) ;

* M le point de  d’abscisse x, x appartenant à  0 ;  .

1. Montrer que la distance AM est donnée par  AM f x .

2. Soit g la fonction définie sur  0 ;  par    g x f x .

a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur  0 ;  .

b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de  , noté P, dont on précisera les coordonnées.

c. Montrer que 21AP    .

3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à  en P ?

1. 18. Tangentes, N. Calédonie, mars 2003

10 points

PARTIE I

Sur la figure ci-dessous est tracée dans un repère orthogonal la courbe (C)représentative de la fonction f

f est une fonction définie et dérivable sur * . Les points A, B, C et D sont les points de la courbe (C)

d’abscisses respectives 1, e , e et e e ; de plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à (C) au point D.

1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.

Avec la précision permise par ce graphique :

a. Donner une estimation à 5.102 près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (C)aux points A, B, C et D.

b. Préciser combien la courbe (C)admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbe (C).

c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction dérivée de f . Justifier ce choix.

x 0 e  x 0 e e  x 0 

2. On admet que la fonction dérivée de f est définie sur * par 2 1 ln

( ) x

g x x

  .

a. Étudier les variations de g. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question 1. c. ?

b. Déterminer les limites de g en 0, puis en  .

c. Calculer g(1),  g e e ; puis démontrer que l’équation g(x) = 1 n’a qu’une seule solution. Quelle observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?

d. Expliquer pourquoi f est définie sur * par 2 1

1 ln ( )

x t f x dt

t

   . Calculer f (x) à l’aide d’une

intégration par parties.

Partie II

On étudie la fonction f définie sur * par ln

( ) x

f x x

 .

1. Étudier les variations de f, préciser ses limites en 0 puis en  .

2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tangentes à la courbe (C)qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condition donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie I. 2. c. et préciser ces points.

3. Étude de la tangente (T) à la courbe (C)au point D (le point D a pour abscisse e e ).

a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C)au point D est 3

4

2

x e e y

e

   .

b. Montrer que le signe de    3 22 ln 4x e x x e e x    détermine la position de la courbe (C)par rapport à cette tangente.

c. La fonction  est définie sur * . À partir des variations de  , déterminer la position de la courbe (C)

par rapport à la tangente (T).

Partie III Calcul d’aires

1. Démontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on précisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe (C) d’abscisse x0. On considère les droites dA, dB, dC, dD et dE parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E.

On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe (C)et les droites dA et dC ;

U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C)et les droites dB et dD et

U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C)et les droites dC et dE.

a. Calculer U1, puis U2.

b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?

1. 19. Tangente+intégrale, La Réunion 2008

5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur  0 ;  par :   2

ln x f x

x  .

Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.

1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum.

Enoncer puis démontrer ces propriétés.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans î 'évaluation.

Existe-t-il des tangentes à la courbe (C) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.

Partie B

Soit g la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par   2

1

lnx t g x dt

t   .

1. a. Que représente f pour la fonction g ?

b. En déduire le sens de variations de g sur  0 ;  .

2. Interpréter géométriquement les réels  3g et 1

2 g      

.

3. a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que   ln 1

1 x

g x x

  

b. Déterminer la limite de g en  .

x 0 1 2e



 f x



1

2e

0

1. 20. Logarithme, France, sept 2002

11 points

Partie A

1. Montrer que pour tout x > 0, on a : 2 1 0xe   .

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ;  [ par : 2

1 ( )

1x g x

e

 .

a. Déterminer les limites de g en 0 et en  . Interpréter graphiquement les résultats.

b. Calculer g ’(x). Étudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations.

Partie B

On considère la fonction f définie sur ]0 ;  [ dont la courbe représentative C dans un repère

orthogonal ( ; , )O i j est donnée ci-dessous avec sa tangente au point d’abscisse e.

On admet l’égalité suivante :   2( ) 2 ln lnf x x a x b x c   où a, b et c désignent trois réels.

1. Exprimer  'f x en fonction de a, b et c.

2. À l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de 1

'f e

     

,  'f e ,

 'f e .

