Sciences statistiques - Exercice 3 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 3 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 3- 3° partie - Fonction Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Etude de f, Logarithme+irrationnelle+intégrales+acc finis, Calcul d'intégrales, Étude des fonctions f...
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c. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ;  [.

2.Montrer que, pour tout x de [2 ; 3], on a 1

( ) 2

g x  .

II. Etude de f

1.Déterminer la limite, quand x tend vers zéro par valeurs strictement positives, de 2

ln x

x x

     

(on

pourra poser 1

x t  ) et démontrer que f est continue en 0.

2. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Donner une interprétation graphique du résultat.

3. Étudier le sens de variation de f (on vérifiera que ( ) ( )f x g x  ).

4. a. Démontrer que 2

lim ln 2 x

x x

x

   

  (on pourra utiliser le résultat :

0

ln(1 ) lim 1 h

h

h

  ).

b. En déduire lim ( ). x

f x 

c. Montrer que la droite  d'équation 5

4 2

x y   est asymptote à C au voisinage de  .

5. Tracer dans le repère (O ; )i, j la droite  , la courbe C et la droite D d'équation y = x.

Partie B

Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [2 ; 3].

1. Soit la fonction h définie sur I par h(x) = f(x)  x. Montrer que, pour tout x de I, h´(x) < 0.

On remarquera que h´(x) = g(x)  1.

2. En déduire le sens de variation de h et montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution dans I ; on note  cette solution.

3. Montrer que, pour tout x de I, 0 < f´(x) < 2

1 .

4. En déduire que, pour tout x de I, |f(x)  |  2

1 |x  |.

On définit la suite ( )n nu  par u0 = 2 et, pour tout n de , un + 1 = f(un). On admet que, pour tout n de ,

un appartient à I.

a. Établir les inégalités suivantes :

(1) pour tout n de , 1 1

2 n nu u     ,

(2) pour tout n de , 1

2

n

nu   

     

b. En déduire que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

c. Déterminer n0 entier naturel tel que 0n

u soit une valeur approchée de  à 10−3 près.

En déduire alors une approximation de  à 10−3 près.

1. 32. Logarithme+irrationnelle+intégrales+acc finis

Soit f, définie sur l'intervalle [0 ;  [ par ( ) (1 )f x x x  ; fC sa courbe représentative dans un repère

orthonormé.

Soit g définie sur l'intervalle [0 ;  [ par : ( ) ln pour 0

(0) 0

g x x x x

g

   

 représentée par la courbe gC dans

le même repère.

Partie A

1. Etudier les variations des deux fonctions f et g, déterminer leurs limites en 0 et  .

2. La fonction g est elle-dérivable en 0 ?

3. Tracer les courbes Cf et Cg .

Partie B

On s'intéresse à la différence f(x)  g(x) et on se propose d'en étudier le signe. À cet effet, on pose, pour

tout réel x de l'intervalle ]0 ;  [, ( ) ( )

( ) . f x g x

x x

 

1. Quelle information apporte le fait de connaître le signe de ( )x ?

2. Vérifier que : 1

( ) ln .x x x x

    Calculer la fonction dérivée ' de  et vérifier que

  2

1 '( ) .

2

x x

x x

  

Quel est le sens de variation de  sur ]0 ;  [ ? (L'étude des limites de  aux bornes de son domaine

de définition n'est pas demandée).

3. En déduire le signe de  . Quelles conclusions en tirez-vous ?

4. Est-ce que les courbes Cf et Cg ont même tangente au point de contact ?

5. Montrer qu’il existe deux nombres réels  et  tels que 1( ) 10x  pour tout x de l’intervalle

 ;  . Donner des valeurs approchées de  et  à 10−2 près. Donner alors un encadrement de la

distance verticale entre les courbes Cf et Cg, soit ( ) ( )f x g x , sur l’intervalle  ;  .

Partie C : Calcul d'intégrales

Pour tout réel a de l'intervalle ]0 ; 1] on pose :

1

I( ) ( )d a

a f x x  et 1

J( ) ( )d . a

a g x x 

1. Calculer l'intégrale I(a) en fonction de a. À cet effet, on pourra remarquer que f(x) peut s'écrire 1 3

2 2( )f x x x  .

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer J(a) en fonction de a.

