Sciences statistiques - Exercice 5 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 5 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 5 - 2° partie - Probabilités. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la limite de E, Partie de dés, Boules+suite, Boules et urnes,.
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1. On limite le nombre de tirages à 4. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaire à l’obtention de la première boule blanche. Si on n’a pas tiré de boule blanche après le 4ème tirage on prend X = 0.

a. Calculer la probabilité p(X = 0).

b. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique E(X) et sa variance V(X).

2. On procède maintenant à n tirages au maximum, n > 1. X est la v.a. définie comme précédemment, si on n’a pas tiré de boule blanche après les n tirages on prend X = 0.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

Montrez que 3 2

E(X) 5 5

f  

    

f est la fonction définie par : 2 3 1( ) 1 2 3 4 ... nf x x x x nx       .

b. On considère la fonction g définie par 2( ) 1 ... ng x x x x     . Montrez par récurrence que 11

( ) 1

nx g x

x

  

. Calculez g’(x) en utilisant les deux formes, déduisez-en une autre expression de f(x).

Calculez alors E(X).

c. Déterminez la limite de E(X) quand n tend vers  . Interprétez.

1. 44. STL, France, sept 2004

4 points

Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscernables au toucher.

On tire successivement deux boules dans l’urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième.

On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage. Par exemple, le couple (J ; V) est un résultat différent du couple (V ; J).

1. Déterminer l’ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s’aider d’un tableau ou d’un arbre).

2. On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent :

* pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3 euros ;

* pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1 euro ;

* pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne k euros (où k est un nombre positif).

On désigne par X la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gain (positif ou négatif ) du joueur. Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de −2 euros.

a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Donner la loi de probabilité de X.

c. Calculer l’espérance E(X) de la variable X en fonction de k.

d. Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable ?

1. 45. Partie de dés, STL, France, juin 2004,

5 points

Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes : on mise 2 euros puis on lance un dé parfaitement équilibré ;

pour la sortie du 6 on reçoit 6 euros ;

pour la sortie du 5 on reçoit 2 euros ;

pour la sortie du 4 on reçoit 1 euros ;

et dans les autres cas on ne reçoit rien.

On appelle gain d’une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

1. On note X la variable aléatoire qui à l’issue d’une partie associe le gain.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Établir la loi de probabilité de X.

c. Déterminer l’espérance mathématique E(X).

2. Un joueur se présente ; il a en poche 2,50 euros.

a. Quelles sont les différentes sommes possibles qu’il peut avoir en poche à l’issue d’une partie ?

b. Déterminer la probabilité qu’il puisse jouer deux parties.

c. On suppose qu’il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu’il peut avoir en poche à l’issue des deux parties ?

1. 46. Boules+suite, Polynésie 1999

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les événements suivants :

A : « On obtient des boules des deux couleurs » ;

B : « On obtient au plus une boule blanche ».

1. a. Calculer la probabilité de l’événement : « Toutes les boules tirées sont de même couleur ».

b. Calculer la probabilité de l’événement : « On obtient exactement une boule blanche ».

c. En déduire que ( ) 2n n

p A B  , 1

1 ( ) 1

2n p A

   ,

1 ( )

2n n

p B

 .

2. Montrer que ( ) ( ) ( )p A B p A p B   si et seulement si 12 1n n   .

3. Soit ( nu ) la suite définie par 12 ( 1)nnu n    , n > 1. Calculer 2u , 3u , 4u .

Montrer que nu est strictement croissante. En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et

B soient indépendants.

1. 47. Boules et urnes, Am. Sud 2002

Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On dispose d’un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. On le lance une fois ; si on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l’urne A, sinon on tire au hasard une boule de l’urne B.

a. Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire.

b. Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?

c. Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l’urne B sachant qu’elle est rouge ?

2. On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l’on pose chaque fois devant l’urne.

a. Montrer que la probabilité de l’évènement « la 3ème boule tirée est noire » vaut 1

4 .

b. Certains pensent que l’évènement « la première boule tirée est noire » a une probabilité supérieure à l’évènement « la troisième boule tirée est noire ». Est-ce vrai ? Justifier.

1. 48. Boules sans ou avec remise

Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher.

1. On tire simultanément 4 boules de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir une seule boule blanche.

2. On effectue 4 tirages successifs d'une boule, sans remise.

a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche.

b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.