3. En déduire l’égalité :     22 2 ln 3ln 2f x x x x   pour tout x]0 ;  [. 4. Déterminer la limite de f en 0. On pourra poser lnt x  et vérifier pour tout x ]0 ;  [ l’égalité :

   22 2 3 2tf t e t t   . 5. Déterminer la limite de f en  .

6. Montrer pour tout x ]0 ;  [ l’égalité :    '( ) 2 ln 1 2ln 1f x x x   .

7. Étudier le signe de f ’(x) et dresser le tableau de variations de f.

Partie C

1. Tracer, dans le repère ( ; , )O i j ci-dessus, la courbe représentative  de la fonction g étudiée en partie

A.

2. a. Montrer que pour tout x > 0 , on a 2

2 ( ) 1

1

x

x

e g x

e  

 .

b. Calculer, et exprimer en unités d’aire, l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe 

et les droites d’équation 1

4 x  et x = 2.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

ee 2

e

1

e

2e

3. Soit  la fonction définie sur [0,1 ; 0,3] par :  (x) = f(x) − g(x).

a. Montrer que, pour tout x appartenant [0,1 ; 0,3], on a : '( ) 0x  .

b. Montrer que l’équation f(x) = g(x) possède une solution unique  sur [0,1 ; 0,3] et déterminer un encadrement de  d’amplitude 102.

Partie D

1. Montrer que pour tout x > 0,   0f x  .

2. On définit la fonction h sur ]0 ;  [ par l’expression suivante : h g f .

a. Déterminer les limites en 0 et en  de h.

b. Déterminer le sens de variation de h sur ]0 ;  [.

c. Montrer que ( ) ( )h g g  . Déterminer une valeur approchée de ( )h à 10−4 près.

1. 21. Logarithme et intégrale, Antilles, sept 2002

12 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :    

(0) 0, (1) 0,

( ) ln ln 1 , ]0 ;1[.

f f

f x x x x

  

   

On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm).

On admet que 0

lim ( ) 0 x

f x

 et 1

lim ( ) 0 x

f x

 , ainsi que le résultat suivant : pour  > 0, 0

lim ln 0 x

x x

  .

Partie A - Étude de la fonction f

1. a. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression  ln 1 x

x

 .

b. En déduire la limite quand x tend vers 0 de l’expression ( )f x

x ; que peut-on en déduire pour la courbe

C?

2. Montrer que pour tout 1 1

; 2 2

x      

, 1 1

2 2 f x f x          

    . Que peut-on en conclure pour C?

3. Soit  la fonction définie sur ]0 ; 1[ par :    ( ) 1 ln 1 lnx x x x x     .

a. Déterminer '( )x , puis montrer l’égalité 2 1

( ) (1 )

x x

x x

  

 ; en déduire les variations de ' sur ]0 ; 1[.

b. Montrer que ' s’annule en deux valeurs a1 et a2 sur ]0 ; 1[ (on ne cherchera pas à calculer ces

valeurs). Donner le signe de ' sur ]0 ; 1[.

c. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de ( )x et la limite quand x tend vers 1 de ( )x . Calculer

1

2       

. En déduire le signe de ( )x sur ]0 ; 1[.

4. a. Montrer que f ’(x) a même signe que ( )x sur ]0 ; 1[.

b. Donner le tableau de variations de f .

c. Montrer que, pour tout x de ]0 ; 1[, les inégalités suivantes sont vraies :       2

0 ln ln 1 ln 2x x    .

d. Tracer C.

Partie B - Encadrement d’une intégrale

Pour 1

0 ; 2

t     

, on pose :

1

2 1( ) ln

t

I t x xdx  , 1

22 2( ) ln

t

I t x xdx  , 1

2( ) ( ) t

I t f x dx  .

1. a. À l’aide d’intégrations par parties, montrer que :

2 2

1

ln 2 1 1 ( ) ln

8 16 2 4

t I t t t     ;

3 3

2

ln 2 1 1 ( ) ln

24 72 3 9

t I t t t     .

b. Déterminer les limites de I1(t) et de I2(t) quand t tend vers 0.