3. a. Calculer : 0

lim(I( ) J( )) a

a a

 [on admettra que 2 0

lim( ln ) 0 x

x x

 ].

b. Donner une interprétation géométrique de cette limite.

Partie D

On considère l'équation, définie dans + : g(x) =  24.

Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution  de cette équation.

1. Justifier que l'équation proposée a dans R+ une solution  et une seule et que 9 <  < 11. Vérifier que 

est solution de l'équation : 24

ln x

x  .

2. Soit h la fonction définie sur [9 ; 11] par : 24

( ) ln

h x x

 .

a. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], h(x) appartient aussi à l'intervalle [9 ; 11].

b. Démontrer, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], la double inégalité : 2

2 '( ) 0,56

3(ln 3) h x   .

c. En déduire, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], l'inégalité : ( ) 0,56h x x    .

3. On considère la suite (un) définie par récurrence : 0

1

9

( )n n

u

u h u

 

 pour tout entier n.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à l'intervalle [9 ; 11], puis que

l'inégalité 1 0,56n nu u     est vérifiée.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, l'inégalité : 2(0,56)nnu   est vérifiée. Démontrer que

la suite (un) converge vers  .

c. Trouver le plus petit entier naturel pour lequel on a l'inégalité : 2(0,56) 0,01n  .

Soit n0 cet entier : que représente pour  le terme 0n

u correspondant ?

À l'aide de votre calculatrice donner une approximation décimale à 102 près de 0n

u .

1. 33. Logarithme+asymptote+acc finis

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ; )i, j d'unité graphique 2 cm.

Partie A

Soit f l'application définie sur ]0 ;  [ par ln

( ) 4 4

x f x x   et Cf sa courbe représentative.

1.Calculer les limites de f aux bornes de ] 0 ;  [.

Justifier que Cf admet une asymptote et en donner une équation.

2.a. Étudier les variations de f sur ]0 ;  [ et dresser son tableau de variations.

b. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique  appartenant à [3 ; 4].

c. Tracer Cf .

3.Soit D le domaine limité par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x  et x = 4.

a. Calculer, pour x > 0, la dérivée de xx ln x.

b. En utilisant le résultat du a., exprimer l'aire en cm2 du domaine D à l'aide d'un polynôme du second degré en  .

Partie B

Dans cette partie, I désigne l'intervalle [3 ; 4].

1.Soit g l'application définie sur ]0 ;  [ par 1

( ) 4 ln 4

g x x  .

a. Montrer que  est solution de l'équation : g(x) = x.

b. Montrer que l'image de l'intervalle I par g est incluse dans I.

c. Montrer que, pour tout élément x appartenant à I : 1

'( ) 12

g x  .

2. Soit ( )n nu  la suite définie par : u0 = 3 et pour tout entier naturel n, 1 ( )n nu g u  .

a. En utilisant B  1.b., montrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, un est élément de I.

b. Prouver que, pour tout entier naturel n : 1 1

12 n nu u     . En déduire par récurrence que, pour

tout entier naturel n : 1

12 n n

u   . Quelle est la limite de la suite un ?

c. Résoudre sur ]0 ;  [ l'inéquation : 3 1

10 12x

 . En déduire que u3 est une valeur approchée de  à

103 près.

1. 34. Famille de fonctions ln + aire

Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0 ; 1] par

2( ) (ln )kf x x x kx  si x > 0 et fk(0) = 0.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal

(O ; )i, j (unité graphique : 10 cm).

On note I, J et L les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Première partie : Étude des fonctions fk

A. Étude et représentation de f0

Dans cette question k = 0.

1. Signe de la dérivée

a. Calculer la dérivée 0f  de f0 sur ]0 ; 1] et montrer que 0( )f x peut s'écrire 0( ) (ln )(ln 2)f x x x   .

b. Déterminer les solutions de l'équation 0( ) 0f x  sur ]0 ; 1].

c. Étudier le signe de 0f  sur ]0 ; 1].

2. Étude à l'origine

a. Déterminer la limite de ln u

u , puis de

2(ln )u

u lorsque u tend vers  .

b.En déduire que 2(ln )x x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, puis que f0 est continue en 0.

c. Déterminer la limite de 0 ( )f x

x lorsque x tend vers 0. En déduire la tangente en O à la courbe C0.