3. On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise.

a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche.

b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.

c. Calculer la probabilité de n'obtenir aucune boule blanche au cours des quatre tirages.

d. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours de ces quatre tirages.

4. On effectue n tirages successifs, avec remise. On appelle Pn la probabilité d'obtenir, au cours de ces n tirages, une boule blanche uniquement au dernier tirage.

a. Calculer P1, P2, P3.

b. Conjecturer Pn.

1. 49. Urnes, boules, tirages, Pondicherry 1998

4 points

1. On dispose d’une urne U1 contenant trois boules rouges et sept boules noires. On extrait simultanément deux boules de cette urne, on admet que tous les tirages sont équiprobables.

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de la même couleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxième urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires. On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2, on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les événements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges. »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : « La boule tirée de l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’événement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B), probabilité de l’événement B sachant que l’événement D est réalisé.

On donnera tous les résultats sous forme de fraction irréductible.

1. 50. Urnes, boules, VA, N. Calédonie 2002

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 € et si une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.

Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2. Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur, c’est-à-dire l’espérance mathématique est-elle strictement supérieure à 10 ?

3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

− soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,

− soit diminuer chaque gain de 1 €, c’est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 € ou 3 €.

Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?

1. 51. Loterie, VA, Asie 2005

5 points

Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée.

Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.

Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.

Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.

Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :

sur 1

8 de la roue le gain est de 100 €,

sur 1

4 de la roue le gain est de 20 €,

sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.

On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».

On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».

On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».

1. Quelques calculs.

a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J.

b. On note PV(R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules

vertes. Déterminer PV(R) puis (R V)P  .

c. Calculer P(R).

d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €, puis la probabilité de gagner les 20 € de la roue.

On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que P(X =−m) est 0,6.

c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est 140 51

( ) 80

m E X

  .

d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut- il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?

3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise.

4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose 1n  .

Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.

1. 52. Morpion, Polynésie 2002

On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M1 place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine M2 place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M3 place un jeton dans une case libre.

A B C

1

2

3 On note les évènements suivants :

H : « Les trois jetons sont alignés horizontalement » ;

V : « Les trois jetons sont alignés verticalement » ;

D : « Les trois jetons sont alignés en diagonale » ;

N : « Les trois jetons ne sont pas alignés ».

Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.

1. Calculer les probabilités des évènements H, V et D. En déduire que la probabilité de N est égale à 19

21 .

2. On considère la variable aléatoire X définie par :

X = 20, lorsque H ou V est réalisé ;

X =  , lorsque D est réalisé ;

X =−2, lorsque N est réalisé.

Déterminer  pour que l’espérance de X soit nulle.

3. Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M1 est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l’un des coins de la grille.

On note  l’évènement : « la machine M1 est déréglée ».

a. Calculer la probabilité d’avoir un alignement horizontal c’est-àdire  Hp , puis de même, d’avoir un

alignement vertical  Vp , d’avoir un alignement en diagonale  Dp .

b. En déduire que la probabilité d’avoir un alignement horizontal ou vertical ou diagonal, est égale à 3

28 .

4. A désigne l’évènement « les trois jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en

diagonale ». On admet que   1

5 p   .

Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes :

1. 53. Cartes+VA+Barycentre

On dispose d'un jeu de 32 cartes (16 noires, 16 rouges). L'expérience consiste à extraire une carte, noter sa couleur et la remettre dans le jeu, puis à extraire une nouvelle carte dont on note aussi la couleur.

Deux cartes noires font gagner deux francs.

Deux cartes rouges font perdre deux francs.

Deux cartes de couleurs différentes procurent un gain nul.

1. a. Quelle est la probabilité de gagner deux francs, de perdre deux francs, de réaliser un gain nul ?

b. On répète cinq fois l'expérience. Déterminer la probabilité de gagner dix francs.

2. Dans un plan muni du repère (O ; , )i j , on considère les points A (0 ; 1) ; B(–2 ; –1) ; C(2 ; –1).

L'origine O est le barycentre du système de points pondérés : {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}, où a, b, c, sont des réels de somme non nulle.

