Sciences statistiques - Exercice 5 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 5 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 5 - 1° partie - Probabilités. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Rappels et exercices de base, l’évènement, probas diverses.
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Terminale S

Probabilités Exercices

1. Rappels et exercices de base 3 1. 1. QCM 1 (P. Engel) 3 1. 2. QCM 2, Antilles 2005 4 1. 3. QCM, Liban 2009, 3 points 4 1. 4. QCM, C. étrangers 2007 5 1. 5. QCM, France 2007 6 1. 6. QCM, N. Calédonie 2007 7 1. 7. QCM divers, Antilles 2007 7 1. 8. QCM probas diverses, La Réunion 2004 8 1. 9. ROC+QCM, N. Caledonie 2005 9 1. 10. Exercice de base 1 10 1. 11. Exercice de base 2 10 1. 12. Exercice de base 3 10 1. 13. Exercice de base 4 : Dans une urne 10 1. 14. Exercice de base 5 : La loterie 11 1. 15. Exercice de base 6 11 1. 16. Exercice de base 7 11 1. 17. Exercice de base 8, dominos, Am. Sud 2001 11 1. 18. Exercice de base 14 : test 12 1. 19. Exercice de base 15 : sondage 12 1. 20. Exercice de base 16 : Cartes 12 1. 21. Exercice de base 17 : Cubes 12 1. 22. Exercice de base 18 : Stylos 13 1. 23. Tintin et Milou, N. Calédonie 1993 13 1. 24. Sondage, Bac E, Rennes 1977 13 1. 25. Sondage écolo, Polynésie 1996 14 1. 26. Archer 14 1. 27. Arbre 15 1. 28. ROC + jetons + VA, France 2009 15 1. 29. Dés+VA, Antilles 2009 15 1. 30. Arbres, Centres étrangers 2008 16 1. 31. Arbre+binom, La Réunion 2008 16 1. 32. Arbre 3 niveaux, La Réunion 2005 17 1. 33. Contrôle de qualité, Liban 2005 18 1. 34. VA, Nouvelle–Calédonie 2002 18 1. 35. Boules+VA, STL, France, juin 2005 18 1. 36. Boules+VA, STL, France, juin 2006 19 1. 37. Urnes+Binom, Antilles 09/2008 19 1. 38. VA + Binom, N. Calédonie 11/2008 20 1. 39. Loterie+VA, France et La Réunion 2008 20 1. 40. Arbre+VA+Binom, Antilles juin 2008 21 1. 41. Tirages+VA, Polynésie, sept 2008 21 1. 42. Boules+VA+répétition, Polynésie 2006 22 1. 43. Boules+VA, C Antilles 1994 22 1. 44. STL, France, sept 2004 23 1. 45. Partie de dés, STL, France, juin 2004, 23 1. 46. Boules+suite, Polynésie 1999 24 1. 47. Boules et urnes, Am. Sud 2002 24 1. 48. Boules sans ou avec remise 24 1. 49. Urnes, boules, tirages, Pondicherry 1998 25 1. 50. Urnes, boules, VA, N. Calédonie 2002 25 1. 51. Loterie, VA, Asie 2005 25 1. 52. Morpion, Polynésie 2002 26 1. 53. Cartes+VA+Barycentre 27 1. 54. Boules+fonction+VA, Pondichéry 2002 27 1. 55. Grippe+binomiale 28 1. 56. Sondage+binomiale 28 1. 57. Questionnaire+VA 29 1. 58. Urnes+VA 29 1. 59. Raquettes 30 1. 60. Code d’entrée 30 1. 61. Station-service, France 1998 30 1. 62. Avec de la géométrie, Am. du Sud 2003 30