3. Tracé de la courbe C0

a. Dresser le tableau des variations de f0.

b.Tracer la courbe C0.

B. Étude de fk

1. Dérivée de fk

a. Calculer ( )kf x sur ]0 ; 1].

b. Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1. Montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk).

2. Étude à l'origine

a. Établir que fk est continue en 0.

b. Déterminer la tangente à Ck en O.

On ne demande pas d'étudier les variations de fk.

C. Étude et représentation de f1 et 1 2

f

1. Étude de f1 et tracé de C1

a. Prouver que, pour tout x  ]0 ; 1], 21( ) (ln 1)f x x   .

b. Déterminer la position relative des courbes C0 et C1.

c. Établir le tableau de variation de f1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.

2. Étude de 1 2

f et tracé de 1 2

C

a. Prouver que, pour tout x de [0 ; 1], 0 11 2

( ) ( ) ( )

2

f x f x f x

  .

b. En déduire une construction de 1 2

C à partir de C0 et C1 et tracer 1 2

C sur le même graphique que C0 et

C1 en précisant la tangente 1 2

T à 1 2

C au point 1 2

A .

Deuxième partie : Partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

Soit  un nombre réel tel que 0 1  .

1. Calcul d'une intégrale : on pose 2I( ) (ln ) dx x x

 

  .

a. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que 2

2I( ) (ln ) ln d 2

x x x

  

   

b. En effectuant à nouveau une intégration par parties, prouver que : 2 2 2

2 1I( ) (ln ) ln . 2 2 4 4

         

c. Déterminer la limite I de ( )I  lorsque  tend vers 0.

2. Calcul d'aires

a. On pose 1

( ) ( )dk kS f x x

   .

Exprimer ( )kS  en fonction de  . En déduire la limite Sk de ( )kS  quand  tend vers 0.

On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe Ck, l'axe (Ox) et la droite d'équation x = 1.

b. En déduire que les courbes C0, 1 2

C et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.

1. 35. Fonction ln et rotation

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . Toutes les courbes

demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

A. Etude d'une fonction f et de sa courbe représentative (C).

On considère la fonction f , définie sur ]0 ;  [ par :  ( ) ln 1 1f x x   .

1. Calculer les limites de f en 0 et en  .

2. Etudier le sens de variation de f sur ]0 ;  [.

3. Soit (C) la courbe représentative de f dans ( ; , )O i j et A le point de (C) d'abscisse 3. Calculer

l’ordonnée de A. Soit B le point de (C) d'abscisse 5

4 , P le projeté orthogonal de B sur l'axe ( ; )O i et H le

projeté orthogonal de B sur l'axe ( ; )O j .

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans

le repère ( ; , )O i j et représenter la courbe (C).

B. Utilisation d’une rotation.

Soit r la rotation de centre O et d'angle 2

 . A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point

M ' d'affixe z'.

1. a. Donner z' en fonction de z.

On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x, y, x' et y' réels), exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.

b. Déterminer les coordonnées des points A’, B’ et P’ images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur par 2( ) 2x xg x e e   et ( ) sa courbe représentative dans le

repère ( ; , )O i j .

a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à (C), son image M’ par r appartient à ( ) .

On admet que lorsque le point M décrit (C), le point M’ décrit ( ) .

b. Tracer sur le graphique précédent les points A’, B’, P’ et la courbe ( ) (l'étude des variations de g n'est

pas demandée).

C : Calcul d’intégrales

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine de même aire.

1. Calculer l'intégrale

ln 2

0

( )g x dx . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe d'extrémités B et A.

b. On pose   3

5 / 4

I ln 1 1x dx   . Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de

l'intégrale I.

1. 36. Etude de ln(chx) et de son intégrale

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j r r

. L’unité graphique est 3 cm.

A. Étude de f

On considère la fonction f définie sur [0 ;  [ par ( ) ln( )x xf x e e  et on désigne par (C) sa courbe

représentative dans le repère ( ; , )O i j .

1. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ;  [, on a   2ln(1 )xf x x e   . En déduire que la

courbe (C) admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.

c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et l’asymptote D,

B. Intégrales liées à f

Pour tout x de l’intervalle [0 ;  [ on pose 2

0

( ) ln(1 ) x

tF x e dt  . On ne cherchera pas à calculer F(x).