X est la variable aléatoire qui ne prend que les valeurs –2, 0, 2 avec les probabilités :

p(X = −2) = a ; p(X = 0) = b ; p(X = 2) = c.

a. A l'aide des coordonnées des points A, B, C, O, écrire deux équations vérifiées par les réels a, b, c.

b. Quelle est la valeur de a + b + c ?

c. Résoudre le système de trois équations ainsi obtenu, d'inconnues a, b, c.

d. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

1. 54. Boules+fonction+VA, Pondichéry 2002

Partie A

Une urne contient n boules blanches ( n et n 2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?

2. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

a. Montrer que     

2 26

8 7

n n p n

n n

  

  .

b. Calculer  lim n

p n 

. Interpréter ce résultat.

Partie B

Pour les questions suivantes n = 4.

1

5 A

A

A

A

1. Calculer p(4).

2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois.

Il mise au départ la somme de 30 euros.

Pour chaque tirage :

- si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,

- si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.

On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Déterminer la loi de probabilité de X.

c. Calculer l’espérance de X.

1. 55. Grippe+binomiale

Le directeur du personnel d’une entreprise constate que, chaque hiver, un nombre important d’employés s’absentent, malades de la grippe. Le médecin de l’entreprise lui assure qu’une personne non vaccinée contre la grippe a 40 % de chances d’attraper la maladie alors qu’une personne vaccinée n’a que 5 % de chances de tomber malade.

Le directeur décide donc de proposer au personnel une vaccination gratuite.

1. On choisit un employé au hasard et on considère les événements suivants :

V : l’employé s’est fait vacciner.

G : l’employé contractera la grippe durant l’hiver.

On note PE(F) la probabilité d’un événement F sachant que E s’est réalisé.

a. Déterminer les probabilités suivantes : P ( )V G , P ( )V G , P ( )V G et P ( )V G .

b. Exprimer la probabilité P(G) en fonction de la probabilité P(V).

2. Déterminer le pourcentage minimum de personnes à vacciner pour que moins de 20% des employés aient la grippe cet hiver.

3. Finalement 80 % du personnel accepte de se faire vacciner.

a. Quelle est la probabilité p1 qu’un employé, pris au hasard, tombe malade cet hiver ?

b. Fred, employé au service informatique, tombe malade de la grippe. Quelle est la probabilité p2 qu’il soit vacciné ?

c. Calculer la probabilité p3 qu’un employé, pris au hasard, ne soit pas vacciné et attrape la grippe cet hiver.

4. L’entreprise comporte 500 personnes. On considère que le fait pour une personne de tomber malade est indépendant du fait que d’autres personnes le soient.

a. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes malades. Quelle est la loi de probabilité de X ?

b. Quel est le nombre moyen de personnes qui tomberont malades de la grippe cet hiver ? En moyenne dans quel intervalle ce nombre peut-il varier ?

c. Pour assurer le bon fonctionnement de l’entreprise le chef du personnel envisage l’embauche de 10 intérimaires. Que pensez vous de cette décision, sachant qu’avec plus de 50 personnes malades l’entreprise ne fonctionne plus.

1. 56. Sondage+binomiale

On considère un groupe de 16 personnes parmi lesquelles 4 ont une caractéristique C . Ces 4 personnes seront dites de type C . On prend simultanément et au hasard 5 personnes dans le groupe.

1.a. Calculer la probabilité pa de n’avoir aucune personne du type C

b. Calculer la probabilité pb d’avoir exactement une personne du type C

c. Calculer la probabilité pc d’avoir au moins deux personnes du type C.

d. On sait que deux des personnes choisies sont du type C. Déterminer alors la probabilité d’avoir quatre personnes de type C.

Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible puis sous forme décimale à 410 près

2. On constate après enquête que dans la population entière 25% des gens sont du type C. On estime que le nombre de personnes est suffisamment important pour pouvoir utiliser une loi binomiale.

On choisit au hasard n personnes (n > 2) et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes ayant le type C.

a. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer p(X=0) et p(X=1) en fonction de n et en déduire la probabilité pn d’avoir au moins deux personnes de type C.

b. Démontrer que 0,9np  si et seulement si 1

3 3 0,1

4 4

n n

    

       

.

c. On pose 1

3 3

4 4

n

n

n u

    

        

. Calculer 1n

n

u

u

 et démontrer que un est décroissante.

d. Par essais successifs trouver la plus petite valeur de n telle que 0,9np  .