1. 63. Géométrie+VA, Antilles remplt 2007 31 2. Loi binomiale 33

2. 64. ROC+Binomiale, Centres étrangers 2009 33 2. 65. Contrôle de fabrication, Polynésie 2009 33 2. 66. Contrôle+binomiale, La Réunion 2009 34 2. 67. Fabrication+binomiale, Asie 2009 34 2. 68. VA+binomiale,Pondicherry 2009 35 2. 69. VA+binomiale, Asie 2007 35 2. 70. Binomiale, France & La Réunion sept 200636 2. 71. Aire et tir, La Réunion 2006 36 2. 72. Dé, binom. et suites, C. étrangers 2006 37 2. 73. Paquets de gaufrettes 38 2. 74. Calcul de l’esp. et de la var. de la loi binomiale 38 2. 75. Autour du binome 38 2. 76. Examens sanguins 38 2. 77. Evolution d’une population de bactéries 39 2. 78. Tirages successifs, Liban 2003 39 2. 79. Barycentre+urnes+binom., Polynésie 200440 2. 80. Enquête téléphonique, C. étrangers 2005 40 2. 81. Enquête téléphonique, France 2000 41 2. 82. Dé pipé, Polynésie 2000 41 2. 83. Pièces truquées, La Réunion 2002 42 2. 84. Clefs et portes, Pondicherry 2000 42 2. 85. Hôpital, Liban 2004 43 2. 86. Fléchettes, France 2002 43 2. 87. Fléchettes, Amérique du Nord 2004 44 2. 88. Lancer de tétraèdres, Polynésie 2003 44 2. 89. Pièces d’1 euro et loi binom., France 2003 45 2. 90. Promenades avec un guide, Antilles 2003 45 2. 91. Promenades sans guide, Asie 2001 46 2. 92. Visite de musée, Centres étrangers 2001 47 2. 93. Loi de Poisson, Pondichéry 2007 47 2. 94. Accidents (Poisson), N. Calédonie 2003 48 2. 95. Loterie 49

3. Chaine de Markov 49 3. 96. Chaine de Markov, N. Calédonie 2009 49 3. 97. Tirages successifs, Asie 2008 50 3. 98. Hérédité, Polynésie sept 2007 50 3. 99. Chaîne de Markov, Liban 2007 51 3. 100. Chaîne de Markov, Asie 2006 52 3. 101. Markov, binomiale, N. Calédonie 2003 52 3. 102. Ramassage (Markov), C. étrangers 2004 53 3. 103. Génétique (Markov) 53 3. 104. Urnes et jetons (Markov) 54 3. 105. Feux rouges (Markov), Asie 2002 55 3. 106. Assurance, Polynésie 2002 56 3. 107. Chaîne de Markov, Antilles 2002 56 3. 108. Fléchettes et chaîne de Markov, Asie 200057 3. 109. Promenade aléatoire, Polynésie 2005 57 3. 110. Petit commerce, Antilles 2003 58

4. Probabilités continues 58 4. 111. QCM probas continues, La Réunion 2003 58 4. 112. Autocars, Asie 2003 59 4. 113. Durée de vie d’une machine 59 4. 114. Oscilloscopes, Polynésie 2004 59 4. 115. Vie composants, Am. du Sud 2005 60 4. 116. Durée de vie, Am. du Nord 2003 60 4. 117. Loi uniforme, Antilles 2001 61 4. 118. Loi continue 61 4. 119. Test+binom+adéquation, Antilles 2004 61 4. 120. Lancer dé+adéquation, France rempl. 200563 4. 121. Fesic 2003 : Exercice 11 63

4. 122. Fesic 2003 : Exercice 13 64 4. 123. Fesic 2003 : Exercice 14 64

Note : l’orthographe française est compliquée… le mot binome peut s’écrire de dix manières différentes (et ne parlons pas des polynomes et consorts). Aussi, et j’engage fortement mes lecteurs à procéder de même, j’ai décidé de supprimer l’accent circonflexe dans tous les cas… (ainsi que l’Académie Française le recommande d’ailleurs lorsque ce dernier n’est pas nécessaire).

1. Rappels et exercices de base

1. 1. QCM 1 (P. Engel)

1. A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,2 et p(B) = 0,3 alors p(AB) =….

a. 0,06 b. 0,44 c. 0,5 d. 0,56

2. A et B sont deux évènements. p(A B ) = ……

a. p(A) – p( A  B ) b. p(B) – p( AB ) c. p( B ) – p( A  B ) d. p(A) – p( A  B )

3. Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remises 2 boules de l’urne. La probabilité de l’événement : « la 2ième boule tirée est noire sachant que la première l’est aussi » est égale à ….

a. 5

4 b.

25

64 c.

5

14 d.

4

7

4. Lors d’une course de chevaux comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé dans le désordre est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre ?

a. 10 fois b. 6 fois c. 5 fois d. 3 fois

5. Dans un tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différentes, on tire au hasard 2 chaussettes ; la probabilité qu’elles appartiennent à la même paire est égale à ….

a. 1

3 b.

1

5 c.

1

6 d.