1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ;  [ .

3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :

Pour tout t de [0 ; a], 1 1

1 1 1a t

   

. En déduire que ln(1 ) 1

a a a

a   

 .

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que 2

2

2 0 0

( ) 1

tx x t

t

e dt F x e dt

e

 

  

  puis que

2 21 1 1 1ln 2 ln(1 ) ( ) 2 2 2 2

x xe F x e      .

5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers  , existe et est un nombre réel noté L.

Etablir que 1 1

ln 2 2 2

L  .

6. Pour tout entier naturel n, on pose 1

2ln(1 ) n

t n

n

u e dt

  .

a. On considère la fonction h définie sur [0 ;  [ par 2( ) ln(1 )th t e  . Étudier le sens de variation de

h.

b. Démontrer que pour tout naturel n : 20 ln(1 )nnu e    .

c. Déterminer la limite de (un) lorsque n tend vers  .

7. Pour tout entier naturel n on pose

1

0

n

n i

i

S u

 . Exprimer Sn à l’aide de F et de n. La suite (Sn) est–elle

convergente ? Dans l’affirmative quelle est sa limite ?

1. 37. Th. des valeurs intermédiaires

On considère la fonction f définie sur ]0 ;  [ par 1

( ) 1 (ln 2)f x x x

       

.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

2. Montrer que f est dérivable sur]0 ;  [ et calculer  'f x .

3. Soit u la fonction définie sur ]0 ;  [ par ( ) ln 3u x x x   .

a. Etudier les variations de u.

b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique  dans l’intervalle [2 ; 3]. Montrer que

2,20 <  < 2,21.

c. Etudier le signe de u(x) sur ]0 ;  [.

4. a. Etudier les variations de f.

b. Exprimer ln comme un polynôme en  . Montrer que 2( 1)

( )f

 

   . En déduire un encadrement

de f( ) d’amplitude 22 10

5. a. Etudier le signe de f(x) sur ]0 ;  [.

b. Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité 2

cm..

1. 38. Étude + suite, La Réunion 2010, 6 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par    1 ln 1f x x   . On note Cf sa courbe

représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . On note Dla droite d’équation y = x.

Partie A

1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f.

b. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par    g x f x x  .

a. Déterminer   1

lim x

g x 

.

b. Déterminer  ln 1

lim 1x

x

x

 . En déduire  lim

x g x

 .

c. Étudier le sens de variation de la fonction g puis dresser le tableau de variations de la fonction g.

d. Montrer que sur l’intervalle  1 ;  l’équation   0g x  admet exactement deux solutions  et  , avec  négative et  appartenant à l’intervalle [2 ; 3].

e. À l’aide des questions précédentes, déterminer le signe de g(x). En déduire la position relative de la courbe Cf et de la droite D.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (un) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : u0 = 2 et  1n nu f u  .

1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 2 nu   .

2. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

1. 39. Fonction+suite, Bac C, Paris, 1990

f est la fonction définie sur ]0 ;  [ par ln

( ) 1

x x f x

x  

.

1. Montrer que l’on a, pour tout réel x de]0 ; + [,  

2

1 ln '( )

1

x x f x

x

  

 .

2. La fonction  est définie sur ]0 ;  [ par ( ) 1 lnx x x    . Etudier ses variations, en déduire que

l’équation ( ) 0x  admet une solution unique  . Etudier le signe de  .

3. En déduire les variations de f, étudier les limites de f en 0 et  .

4. Montrer que, pour tout entier strictement positif n, l’équation ( )f x n admet une solution unique que

l’on notera n . On cherche maintenant à étudier la suite  n .

5. Montrer que, pour tout entier n > 0, ( )nf e n . En déduire que nn e  et la limite de  n

6. Prouver que la relation ( )nf n  peut se mettre sous la forme ln n

n n

n

e

   

  .

En déduire la limite de n ne

 .

1. 40. Dérivabilité, Centres étrangers, 2000, extrait

La fonction f est définie sur [0 ;  [ par (0) 0f  et si x > 0,  2ln 1

( ) x

f x x

  . Sa courbe dans le plan

rapporté à un repère d’origine O, est donnée ci-dessous.