1. 57. Questionnaire+VA

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma, musique. Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. Les trois catégories sont donc équiprobables.

Alain, fervent supporter de ce jeu, est conscient qu'il a :

– 5 chances sur 6 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en sport ;

– 2 chances sur 3 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en cinéma ;

– 1 chance sur 9 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en musique.

1. Alain participe à ce jeu et tire au hasard une question. Déterminer la probabilité que :

a. la question soit dans la catégorie sport et qu'il donne la bonne réponse ;

b. sa réponse soit bonne à la question posée.

2. Pour participer au jeu, Alain doit payer 10 € de droit d'inscription. Il recevra :

 10 € s'il est interrogé en sport et que sa réponse est bonne ;

 20 € s'il est interrogé en cinéma et que sa réponse est bonne ;

 50 € s'il est interrogé en musique et que sa réponse est bonne ;

 0 € si la réponse qu'il donne est fausse.

Soit X la variable aléatoire égale au gain d'Alain (on appelle gain la différence, en francs, entre ce qu'il reçoit et les 10 € de droit d'inscription).

a. Déterminer les valeurs prises par X.

b. Déterminer la loi de probabilité de X.

c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

Alain a-t-il intérêt à jouer ?

1. 58. Urnes+VA

On dispose de deux urnes :

- une urne U1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;

- une urne U2 dans laquelle il y a deux boules blanches et trois boules noires.

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobables.

1. Montrer que la probabilité de l'événement E : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est égale à 0,46.

2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Le joueur doit verser 2,50 € avant d'effectuer le tirage : il reçoit à l'issue du tirage 1 € par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable ?

3. Calculer la probabilité d'avoir tiré une et une seule boule blanche de l'urne U1 sachant qu'on a tiré deux boules blanches.

4. On ne considère que l'urne U1, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l'urne). Déterminer la probabilité d'avoir au moins un succès sur les dix tirages.

1. 59. Raquettes

Lorsque les éléphants sautent en parachute au-dessus de la savane, ils chaussent des raquettes pour ne pas s’enliser. Il y a deux types de raquettes pour pachydermes : des à petit tamis et des à grand tamis. Certains éléphants préfèrent mettre quatre raquettes à petit tamis (une à chaque patte) tandis que d’autres préfèrent porter deux raquettes à grand tamis (aux pattes postérieures). La probabilité qu’une raquette se détache avant l’arrivée au sol est la même pour les deux types et est notée p.

1. Un éléphant saute avec quatre raquettes : quelle est la probabilité P qu’il ait moins (strictement) de deux raquettes à l’atterrissage ?

2. Un éléphant saute avec deux raquettes : quelle est la probabilité Q qu’il n’ait aucune raquette à l’atterrissage ?

3. Sachant qu’un éléphant s’enlise s’il a perdu plus de la moitié de son équipement, comparer, en fonction de valeurs de p, les probabilités de s’enliser avec chaque type de chausse.

1. 60. Code d’entrée

Le code d’entrée d’un immeuble est composé de 5 symboles parmi les chiffres de 0 à 9 et les lettres A et B. Un même symbole peut être utilisé plusieurs fois.

1. Combien y a-t-il de codes possibles ?

2. Combien de codes ne comportent que des chiffres pairs ?

3. Combien de codes contiennent un et un seul 0 ?

4. Combien de codes contiennent au moins une lettre ?

5. Un nouveau syndic est nommé, qui décide que pour des raisons de sécurité, le code doit comporter au moins un chiffre et au moins une lettre. Combien y a-t-il dorénavant de codes possibles ?

6. Un SDF veut dormir dans le hall. Il sait par une indiscrétion que le code comporte les chiffres 1258 et la lettre B. Combien de codes devra-t-il essayer au maximum avant de passer la nuit au chaud ?

1. 61. Station-service, France 1998

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité pi = P(X = i) :

i 0 1 2

pi 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de x et son écart type.

2. Dans cette station service, la probabilité qu’un client achète de l’essence est de 0,7 ; celle qu’il achète du gazole est 0,3. Le choix de chaque client est indépendant de celui des clients précédents. On considère les événements :

C1 : En cinq minutes, un seul client se présente ;

C2 : En cinq minutes, deux clients se présentent ;

E : En cinq minutes, un seul client achète de l’essence.

a. Calculer P(C1E).

b. Montrer que C2P (E) 0, 42 et calculer P(C2 E).

c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achète de l’essence.