2. Soit g et h les fonctions définies sur 1

0 ; 2

    

par : 2 1

( ) 2

g x x x  

     

et 2 1

( ) ( ) 2

h x g x x  .

a. Étudier sur 1

0 ; 2

    

les variations de la fonction  ln 1 ( )x x g x  .

b. En déduire que, pour tout x de 1

0 ; 2

    

, ln(1−x)  g (x).

c. Par un procédé analogue,montrer que pour tout x de 1

0 ; 2

    

, ln(1−x)  h(x).

d. En déduire un encadrement de f (x) sur 1

0 ; 2

    

.

3. a. Montrer que 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

I t I t I t I t I t      .

b. En supposant que I (t) admet une limite note l quand t tend vers 0, donner un encadrement de l.

1. 22. ROC+fonction+aire, Centres étrangers 2008

7 points

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : on rappelle que : lim x

x

e

x   .

1. Démontrer que ln

lim 0 x

x

x  .

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : ln

lim 0 nx

x

x  .

II. Étude d'une fonction f

Soit f la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par :   2

ln x f x x

x   .

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle  0 ;  par   3 1 2lnu x x x   .

a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle  0 ;  .

b. Calculer  1u et en déduire le signe de  u x pour x appartenant à l'intervalle  0 ;  .

2. Étude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f.

3. Éléments graphiques et tracés.

a. Démontrer que la droite   d'équation y x est asymptote oblique à la courbe (C).

b. Déterminer la position de (C)par rapport à   .

c. Tracer la courbe (C) et la droite   .

III. Calculs d'aires

On note  un nombre réel strictement positif et on désigne par  A l'aire, exprimée en unités d'aire,

de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite   et les droites d'équation x = 1 et x  .

1. On suppose dans cette question que 1  .

a. À l’aide d'une intégration par parties, démontrer que :   ln 1

1A

  

   .

b. Déterminer la limite l de  A lorsque  tend vers  .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1

l A e

      

.

1. 23. ln+intégrale, Liban 2007

6 points

Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle  0 ;  par :   lnf x xet     2

lng x x .

On note C et C’ les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C’ sont données ci-dessous.

1. a. Étudier le signe de  ln 1 lnx x sur  0 ;  .

b. En déduire la position relative des deux courbes C et C’ sur  0 ;  .

2. Pour x appartenant à  0 ;  , M est le point de C d’abscisse x et N est le point de C’ demême abscisse.

a. Soit h la fonction définie sur  0 ;  par      h x f x g x  . Étudier les variations de la fonction h

sur  0 ;  .

b. En déduire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x e .

c. Résoudre dans  0 ;  l’équation   2

ln ln 1x x  .

d. En déduire que, sur    0 ;1 1 ;  , il existe deux réels a et b (a < b) pour lesquels la distance MN est égale à 1.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 1

ln e

xdx .

b. Vérifier que la fonctionG définie sur  0 ;  par     2

ln 2ln 2G x x x x     

est une primitive de

la fonction g sur  0 ;  .

c. On considère la partie du plan délimitée par les courbes C, C’ et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Déterminer l’aire A en unités d’aire de cette partie du plan.

1. 24. Logarithme et calcul d’aire, Antilles, sept 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . On considère la fonction f , définie sur

l’intervalle ]0 ;  [ par :

f (x)=−3ln x +2(ln x)2.

On note (C) sa courbe représentative.

Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C)

1. a. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation f(x) = 0. (On pourra poser lnx = X).

b. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’inéquation f(x) > 0.

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

b. Calculer f ’(x).

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse

5

4e .