1

2

6. Une seule de ces 4 affirmations est fausse laquelle ?

a. Deux évènements incompatibles ne sont

pas nécessairement indépendants

b. Si p(A)  0 alors pA(A)=1

c. Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité

d’obtenir les 4 as dans une main de 5 cartes est

inférieure à un dix millième.

d. Que l’on joue au loto ou pas, la probabilité de gagner le gros lot est

identique au millionième près

7. On considère l’épreuve qui consiste à lancer un dé non truqué. On gagne 20 € si on obtient le 6, on perd 4 € sinon. L’espérance de gain pour ce jeu est ….

a. Impossible à déterminer

b. Négative c. Positive d. Nulle

8. On choisit au hasard une boule d’une urne contenant 3 boules rouges numérotées 1, 2 et 3, deux boules vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On considère les évènements suivants :

R : «La boule tirée est rouge » ; A : « la boule tirée est numérotée 1 » ; B : « la boule tirée est numérotée 2 ».

Laquelle de ces 4 affirmations est vraie ?

a. Il n’y a pas d’évènements indépendants

b. R et A sont indépendants

c. A et B sont indépendants

d. R et B sont indépendants

9. En considérant une année de 365 jours, la probabilité pour que dans un groupe de 23 personnes choisies au hasard, 2 personnes au moins aient la même date anniversaire est……

a. Inférieure à 0,5 b. Egale à 0,5 c. Supérieure à 0,5 d. Proche de 0,003

10. Un élève répond au hasard aux 10 questions de ce QCM. La probabilité qu’il obtienne la moyenne est environ égale à ….

a. 0,003 b. 0,058 c. 0,078 d. 0,0035

1. 2. QCM 2, Antilles 2005

3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions, chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.

Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains biographiques sont français.

Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

a. 0,4 b. 0,75 c. 1

150

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est : a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est :

a. 4

150 b.

12

19 c. 0,3

6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :

a. 1−(0,25)20 b. 20×0,75 c. 0,75×(0,25)20

1. 3. QCM, Liban 2009, 3 points

Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On désigne par Aet Bdeux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.

On sait que   4

A B 5

p   et   3

A 5

p  . La probabilité de l’évènement Best égale à :

a. 2

5 b.

2

3 c.

3

5 d.

1

2

2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,04  .

On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’événement X t , notée  p X t , est donnée

par   0

t xp X t e dx    . La valeur approchée de p(X > 5) à 10–2 près par excès est égale à :

a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1

10 ;

s’il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à 9

10 . Je sors mon chien ; la probabilité

qu’il ne pleuve pas est égale à :

a. 9

10 b.

27

40 c.

3

4 d.

27

28

1. 4. QCM, C. étrangers 2007

4 points

Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à 0.

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.

1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité de tirer 3 boules noires est :

A B C

1

56

1

120

1

3

b. La probabilité de tirer 3 boules de lamême couleur est :

A B C

11

56

11

120

16

24

2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants.

a. La probabilité d’obtenir 5 fois une boule noire est :

A B C

3 3 3 5

8 8

       

   

3 3

8

     

5

1

5

     

b. La probabilité d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :

A B C

3 2 5 3

8 8

       

   

5 3 2 3

8 8   

3 2 5 3

10 8 8

            

3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note :

– R1 l’évènement : « La première boule tirée est rouge » ;

– N1 l’évènement : « La première boule tirée est noire » ;

– R2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est rouge » ;

– N2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est noire ».

a. La probabilité conditionnelle  R 21 RP est :

A B C

5

8

4

7

5

14

b. La probabilité de l’évènement 1 2R N est :

A B C

16

49

15

64

15

56

c. La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

A B C

5

8

5

7

3

28

d. La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est :

A B C

15

56

3

8

5

7

1. 5. QCM, France 2007

4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à 10−3 près.

1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’il rencontre un client, la probabilité qu’il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :

a. 0,4 b. 0,04 c. 0,1024 d. 0,2048

2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l’effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l’a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu’il ait eu son permis du premier coup est égale à :

a. 0,043 b. 0,275 c. 0,217 d. 0,033

3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

a. 0,100 b. 0,091 c. 0,111 d. 0,25

4. Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres.

On admet que la probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d’atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

a. 5

9 b.

9

14 c.

4

7 d.

1

3

1. 6. QCM, N. Calédonie 2007

4 points

Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.

A. Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant.

Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est :

a.

4

3

8

3

     

     

b. 9

8 c.

3 1

2

     

d. 4 3 2

8 7 6

 

 

Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu’il ait tiré 3 boules rouges est :

a. 0 b. 3

1

8

     

c. 23

128 d.

1

92

B. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par  f x x m  où m est une constante réelle.

Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque :

a. 1m   b. 1

2 m

c.

1

2m e d. 1m e

C. La durée de vie en années d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0,2.

Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est :

a. 1

1 e  b.

1

e c.

1

5e d.  