3. Y désigne la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance.

1. 62. Avec de la géométrie, Am. du Sud 2003

4 points

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement 1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher.

On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans le sac.

Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés.

À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k le

point M de coordonnées (x, y, z).

Sur le graphique joint en annexe, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions

possibles du point M. Les coordonnées du point A sont (1 ; 1 ; 1) dans le repère ( ; , , )O i j k .

On note C le cube ABCDEFGH.

1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à 1

64 .

2. On note E1 l’évènement : « M appartient à l’axe des abscisses ». Démontrer que la probabilité de E1 est

égale à 1

4 .

3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur n (1 ; 1 ; 1).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .

b. Tracer en couleur sur le graphique la section du plan P et du cube C. (On ne demande pas de justification).

c. On note E2 l’évènement : « M appartient à P ». Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?

4. On désigne par B la boule de centreO et de rayon 1,5 (c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que OM 1,5).

On note E3 l’évènement : « M appartient à la boule B ». Déterminer la probabilité de l’évènement E3.

1. 63. Géométrie+VA, Antilles remplt 2007

6 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur moire, blanche ou rouge. On sait de plus qu’il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne. On tire au hasard simultanément 2 boules dans l’urne et on note leur couleur.

Soit l’événement G : « obtenir deux boules de même couleur ».

Partie A

On suppose que l’urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches.

Calculer la probabilité de l’événement G.

Partie B

On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l’urne.

1. On note  , ,g n b r la probabilité en fonction de n, b et r de l’événement G.

Démontrer que         1

, , 1 1 1 210

g n b r n n b b r r        .

2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r de sorte que la probabilité  , ,g n b r soit minimale.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Soient les points N, B et R de coordonnées

respectives  15 ; 0 ; 0 ,  0 ;15 ; 0 et  0 ; 0 ;15 et soit M le point de coordonnées  ; ;n b r .

On pourra se reporter à la figure ci-dessous.

a. Justifier qu’une équation du plan  NBR est 15 0x y z    .

b. En déduire que le point M est un point du plan  NBR .

c. Démontrer que    21, , 15 210

g n b r OM  .

d. Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan  NBR . Déterminer les coordonnées du point H.

e. En déduire les valeurs de n, b et r afin que la probabilité  , ,g n b r soit minimale. Justifier que cette

probabilité minimale est égale à 2

7 .

Partie C

On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’organisateur d’un jeu, de

telle sorte que la probabilité de l’événement G soit égale à 2

7 .

Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l’urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S’il obtient deux boules de même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise, avec k nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. Calculer l’espérance  E X de la variable X en fonction de x et k.

2. Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable.

j

k

i

R

B

N

O

2. Loi binomiale

2. 64. ROC+Binomiale, Centres étrangers 2009

5 points

1. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : Deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si :

     p A B p A p B   .

Soient A et B deux événements associés à une expérience aléatoire.

a. Démontrer que      p B p B A p B A    . b. Démontrer que, si les événements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les

événements A et B le sont également.

2. Application

Chaque matin de classe Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :

R : « II n'entend pas son réveil sonner » ;

S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.

a. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.

b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.

c. Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.

Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

2. 65. Contrôle de fabrication, Polynésie 2009

4 points

Une entreprise fabrique des lecteurs MP3 dont 6 % sont défectueux.

Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.

Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.

On note :

D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;

R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».

1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.

b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux.

Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.

3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.

4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est :

• commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles successifs,

• détruit s’il est rejeté au moins deux fois,

• commercialisé sans le logo sinon.

Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 euros. Son prix de vente est de 120 euros pour un lecteur avec logo et 60 euros pour un lecteur sans logo.

On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.

b. Calculer à 10–2 près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.

2. 66. Contrôle+binomiale, La Réunion 2009

5 points

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.

On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée.

On note A l’ évènement « le sac présente le défaut a » et B l’évènement « le sac présente le défaut b ». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement p(A) = 0,02 et p(B) = 0,01 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.

a. Calculer la probabilité de l’évènement C : « le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b ».

b. Calculer la probabilité de l’évènement D : « le sac est défectueux ».

c. Calculer la probabilité de l’évènement E : « le sac ne présente aucun défaut ».

d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défaut b ?