4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

Pour cela, on considère la fonction  , définie sur ]0 ;  [ par :

5

4 41

( ) ( ) 4 8

x f x e x  

       

.

a. Montrer que

5

4 4 ln 1

'( ) 4 x

x e x

 

  puis calculer ''( )x .

b. Étudier le sens de variation de ' sur ]0 ;  [. En déduire que, pour tout x appartenant à ]0 ;  [,

on a '( ) 0x  .

c. Calculer

5

4e        

. Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ déterminer le signe de ( )x . En déduire la

position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

5. Tracer la courbe (C) et la droite (T). (Unité graphique : 2 cm).

Partie B - Calcul d’une aire

1. Vérifier que la fonction h, définie par ( ) lnh x x x x  , est une primitive de la fonction logarithme

népérien sur ]0 ;  [.

2. On pose

3 / 2

1 1 ln

e

e

I xdx

  et 3 / 2

2 2 1

(ln ) e

e

I x dx

  .

a. Calculer I1.

b. En utilisant une intégration par parties, montrer que

3

12 2

5 5

4 I e e  .

c. Calculer

3 / 2

1 ( )

e

e

f x dx  . En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des points M(x ; y) du plan

tels que

3

1 2e x e   et ( ) 0f x y  .

1. 25. Logarithme et exponentielle

On considère la fonction définie sur [0 ; [ par ( ) lnxf x e x  et sa courbe représentative C dans un

plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité graphique : 2 cm).

1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur par ( ) 1xg x xe  .

b.En déduire qu'il existe un réel unique a tel que : 1aae  . Donner un encadrement de a d'amplitude 10−3.

c.Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x.

2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0, [ .

b. Calculer la fonction dérivée f' de f et étudier son signe sur ]0 ; [ en utilisant la question 1. Dresser le

tableau des variations de f.

c. Montrer que f admet un minimum m égal à 1a a . Justifier que : 2,32 2,34m  .

3. Donner une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 1. Déterminer le point d'intersection de T et de l'axe des ordonnées.

4. Tracer C et T.

1. 26. Logarithme et 2nd degré

On désigne par a un réel de l’intervalle ]0 ; [ et on considère la famille de fonctions numériques fa

définies par

 2( ) ln 2 cos 1)af x x x a   .

On appelle Ca la représentation graphique de fa dans un plan muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j .

1. Montrez que l’ensemble de définition de fa est .

2. Déterminez les limites de fa en  et  .

3. Montrez que la droite d’équation x = cos a est axe de symétrie de Ca.

4. a et a’ étant deux réels distincts, montrez que Ca et Ca’ sont sécantes en un unique point que l’on précisera.

5. Calculez ( )af x et déduisez-en son sens de variation.

6. Donnez l’allure des courbes Ca .

1. 27. Logarithme et valeur absolue

Soit f la fonction définie sur  3D   par ( ) ( 1)ln 3f x x x   où ln désigne la fonction logarithme

népérien. C est la courbereprésentative de f dans un repère orthonormal  ; ,O i j (unité 1 cm).

1. a. Vérifier que si x D alors 1

'( ) ln 3 3

x f x x

x

    

.

b. Pour x appartenant à D, calculer f’’(x) où f’’ désigne la dérivée seconde de f. En déduire les variations de f’.

c. Calculer les limites de f’ en  et en 3.

2. a. Montrer que f’ s’annule sur  ; 3 pour une seule valeur  . Donner un encadrement de 

d’amplitude 0,1. Etudier le signe de f’(x) sur  ; 3 .

b. Etudier le signe de  'f x sur  3 ;  et dresser le tableau de variations de f.

2. Etudier les limites de f aux bornes de D. Préciser les asymptotes éventuelles à C.

3. Calculer les coordonnées des points d’intersection de C et de l’axe des abcisses.

4. Tracer la courbe C.

1. 28. Logarithme et équa diff

Première partie

On considère la fonction numérique f définie sur  0 ; par : 2

( ) ln si 0

(0) 0

x f x x x

x

f

  

  

1. a. Montrer que f est continue en 0.

b. f est-elle dérivable en 0 ?

c. On pose 2

avec ( 0)h x x   . trouver la limite de f quand x tend vers +.