1 1

0,2 e

1. 7. QCM divers, Antilles 2007

5 points

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte aux questions 1 et 2 rapporte 0,5 point et à la question 3 rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

On s’intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d’une boïte de vitesses automatique.

Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte.

L’usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement : S1 et S2.

Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % de pièces de type P2.

Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % de pièces de type P2.

1. Un employé de l’usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type.

Il tire une pièce au hasard.

a. La probabilité que ce soit une pièce P1 est :

0,8 0,5 0,2 0,4 0,6

b. La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu’elle vienne de S1 est :

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

c. La probabilité qu’elle vienne de S1 est

0,2 0,4 0,5 0,6 0,8

2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables.

a. Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :

0,1588 0,2487 0,1683 0,0095

b. Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est :

0,5000 0,2513 0,5025

c. La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est :

357

995

103

199

158

995

3. La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre  est donné dans le tableau suivant :

 P1 P2

S1 0,2 0,25

S2 0,1 0,125

On rappelle que si X, durée de vie d’une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de

paramètre  , alors   0

t xp X t e dx    .

Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu’une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est :

0,3679 0,6321

1. 8. QCM probas diverses, La Réunion 2004

5 points

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Première partie

Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :

B1, contenant 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,

B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.

1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A :

120 5880

3 7

6000

10

       

   

     

B : 3

120 C :

3 7 10 120 5880

3 6000 6000

            

      D :

3 7 10 3 7

3 120 5880

            

     

2. Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :

A : 0,98 B : 0, 4 0,95

0,6 0,98 0,6 0,02

   C : 0,6 0,98 D :

0,6 0,98

0,6 0,98 0, 4 0,95

  

Deuxième partie

La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot ménager jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle

 0 ;  (loi exponentielle de paramètre  = 0,0005).

Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est :    0

0 ; t

xp t e dx   .

1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est :

A :

2 500

2 000 e

B :

5

4e C :

2 500

2 000 1 e

D :

2 000

2 500 e

2. La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule 0

lim t

x

t E xe dx 

   .

a. L’intégrale 0

t xxe dx  est égale à :

A : 2

2

tt e   B : 1tt ete

 

 

    C : t tte e      D :

t t ete

 

  

b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :

A : 3 500 B : 2 000 C : 2531,24 D : 3 000

1. 9. ROC+QCM, N. Caledonie 2005

5 points

Cet exercice comporte deux parties indépendantes.

La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.

Partie I : Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. On extrait simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge ?

A 75

512 B

13

56 C

15

64 D

15

28

2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.

Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

A 1

120 B

3

40 C

1

12 D

4

40

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10 € si le dé marque 1. Il gagne 1 € si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ?

A 2 B 13 C 16 D 17

4. La durée d’attente T, en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable

aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 1

6   . On a donc pour tout réel t > 0 :

0

( ) t

xP T t e dx    avec 1

6  

t désigne le temps exprimé en minutes.

Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10−4 près) que son temps total d’attente soit inférieur à 5 minutes ?

A 0,2819 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065

1. 10. Exercice de base 1

On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard.

A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 »

B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 »

C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ».

Calculer p(A), p(B), p(C), p(A  B), p(A  B), p(A  C) et p(A  C).

1. 11. Exercice de base 2

On lance deux fois de suite un dé équilibré.

1. Représenter dans un tableau les 36 issues équiprobables .

2. Calculer la probabilité des événements :

A : « on obtient un double » ;

B : « on obtient 2 numéros consécutifs » ;

C : « on obtient au moins un 6 » ;

D : « la somme des numéros dépasse 7 ».

1. 12. Exercice de base 3

On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée.

1. Dresser la liste des issues équiprobables.

2. Quel est l’événement le plus probable : A ou B ?

A : « 2 piles et 2 faces » ;

B : « 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ».

1. 13. Exercice de base 4 : Dans une urne

Mille boules numérotées de 0 à 999 sont placées dans une urne. On tire une boule au hasard et on note X le numéro sorti.

1. Calculer la probabilité des événements :

A : « X est divisible par 5 » ;

B : « X se termine par 0 » ;

C : « X est multiple de 2 » ;

D : « X est divisible par 3 ».

2. Déterminer la probabilité des événements A C, A C, B D, B D, A D, A D      , A B et C D .

1. 14. Exercice de base 5 : La loterie

Dans une loterie, on vend 100 billets dont 3 sont gagnants.

1. On achète un billet. Quelle est la probabilité qu’il soit gagnant ?

2. On achète un deuxième billet. Quelle est la probabilité de gagner au moins un lot ?

1. 15. Exercice de base 6

Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros.

1. Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique et son écart-type.