1. Montrer que, pour tout réel positif t, 0 ln(1 )t t   . En déduire la continuité de f en 0.

2. Montrer que 0

( ) lim 1 x

f x

x  . En déduire la dérivabilité de f en 0.

1. 41. Limites+courbes, D’après Japon, 1997

A. On considère la fonction f1 définie sur ]0 ;  [ par 1 2 ln

( ) x

f x x

 , et on appelle (C1) sa courbe

représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unité 2 cm sur (Ox), 10 cm sur (Oy).

1. Déterminer 1 0

lim ( ) x

f x

et 1lim ( ) x

f x 

. Que peut-on en déduire pour (C1) ?

2. Etudier les variations de f1, donner son tableau de variation.

3. Déterminer une équation de la tangente T à (C1) en son point d’abscisse 1.

B. On considère la fonction f2 définie sur ]0 ;  [ par 2

2 2

ln ( )

x f x

x  , et on appelle (C2) sa courbe

représentative dans même repère que (C1).

1. Déterminer 2 0

lim ( ) x

f x

et 2lim ( ) x

f x 

. Que peut-on en déduire pour (C2) ?

2. Etudier les variations de f2, donner son tableau de variation.

3. Etudier le signe de 1 2( ) ( )f x f x , en déduire la position relative de (C1) et (C2).

4. Tracer T, (C1) et (C2).

1. 42. Equations

On pose 3 2( ) 2 7 2 3P X X X X    .

a. Calculer P(−1), en déduire une factorisation de P.

b. Résoudre dans l’équation P(X) = 0.

c. En déduire la résolution dans de :

6 4 2

3 2

2

2 7 2 3 0

2ln 7 ln 2ln 3 0

ln(2 3) ln( 2 2) ln(8 9)

x x x

x x x

x x x x

   

   

     

1. 43. Paramètre+aire+équation, Am. du Nord 1998

Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on considère la fonction fn définie sur ]0 ;  [ par

2

1 ln ( )n

n x f x

x

  .

Partie A

I. Etude des fonctions fn

1. Calculer ( )nf x et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le

numérateur est 2 2 lnn n x  .

2. Résoudre l’équation ( ) 0nf x  . Etudier le signe de ( )nf x .

3. Déterminer les limites de fn en  et en 0.

4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.

II. Représentation graphique de quelques fonctions fn.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 5 cm. On note Cn la courbe

représentative de fn dans ce repère.

1. Tracer C2 et C3.

2. Calculer 1( ) ( )n nf x f x  . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n.

3. Expliquer comment il est possible de construire la courbe de C4 à l’aide de C2 et C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires

1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 2

1

lne x I dx

x   .

2. En déduire l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par les courbes Cn et Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par la courbe Cn, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e. Calculer A2. Déterminer la nature de la suite (An) en précisant l’interprétation géométrique de sa raison. Exprimer An en fonction de n.

Partie C : Etude sur l’intervalle ]1 ;  [ de l’équation ( ) 1nf x

Dans toute la suite on prendra n  3.

1. Vérifier que pour tout n,

2

2 1

n

ne

 et

2

2 1

n

n nf e

        

. En déduire que l’équation ( ) 1nf x  n’a pas de

solution sur l’intervalle

2

21;

n

ne

      

.

2. On pose pour t  1, ln

( ) t

t t

  . Etudier les variations de  . En déduire que pour tout t appartenant à

]1 ;  [, 1

( )t e

  , puis que pour tout n  3, ( ) 1nf n  .

3. Montrer que l’équation ( ) 1nf x  a exactement une solution n sur

2

2 ,

n

ne n

      

. Combien l’équation

( ) 1nf x  a-t-elle de solutions sur ]0 ;  [ ?

Calculer  nf n et montrer que pour tout 2n e ,   1nf n  . En déduire que pour n  8 on a

nn n  et donner la limite de la suite (n).

1. 44. Intégrales

On appelle f la fonction définie sur ]0 ;  [ par 1 ln

( ) x

f x x

  .

1. Etudier les limites de f en 0 et en  . Quelles sont les conséquences pour la courbe représentative de f ?

2. Etudier les variations de f.

3. Calculer 1

( ) e

f x dx .

4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer 2

1

lne x dx

x puis 2

2 1

lne x dx

x .