2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’un sac soit défectueux est égale à 0,03.

On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité de l’évènement « au moins un sac est défectueux » ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.

c. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.

2. 67. Fabrication+binomiale, Asie 2009

5 points

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs F1, F2, F3.

Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F2 et le reste par le fournisseur F3.

Une étude statistique a montré que

• 5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ;

• 1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F2 ont un défaut ;

• sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.

1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les évènements F1, F2, F3 et D suivants :

• F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F1 » ;

• F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F2 » ;

• F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3 » ;

• D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».

a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.

Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.

b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur F1 et présente un défaut.

c. Calculer la probabilité de l’évènement 2F D .

d. En déduire la probabilité de l’évènement 3F D .

e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ?

2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.

a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.

b. Montrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

2. 68. VA+binomiale,Pondicherry 2009

4 points

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors

d’un lancer est égale à 1

3 .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

b. Quelle est son espérance ?

c. Calculer p(X = 2).

2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. On lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

A : « obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des évènements suivants :

• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;

• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

b. En déduire que   7

48 p A  .

c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note Bn l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».

a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement Bn.

b. Calculer la limite de la suite (pn). Commenter ce résultat.

2. 69. VA+binomiale, Asie 2007

4 points

Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation.

Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.

Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :

* 92 % des jouets sont sans défaut de finition;

* parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 %réussissent le test de solidité ;

* 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.

On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

* F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;

* S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».

1. Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation.

a. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.

b. Démontrer que  F 1

S 4

p  .

c. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.

2. Calcul de probabilités.

a. Démontrer que p(S) = 0,934.

b. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième.)

3. Étude d’une variable aléatoire B.

Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 euros, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 euros.

On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B.

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B.

4. Étude d’une nouvelle variable aléatoire.

On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise.

Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité.

2. 70. Binomiale, France & La Réunion sept 2006

5 points

La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest.

A. Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8.

Pour i = 1 ou i = 2, on note Ei l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i-ème jour » et Oi l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Ouest le i-ème jour ».

1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.

2. Déterminer les probabilités suivantes :  1Ep ;  E 21 Op ;  1 2E Ep  .

3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs.

B. On suppose maintenant que n touristes (n  3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépendamment des autres l’une des deux directions.

On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’Est.

1. Déterminer la probabilité que k touristes (0  kn) partent en direction de l’Est.

2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage.

a. Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

b. Montrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes vaut :

12n n

p

 .

c. Application numérique : lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10.

2. 71. Aire et tir, La Réunion 2006

6 points

Première partie : Calculer l’intégrale 1

0

xxe dx .

Deuxième partie

La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal

 ; ,O OI OJ , la ligne courbe Creliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur par   xf x xe .

Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous.

Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C.

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l’extérieur

de la cible avec une probabilité de 1

2 et que les probabilités

d’atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives.

1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est égale à

1

2e . Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ?

2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.

a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.

b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E.

c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte).

Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?

3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.

a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A.

b. Déterminer le plus petit naturel n tel que 0,99np  .

2. 72. Dé, binom. et suites, C. étrangers 2006

5 points

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée.

Pour k {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenr le nombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3.

2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a. Pour à 1 10i  , exprimer en fonction de i la probabilité de l’événement (X = i ).

b. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer la probabilité de l’évènement (X  1). On donnera une valeur arrondie au millième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au nième lancer.

a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b. Calculer

1

n

n i

i

S U

 puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

2. 73. Paquets de gaufrettes

Un supermarché commercialise des gaufrettes vendues en paquets pour lesquels :

Dans 5% des cas l’emballage n’est pas intact.

Dans 70% des emballages non intacts il y au moins une gaufrette cassée.

90% des emballages intacts ne contiennent pas de gaufrette cassée.

1. Un client achète au hasard un paquet de gaufrettes. On note I l’événement « l’emballage est intact » et C l’événement « au moins une gaufrette est cassée ».

a. Calculer la probabilité de I.

b. On considère les événements suivants : E « l’emballage n’est pas intact et aucune gaufrette n’est cassée » et F « l’emballage est intact et aucune gaufrette n’est cassée ».

Exprimer E et F en fonction de I, I , et C . Calculer les probabilités de E et de F. En déduire la

probabilité de C , puis celle de C.

c. Le paquet ne contient pas de gaufrette cassée. Calculer la probabilité que l’emballage ait été intact.