2. Le jeu est-il favorable au joueur ?

1. 16. Exercice de base 7

En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci– dessous :

Par spécialité

Mathématiques Sciences Physiques SVT

40% 25% 35%

Sexe de l’élève selon la spécialité

Spécialité

Sexe Mathématiques Sciences physiques SVT

Fille 45% 24% 60%

Garçon 55% 76% 40%

On choisit un élève au hasard.

1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2. a. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants ?

F : « l’élève est une fille », M : « l’élève est en spécialité maths ».

b. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ayant choisi spécialité mathématiques ?

3. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

On appelle « probabilité de F sachant M » cette probabilité (conditionnelle) et on la note MP (F) .

4. a. Quelle égalité faisant intervenir P(F M) , P(F) et MP (F) peut-on écrire ?

b. Comparer P(F) et MP (F) et en donner une interprétation.

5. a. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

b. Comparer SP (F) et P(F) , et en donner une interprétation.

1. 17. Exercice de base 8, dominos, Am. Sud 2001

On considère l’ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Avec deux chiffres disfincts x et y de E on crée un unique domino noté indifféremment x y ou y x

Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino double noté z z .

1. Montrer que l’on peut ainsi créer 36 dominos.

2. On tire au hasard un domino.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres pairs ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ?

3. On tire au hasard et simultanément deux dominos.

Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un domino simple dont l’un des

chiffres est celui du domino double est égale à 4

45 ».

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).

1. 18. Exercice de base 14 : test

Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement , celui-ci devrait être positif lorsqu’une personne testée a un taux d’alcoolémie excessif (c’est à dire strictement supérieur au seuil toléré). Mais il n’est pas parfait :

* À un taux d’alcoolémie excessif, l’éthylotest est positif 96 fois sur cent.

* À un taux d’alcoolémie acceptable, l’éthylotest est positif 3 fois sur cent.

On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu’ils soient constants.

Dans une région, 95 % des conducteurs d’automobiles ont un taux d’alcoolémie acceptable.

On soumet au hasard un automobiliste de cette région à l’éthylotest.

On définit les événements suivants :

T : « L’éthylotest est positif »

S : « Le conducteur a un taux d’alcoolémie excessif »

1. Traduire mathématiquement chacune des trois données numériques de l’énoncé.

2. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif et que l’éthylotest soit positif.

3. Calculez P(T).

4. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif si l’éthylotest est positif ?

5. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie acceptable si l’éthylotest est négatif?

6. Quelle est la probabilité que l’éthylotest donne un résultat erroné ?

1. 19. Exercice de base 15 : sondage

Un sondage auprès de 150 personnes a donné les résultats suivants :

A la question « Consommez vous régulièrement de l'alcool ? », 50 personnes répondent oui.

A la question « Êtes-vous fumeur ? », 80 personnes répondent oui.

A la question « Êtes-vous un fumeur consommant régulièrement de l'alcool ? », 35 personnes répondent oui.

1. Représenter ces données par un diagramme.

2. Combien de personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool ?

3. Combien de personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs ?

4. Combien de personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de l'alcool ?

5. Combien de personnes sont fumeurs ou consomment régulièrement de l'alcool ?

1. 20. Exercice de base 16 : Cartes

On tire simultanément 8 cartes d’un jeu de 32, et on appelle ce tirage une main.

1. Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?

2. Combien de mains ne comportent-elles que des cartes rouges.

3. a. Combien de mains contiennent-elles le roi de pique ?

b. Combien de mains comportent-elles exactement 2 as ?

c. Combien de mais comportent-elles exactement 1 roi et 2 piques ?

d. Combien de mains comportent-elles la dame de carreau et au moins 2 cœurs ?

4. Combien de mains comportent-elles les 4 as ou les 4 rois ?

1. 21. Exercice de base 17 : Cubes

On dispose d’un cube en bois de 3 cm d’arête, peint en jaune. On le découpe, parallèlement aux faces, en 27 cubes de 1 cm d’arête. On place ces 27 cubes dans un sac.

1. On tire au hasard l’un des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables.

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

2. On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables.

a. Montrer que la probabilité d’avoir, au total, six faces peintes est égale à 28

351 .

b. On désigne par n un nombre naturel non nul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, on les remet dans le sac et on recommence l’opération de manière à effectuer n tirages successifs et indépendants de deux cubes.

Calculer la probabilité pn pour que l’on obtienne au total 6n faces peintes.

c. Déterminer la plus petite valeur de n pour que pn soit inférieur à 10−12.

Les résultats des calculs seront donnés sous forme fractionnaire.