5. En déduire le calcul de 2

1

( ) e

f x dx .

1. 45. Ln et intégrale

On appelle f la fonction définie sur ]0 ;  [ par ( ) ( 1)ln 1f x x x   , et C sa courbe dans le plan muni

d’un repère orthonormal d’unité 2 cm.

1. Etudier les limites de f en 0 et en  . En déduire l’existence d’une asymptote à C.

2. a. Calculer la dérivée f ’ de f, puis la dérivée f ’’ de f ’, montrer que f ’’(x) = 2

1x

x

 .

b. Etudier le signe de f ’’, calculer f ’(1) et en déduire que pour tout x, f ’(x)  2.

c. Préciser le sens de variation de f.

3. Montrer que pour tout x  1, f(x) + 1  2(x – 1).

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 a une unique solution a sur [1 ; 2]. Donner à la calculatrice un encadrement de a à 10−2 près.

5. Tracer C.

6. a. En remarquant que 2( 1) 1

2 x

x x x

    , donner une primitive de

2( 1)x

x

 .

b. En déduire à l’aide d’une intégration par parties le calcul de 1

( ) e

f x dx .

1. 46. Limites, Bac S, Antilles, 1997

On appelle f la fonction définie sur ]0 ;  [ par 1 1

( ) ln 1

x f x

x x

    

  .

1. Déterminer la dérivée de f, étudier ses variations.

2. Calculer les limites de f en 0 et en  . Dresser le tableau de variation de f.

3. g est définie sur ]0 ;  [ par 1

( ) ln x

g x x x

    

  . Déterminer la dérivée de g et étudier son signe à

l’aide de la question précédente.

4. Vérifier que g h k , avec ln( 1) 1

( ) , ( ) x

h x k x x x

   . En déduire les limites de g en 0 et en  , et

dresser le tableau de variation de g.

1. 47. Un exo de sup

On appelle f la fonction définie pour x > 0 par

1

( ) xf x x et f(0) = 0.

1. Calculer f(1) et f(2).

2. Montrer que l’on a pour tout x > 0

ln

( )

x

xf x e . En déduire que f est continue en 0.

3. Montrer que f est dérivable sur ]0 ;  [ et que f ’(x) est du signe de 1 – lnx. En déduire les variations de f. Etudier la limite de f en  et dresser le tableau de variation de f.

4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C de f en son point d’abscisse 1. Montrer que pour

tout réel strictement positif x on a ln

ln x

x x  . En déduire la position de C par rapport à T (on sera

amené à remarquer que ln xx e ).

5. Montrer que 0

( ) lim 0 x

f x

x  . Que peut-on en déduire pour f et C ?

6. Donner l’allure de C en faisant figurer tous les résultats précédents.

1. 48. Ln et exp (2)

A. Soit f la fonction définie sur par :  ( ) ln 1 xf x e  .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unités graphiques : 4 cm).

1. Déterminer la limite de f en  et en  . Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

2. Montrer que C admet une asymptote D d’équation : y = –x. Préciser la position de D par rapport à C.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer D, T et C.

4. Soit x0 un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d’abscisses respectives x0 et –x0 .

a. Vérifier que : f(x0) – f(–x0) = –x0.

b. Calculer le coefficient directeur de la droite (MN). Que peut-on en conclure ?

c. Montrer que f ’(x0) + f ’(–x0) = –1. En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l’axe des ordonnées.

d. Illustrer sur la courbe C les résultats précédents en prenant x0 = 1.

B. On se propose dans cette partie d’étudier la suite de nombres réels (un ), définie par :

1

1 1

1 1

1 1 pour tout ent ier de n n n

u e

u u n e

 

 

 

  

      

.

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de * : un >0.

b. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

c. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de * : ln un = f(1) + f(2 ) + f(3) + … + f(n) (1)

2. a. Etudier les variations des fonctions g et f définies sur [0 ;  [ respectivement par :

( ) ln(1 )g t t t   et 2 1

( ) ln(1 ) 2

h t t t t    .

b. En déduire que, pour tout réel t de [0 ;  [, 2 1

ln(1 ) 2

t t t t    .

c. En déduire que pour tout réel x : 2

( ) 2

x x xe

e f x e

      (2)

3. a. Soit a est un réel strictement supérieur à 1. Calculer, pour tout entier n de * ,

2 3

1 1 1 1 ...n n

S a a a a     

et montrer que la suite (Sn) admet une limite que l’on déterminera..

b. On pose, pour tout entier n de * : 2 3

1 1 1 1 ...n n

A e e e e      et

2 4 6 2

1 1 1 1 ...n n

B e e e e      .