2. Lors d’une vente promotionnelle, les paquets sont vendus par lots de 5. Un client achète au hasard un tel lot. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune gaufrette cassée ? Que le lot contienne au moins un emballage détérioré ?

2. 74. Calcul de l’esp. et de la var. de la loi binomiale

On considére une v.a. X suivant une une loi binomiale B(n, p) où ( ) (1 )k n kk n

p P X k p p k

       

. On

pose ( ) ( 1 )nf x px p   .

a. Calculer '( )f x et "( )f x puis '(1)f et "(1)f .

b. Vérifier que

0

( )

n

k k

k

f x p x

 . Calculer de nouveau '( )f x et "( )f x puis '(1)f et "(1)f .

c. Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X).

2. 75. Autour du binome

Les trois questions sont indépendantes.

1. Les adhérents du foyer rural de Vaudouhé l’Etang peuvent pratiquer une ou plusieurs des activités suivantes : photographie, mycologie ou pêche. 130 pêchent, et parmi eux 55 font de la mycologie, et 46 de la photo. 155 font de la photo, et parmi eux 60 sont aussi mycologues. Il y a en tout 130 amateurs de champignons, et 24 pratiquent les 3 activités. Combien le foyer rural comporte-t-il d’adhérents ?

2. Résoudre l’équation 3 ( 1) 2 3

n n n n

         

    dans l’ensemble des entiers supérieurs à 3.

3. On pose ( ) ( 1)nf x x  .

a. Calculer f ’(x).

b. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer f(x).

c. Déduire du b. une autre expression de f ’(x).

d. En déduire que 1

0

2

n

n

k

n k n

k

   

   .

2. 76. Examens sanguins

Lors des recrutements massifs de 1940 l’armée américaine mit sur pied une méthode de détection de certaines maladies évitant de procéder par unité (on ne testait pas chaque individu).

Mettons que dans une population N il y ait une proportion p de personnes atteintes d’une maladie donnée, détectable par analyse sanguine. On choisit un échantillon de taille n (certaines recrues de 1940) dont on mélange les prélèvements sanguins.

Si le résultat est négatif aucune de ces n personnes n’est malade, sinon on analyse individuellement chacun des prélèvements. Le problème est évidemment d’optimiser le coût des analyses et donc la taille de l’échantillon n.

1. Soit Xn la v.a. égale au « nombre d’analyses nécessaires pour un groupe de n personnes ».

a. Montrer que ( 1) (1 )nnP X p   . En déduire ( 1)nP X n  .

b. Montrer que le nombre moyen d’analyses par personne est 1 1

( ) 1 (1 )nnE X p n n

    .

2. Si on procède par échantillons de 1, on teste tout le monde ; il faut donc minimiser 1

( )nE X n

et pour

cela déterminer quand 1

(1 )nnu p n    est négatif.

a. On pose (1 )nnv n p  ; montrer qu’il existe une valeur 0n de n (qui dépend de p) telle que lorsque

0n n , nv est croissante et lorsque 0n n , nv est décroissante.

b. En déduire qu’il existe une valeur 1n de n pour laquelle 1nv  lorsque 1n n et 1nv  lorsque 1n n .

c. On pose n x et ( ) 1 (1 )xf x x p   . Retrouver les résultats précédents en étudiant les variations de f.

d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 0nu  .

3. On se demande quelle est la valeur de n pour laquelle l’économie moyenne est la plus forte. Quelle méthode proposeriez-vous pour répondre à cette question ?

2. 77. Evolution d’une population de bactéries

Dans une population de bactéries, à un instant donné, chaque bactérie meurt avec une probabilité p, se divise en deux avec une probabilité q et meurt avec une probabilité r = 1 − pq.

Toutes les bactéries se comportent de la même façon et de manière indépendante. On s’intéresse à la

probabilité de disparition des bactéries au cours du temps. On note np la probabilité que la génération n

ne comporte aucun individu ; dans tous les cas on part d’une seule bactérie initiale.

1. Montrer que 1p p et que 2

2 2 (1 )p p pq p q    .

2. D’une manière générale, montrer que 21n n np p rp qp    .

3. Montrer que la suite np est croissante et majorée par 1. Montrer que np converge et déterminer les

valeurs possibles de sa limite.