1. 22. Exercice de base 18 : Stylos

Dans un magasin se trouve un bac avec des stylos-feutres et des stylos à bille, bleus ou noirs.

On sait qu’il y a 40% de stylos-feutres parmi lesquels 10% sont bleus et qu’il y a dans le bac 15% de stylos à bille noirs.

On choisit aléatoirement un stylo dans le bac et on note :

* F l’événement : « le stylo choisi est un stylo-feutre » ;

* B l’événement : « le stylo choisi est un stylo bleu ».

Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme décimale à 10−2 près.

1. a. Déterminer les probabilités suivantes : p(F), pF(B) et p(F B) .

b. Calculer p(F) et F

p (B) , en déduire p(F B) .

c. Montrer que la probabilité de choisir un stylo bleu est égale à 0,49.

d. On a choisi un stylo bleu, quelle est la probabilité que ce soit un stylo à bille ?

2. Le gérant du magasin recompte tous les stylos du bac et trouve finalement :

* 8 stylos feutres noirs à 0,40 € l’un,

* 72 stylos feutres bleus à 0,40 € l’un,

* 90 stylos- à bille noirs à 0,70 € l’un,

* 30 stylos- à bille bleus à 0,50 € l’un.

Soit X la variable aléatoire égale au prix du stylo choisi dans le bac.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire X.

1. 23. Tintin et Milou, N. Calédonie 1993

On considère le mot MILOU. On forme des « mots », ayant un sens ou non, avec certaines de ses lettres. Chaque lettre intervient au plus une fois dans un même « mot ».

1. Combien de mots de 5 lettres peut-on faire ?

2. Combien de mots peut-on faire en tout ?

3. Combien de mots de 5 lettres dans lesquels il n’y a pas deux voyelles consécutives ?

4. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot TINTIN, chaque lettre pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?

5. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot HADDOCK, chaque lettre pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?

1. 24. Sondage, Bac E, Rennes 1977

Un enquêteur s’intéresse aux loisirs d’un groupe de 200 personnes. Il apprend que 100 pêchent, 80 lisent, et 30 pratiquent ces deux activités.

1. Représenter ces données sous la forme d’un diagramme de Caroll (autrement dit des patates, NDLR), le compléter.

2. On effectue un sondage en choisissant 20 personnes du groupe.

a. Combien de sous-groupes différents peut-on faire ?

b. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 pêcheurs ?

c. Combien de sous groupes dans lesquels les proportions de l’ensemble sont respectées (10 chasseurs, 8 lecteurs et 3 pratiquant les 2) ?

d. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 chasseurs et 8 lecteurs ?

On donnera les résultats en utilisant les coefficients n

p

     

ou les factorielles.

1. 25. Sondage écolo, Polynésie 1996

4 points

Un sondage effectué à propos de la construction d’un barrage a donné les résultats suivants :

− 65% des personnes sont contre la construction,

− parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70% sont des écologistes,

− parmi les personnes qui sont pour la construction, 20% sont écologistes.

On note C l’événement « la personne concernée est contre la construction », D l’événement contraire, E l’événement « la personne concernée est écologiste » et F l’événement « la personne concernée est contre la construction et n’est pas écologiste ».

1. Calculer les probabilités p(C), pC(E), pD(E).

2. a. Calculer la probabilité qu’une personne soit contre la construction et soit écologiste.

b. Calculer la probabilité qu’une personne soit pour la construction et soit écologiste.

c. En déduire la probabilité qu’une personne soit écologiste.

3. Calculer la probabilité pE(C).

4. Montrer que p(F) = 0,195. On choisit au hasard 5 personnes. Quelle est la probabilité qu’au moins une d’elles soit contre la construction et ne soit pas écologiste ?

1. 26. Archer

Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, a atteint avec une flèche :

– la zone 10 avec une fréquence de 0,3 ;

– la zone 9 avec une fréquence de 0,6 ;

– la zone 8 avec une fréquence de 0,1.

À chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte.

On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des événements :

– " la flèche marque 10 ",

– " la flèche marque 9 ",

– " la flèche marque 8 ",

sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres.

On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche.

1. Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire X, somme des points marqués à

chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que 19X  .

a. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Vérifier que la probabilité de l'événement " 19X  " est 9

20 .

Calculer la probabilité de l'événement « 17 19X  »

c. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.

2. Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable aléatoire Y, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des événements suivants :

a. « 2Y  ».

b. « 1Y  ».

3. Cet archer tire n volées successives, que l'on suppose indépendantes.

Quelle doit être la valeur minimale n0 de n pour que la probabilité de l'événement : " une volée au moins est réussie " soit supérieure ou égale à 0,999 ?