A l’aide des relations (1) et (2), montrer que : An – 1

2 Bn  ln unAn.

c. En déduire que la suite (ln un) est majorée.

4. a. Montrer que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.

b. On admet que si (an) et (bn) convergent respectivement vers L et L’ et si, pour tout entier n de * , an

bn alors LL’. Montrer que : 2

2 1

2( 1)

e

e

  ln l

1

1e . En déduire une valeur approchée de l à 0,1 prés .

1. 49. Distance minimum

Soit Cla courbe représentative de la fonction lnx x dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan.

On se propose d’étudier le minimum de la distance de C à l’origine O du repère.

1. Tracer soigneusement la courbe C sur l’intervalle ]0 ; 2] en choisissant 5 cm comme unité. Placer le point A de C qui semble être le plus proche de l’origine du repère. Quelle semble être la plus petite distance entre O et un point de C ?

2. Soit M un point de C d’abscisse x. Exprimer la distance OM en fonction de x.

3. Justifier que les fonctions x OM et   22: lnf x x x ont les mêmes variations.

4. f est définie sur l’intervalle ]0 ;  [.

a. Calculer sa dérivée  'f x et montrer que le signe de  'f x sur ]0 ;  [ est celui de   2 lng x x x  .

b. Etudier les variations de g sur ]0 ;  [ et préciser ses limites en 0 et en  .

c. Démontrer que l’équation   0g x  admet, sur ]0 ;  [ , une solution unique notée  dont on

donnera une approximation décimale à 10−3 près.

d. En déduire le signe de  'f x puis l’existence pour f d’un minimum unique.

5. a. Déterminer alors le point M0 pour lequel la distance OM est minimale et montrer que cette distance

vaut 21  . En donner une valeur approchée à 10−3 près et comparer à la valeur obtenue graphiquement.

b. Montrer que la droite (OM0) et la tangente à C en M0 sont perpendiculaires.

1. 50. Ln et exp (3)

Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction définie sur [0 ;  [ par

( ) ln( )xkf x e kx x   .

Soit (Ck) la courbe représentative de la fonction fk dans le plan muni d’un repère orthogonal

  ; , O i j (unités graphiques 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnées).

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0 ;  [ par ( ) ln(1 )g x x x   .

1. Etudier le sens de variation de g.

2. En déduire que pour tout réel a positif, on a ln(1 )a a  .

Partie B

1. Montrer que pour tout0x  , ( ) ln(1 )k x x

f x k e

  .

En déduire la limite de kf en  et l’existence d’une asymptote.

2. Calculer 'kf et dresser le tableau de variation de kf en fonction de k.

3. Montrer que pour tout  0 ;x  , on a ( )k k

f x e  .

4. Déterminer une équation de (Tk) la tangente à (Ck) au point O.

5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m.

Etudier la position relative de (Cp) et (Cm).

6. Montrer que l’équation 2

ln 1 0, 5 x

x

e

    

  admet une seule solution  sur ]1 ;  [. Donner un

encadrement de  à 10−2.

7. Tracer les courbes (C1) et (C2) ainsi que leurs tangentes respectives (T1) et (T2) en O.

1. 51. Equation+intégrale, N. Calédonie 11/2008

5 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par f(x) = lnx – 2 + x.

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en  .

2. Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution  dans l’intervalle  0 ;  .

Donner un encadrement du nombre  à 10–2 près.

Partie B

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j .

On considère sur le graphique ci-dessus, la courbe représentative C de la fonction ln, ainsi que la droite D d’équation y = 2 − x. On note E le point d’intersection de la courbe C et de la droite D.

On considère l’aire en unités d’aire, notée A, de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D.

1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. Soit 1

lnI xdx

  .

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Calculer I , en fonction de  , à l’aide d’une intégration par parties.

c. Montrer que I peut aussi s’écrire 2 1I      sachant que f( ) = 0.

3. Calculer l’aire A en fonction de  .

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