2. a. Pour x > 0 calculer '( ) et ''( )f x f x et vérifier que 2

4 ''( )

( 2) f x

x x  

 .

b. Etudier le sens de variation de '( )f x et trouver la limite de '( )f x quand x tend vers +. En déduire le

signe de '( )f x .

c. Dresser le tableau de variations de ( )f x .

3. On appelle C la courbe représentative de ( )f x (unités : 4 cm). Tracer C en indiquant la tangente en O

et au point A d’abcisse 2.

4. Soit u la fonction définie sur  0 ;  par 2

( ) 2

x u x

x  

et H sa représentation graphique dans le même

repère que C.

a. Dresser le tableau de variation de u et vérifier que pour tout x>0 on a ( ) ( ) '( )f x u x xf x  .

En déduire la position relative de C et H. Tracer H en indiquant le point B d’abcisse 2.

b.  étant un réel strictement positif, montrer que la tangente à C au point d’abcisse  rencontre l’axe des

ordonnées au point J d’ordonnée u(). En déduire à l’aide du tracé de H la construction de la tangente à

C au point d’abcisse . Indiquer la construction ainsi de la tangente à C au point A.

Deuxième partie

On se propose de déterminer l’ensemble (E) des fonctions g, définies et dérivables sur ]0, +[ et

possédant la propriété suivante P : 2

( ) '( ) 2

x g x xg x

x  

 . g étant définie et dérivable sur ]0, +[ on pose

( ) ( )

g x G x

x  .

1. Montrer que g possède la propriété P si et seulement si 1 1

'( ) 2

G x x x   

.

2. En déduire l’ensemble (E).

1. 29. Logarithme et radical

1. La fonction g est définie sur ]0 ;  [ par ( ) 2 3ln 6g x x x x   .

En utilisant les variations de g, déterminer son signe suivant les valeurs de x.

2. La fonction numérique f est définie sur ]0 ;  [ par 3ln

( ) 1 x

f x x x

   .

a. Démonstration de cours : démontrer que ln

lim 0 x

x

x  .

b. Déterminer les limites de f en 0 et  (en  , on pourra poser X x ).

c. Utiliser la question 1. pour déterminer le sens de variation de f.

3. Soit  la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. Montrer que  est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. Construire C et  .

1. 30. Logarithme et primitives

Partie A

Étude de la fonction f définie sur  par f(x) = 1 ln

. x

x

 On appellera C sa courbe représentative.

1. Étudier la limite de f en + . Étudier la limite de f en 0. Étudier les variations de f ; en dresser le tableau de variations.

2. Déterminer la valeur de x telle que f(x) = 0. Écrire l'équation de la tangente T à C en ce point.

3. Tracer C et T.

Partie B

1. Montrer qu'une primitive de x ln x

x est x

2(ln )

2

x . En déduire l'ensemble des primitives F de f.

2. Déterminer la primitive de f qui s'annule pour x = 1. Cette primitive sera appelée F1.

Déduire de la partie A le sens de variation de F1 ; déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, dresser le tableau de variations et donner les intersections de la courbe représentative de F1 avec x’Ox. Représenter graphiquement F1.

3. On appelle F2 la primitive de f qui prend la valeur 0,5 pour x = 1. Donner l'expression de F2.

Expliquer la construction de la courbe représentative de F2 à partir de celle de F1. Tracer la courbe représentative de F2.

1. 31. Logarithme+ acc finis

Le but de ce problème est d'étudier, dans un premier temps (partie A), la fonction f définie sur  0 ;  par

2 1 ( ) ln

4 2

x x f x x

x

     

  pour x > 0 et

1 (0)

2 f  ,

puis (partie B) de trouver une approximation de la solution de l'équation f(x) = x.

Partie A

Dans cette partie le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; )i, j , unité graphique : 2 cm. On

désigne par C la représentation graphique de f.

I. Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ]0 ;  [ par : 2 1

( ) ln( 2) ln 2 4

g x x x x

     

.

1. a. Étudier le sens de variation de g.

b. Déterminer lim ( ). x

g x 

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