1. 27. Arbre

Dans une classe où tous les élèves étudient l'anglais, on a testé le caractère visuel ou auditif de chacun d'eux : 70 % sont des visuels et 30 % des auditifs.

On a noté que 50 % des visuels de cette classe ont de bonnes notes en anglais, et que 80 % des auditifs de cette même classe ont de bonnes notes en anglais.

1. Proposer une représentation (arbre, tableau...) qui décrive cette situation.

2. On prend au hasard un nom sur la liste des élèves de cette classe.

Déterminer la probabilité des événements suivants :

E : « l'élève tiré est un visuel qui a de bonnes notes en anglais » ;

F : « l'élève tiré est un auditif qui a de bonnes notes en anglais » ;

G : « l'élève tiré a de bonnes notes en anglais ».

1. 28. ROC + jetons + VA, France 2009

5 points

I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.

On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que pn alors  

!

! !

n n

p p n p

   

  .

Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que 1 p n 

on a :

1 1

1

n n n

p p p

             

      .

II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. a. On note A l’évènement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’évènement

A est égale à 7

15 .

b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

2. Soit Xla variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X.

1. 29. Dés+VA, Antilles 2009

4 points

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.

On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont marquées A, B, C et D.

1. On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.

Déterminer la probabilité des événements suivants :

- E0 : « ne pas obtenir la lettre A »,

- E1 : « obtenir une fois la lettre A »,

- E2 : « obtenir deux fois la lettre A ».

2. On organise un jeu de la façon suivante : le joueur lance les deux dés simultanément.

- Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête.

1

0

0

0

1

2

2

1

Nombre de faces A

1er lancer

Nombre de faces A

2ème lancer

- Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête.

- Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête.

a. Recopier et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés reposent sur les faces « A ».

Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de 49

256 .

c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise.

Le jeu est-il favorable au joueur ?

1. 30. Arbres, Centres étrangers 2008

4 points

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

* les ingénieurs ; * les opérateurs de production ; * les agents de maintenance.

Il y a 8 % d'ingénieurs et 82 % d'opérateurs de production.

Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production.

Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note :

* Ml'événement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ;

* Ol'événement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ;

* I l'événement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ;

* Fl'événement : « le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d'interroger :

a. un agent de maintenance ; b. une femme agent de maintenance ; c. une femme.

Partie B

Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue. Des études ont montré que sur une journée :

* la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,002 ;

* la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;

* la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04 .

On note :

* Al'événement : « l'alarme se déclenche » ; * Bl'événement : « une panne se produit ».

1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.

1. 31. Arbre+binom, La Réunion 2008

5 points

Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.

Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.

1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.

a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité des événements suivants :

A : « il n'y a aucun stylo avec un défaut » ;

B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;

C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».

2. En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement « le stylo présente un défaut », et E l'événement « le stylo est accepté ».

a. Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.

b. Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.

c. Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.

3. Après le contrôle on prélève successivement et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptés.

Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1. b. Quel commentaire peut-on faire ?

1. 32. Arbre 3 niveaux, La Réunion 2005

5 points

On considère trois urnes U1, U2 et U3.

L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges.

Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U3. Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri ) l’évènement

« on tire une boule noire de l’urne Ui » (respectivement « on tire une boule rouge de l’urneUi »).

1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant

2. a. Calculer la probabilité des évènements

1 2 3N N N  , et 1 2 3N R N  .

b. En déduire la probabilité de l’évènement 1 3N N .

c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’évènement 1 3R N .

3. Déduire de la question précédente la probabilité de l’évènement N3.

4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?

5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U1 soit rouge ?

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N2

R2

N2

R2

N1

R1

1. 33. Contrôle de qualité, Liban 2005

3 points

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65 % d’entre eux passent le second test avec succès.

On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ».

On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1 et C.

2. La fabrication d’un écran revient à 1000 € au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 € de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.

Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.

On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le «gain » (éventuellement négatif ) réalisé par le fabricant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.

c. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

1. 34. VA, Nouvelle–Calédonie 2002

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement

deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 euros et si une seule est rouge il gagne 4 euros. Dans tous les autres cas, il ne gagne rien.

Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2. Pour un jeu, la mise est de 10 euros. Le jeu est-il favorable au joueur, c’est-à-dire l’espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ?

3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

− soit augmenter la mise de 1 euro, donc passer à 11 euros,

− soit diminuer chaque gain de 1 euros, c’est-à-dire ne gagner que 99 euros, 14 euros ou 3 euros.

Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?

1. 35. Boules+VA, STL, France, juin 2005

4 points

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.

Le jeu proposé est le suivant : on verse d’abord 10 euros, puis on effectue trois tirages successifs d’une boule avec remise et on obtient ainsi un nombre à trois chiffres en notant dans l’ordre les trois numéros obtenus.

Par exemple, si on tire successivement 2, 3 et 1 on obtient le nombre 231. Si les trois chiffres sont identiques, on reçoit 25 euros. Si les trois chiffres sont tous différents, on reçoit 15 euros. Si la somme des trois chiffres vaut 7, on reçoit 13 euros.

Dans tous les autres cas, on ne reçoit rien.

1. En s’aidant d’un arbre comme ci-dessous, donner la liste des 27 tirages possibles.

2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaquenombre à trois chiffres obtenu, associe le gain algébrique (c’est-à-dire la différence : somme reçue moins le versement initial).

a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

1. 36. Boules+VA, STL, France, juin 2006

4 points

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher. Sur chacune d’elles est inscrit un nombre comme l’indique le tableau ci-dessous :

Nombre inscrit 1 2 5 10

Nombre de boules 4 3 2 1

Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

1. Le joueur effectue un tirage.

On appelle p1 la probabilité pour qu’il perde (c’est à dire qu’il reçoive moins de 4 euros) et p2 la probabilité pour qu’il gagne (c’est à dire qu’il reçoive plus de 4 euros). Calculer p1 et p2.

2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le « gain » du joueur (positif s’il gagne, négatif s’il perd).

a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?

b. Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.

c. Calculer son espérance mathématique E(X).

3. Un jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0. On décide de changer le nombre inscrit sur une seule boule portant le nombre 1. Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable ?

1. 37. Urnes+Binom, Antilles 09/2008

4 points

On dispose de deux urnes U1 et U2.

L’urne U1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

L’urne U2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne U1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U1 puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urne U2.

À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.

On note

V1 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dans U1 »

V2 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dans U2 ».

Les évènements V1 et V2 sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10–4 près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

1

2

3

1

2

3

On note pn la probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn >0,99.

1. 38. VA + Binom, N. Calédonie 11/2008

4 points

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.

On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passée par un noeud.

Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est- à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance de X.

c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes.

On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.

a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

1. 39. Loterie+VA, France et La Réunion 2008

4 points

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.

Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.

La règle du jeu est la suivante :

• Le joueur mise 1 euro et lance la roue A.

• S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.

• S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Soient E et F les événements :

E : « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ;

F : « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17.

3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 euros ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 euros ; sinon il ne reçoit rien.

A

B (0 pt) C (10 pts)

D (0 pt) E (10 pts) F (0 pt) G (10 pts)

8

9

8

9 8

9

1

9

1

9

1

9

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel : le joueur mise 1 euro).

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

a. Démontrer que la probabilité pn qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que :  1 0,9 n

np   .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

1. 40. Arbre+VA+Binom, Antilles juin 2008

5 points

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boule blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.

U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dans U1 et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivement N1) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U1 ».

On note B2 (respectivement N2) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-contre.

b. Montrer que la probabilité de l’événement B2 est égale à 3 6

4 12

k

k

 .

Dans la suite on considère que k = 12.

Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.

Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8.

b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X.

c. Calculer l’espérance mathématique de X.

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l’urne U1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urne U2 contient 2 boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

1. 41. Tirages+VA, Polynésie, sept 2008

4 points

On rappelle que la probabilité d’un événement A sachant que l'événement B est réalisé se note  Bp A .

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne :

- si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires ;

- si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.

B1

N1

B2

N2

B2

N2

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :

* B1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » ;

* B2 l'événement : « on obtient une boule blanche au second tirage » ;

* A l'événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.

a. Calculer la probabilité  1 2p B B et montrer que  2 3

4 p B  .

b. Calculer  12Bp B .

c. Montrer que   3

10 p A  .

2. On prend toujours n = 10.

Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'événement A.

a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près).

b. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

3. n est un entier supérieur ou égal à 1. Existe-t-il une valeur de n pour laquelle   1

4 p A  ?

1. 42. Boules+VA+répétition, Polynésie 2006

4 points

Une urne contient 4 houles blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Calculer P(X = 0).

c. On se propose de déterminer maintenant P(X = 1).

– Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à 8

45 .

– En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P(X = 1).

2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.

On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne.

Soit k un entier compris entre 1 et n.

Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».

Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ».

Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (n − k) derniers tirages ».

Calculer P(A), PA(B) et P(N).

1. 43. Boules+VA, C Antilles 1994

Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On arrête le tirage après l’obtention d’une boule blanche.

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