4. Etudier les cas 1 1 1

, , 2 4 4

p q r   puis 1 1 1

, , 4 4 2

p q r   et enfin 1 1 1

, , 4 2 4

p q r   .

2. 78. Tirages successifs, Liban 2003

4 points

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note pn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n − 1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4.

2. On considère les évènements suivants :

Bn : «On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,

Un : «On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers tirages ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement Bn.

b. Exprimer la probabilité de l’évènement Un en fonction de n.

c. En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : 1 2

4 3

n

n

n p

     

  .

3. On pose : Sn = p2 + p3 +···+ pn.

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

2 1 1

2 3

n

n

n S

              

.

b. Déterminer la limite de la suite (Sn).

2. 79. Barycentre+urnes+binom., Polynésie 2004

6 points

On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.

Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3. Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre −1.

On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V.

1. Jusitifier que les points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; 4) admettent un barycentre. On note G ce barycentre.

2. a. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

E1 : « G appartient à la droite (BC) » ;

E2 : « G appartient au segment [BC] ».

b. Montrer que la probabilité de l’événement E3 : « G est situé à l’intérieur du triangle ABC et

n’appartient à aucun des côtés » est égale à 2

5 (on pourra faire appel à des considérations de signe).

3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre de la question 1. On désigne par X la varaiable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’événement E3.

a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.

b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0,999.

2. 80. Enquête téléphonique, C. étrangers 2005

3 points

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.

On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3.

On pourra construire un arbre pondéré.

1. On note :

D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel » ;

R1 l’évènement « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».

Calculer la probabilité de l’évènement R1.

2. Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

D2 l’évènement : « la personne décroche au second appel ».

R2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel ».

R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ».

Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.

3. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel (on donnera la réponse arrondie au millième).

4. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20 % des personnes répondent au questionnaire (on donnera la réponse arrondie au millième) ?

2. 81. Enquête téléphonique, France 2000

Les résultats seront donnés à 10−3 près.

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.

Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu’il accepte de répondre au questionnaire est 0,2.

1. On note :

A1 l’évènement « la personne est absente lors du premier appel » ;

R1 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel ».

Quelle est la probabilité de R1 ?

2. Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente. La probabilité pour qu’elle soit alors absente est 0,3. Lorsqu’elle est présente au second appel, la probabilité qu’elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2.

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

A2 l’évènement « la personne est absente lors du second appel » ;

R2 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel » ;

R l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire ».

Montrer que la probabilité de R est 0,176. (On pourra utiliser un arbre).

3. Sachant qu’une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ?

4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ?

2. 82. Dé pipé, Polynésie 2000

On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par pk la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 1 6k  ).

Ce dé a été pipé de telle sorte que :

les six faces ne sont pas équiprobables,

les nombres p1, p2, p3, p4, p5, p6, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r,

− les nombres p1, p2, p4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

1. Démontrer que : 21

k

k p  pour tout entier k tel que 1 6k  .

2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :

A : « le nombre obtenu est pair »

B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3»

C : « le nombre obtenu est 3 ou 4».

a. Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.

b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est pair.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ?

3. On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :

− d’une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,

− d’une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.

Le joueur lance le dé :

s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1,

s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne U2.

On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré gagnant lorsqu’il tire une boule blanche, on note G cet évènement.

a. Déterminer la probabilité de l’évènement G A , puis la probabilité de l’évènement G.

b. Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu’il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.

2. 83. Pièces truquées, La Réunion 2002

Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.

La probabilité d’apparition de « PILE » lors d’un jet d’une pièce truquée est 3

4 .

La probabilité d’apparition de « PILE » lors d’un jet d’une pièce équilibrée est 1

2 .

On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indépendants les uns des autres.

La probabilité d’un évènement A est notée p(A). On désigne par A l’événement contraire de A.

La probabilité conditionnelle de A sachant que l’évènement B est réalisé est notée pB(A).

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On prend une pièce au hasard et on la lance :

soit T l’évènement : « la pièce est truquée »,

soit P l’évènement : « on obtient PILE » .

a. Calculer la probabilité d’obtenir « Pile » (on pourra s’aider d’un arbre).

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenu « PILE » ?

2. On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.

Si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois « Pile », on décide d’éliminer la pièce, dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.

On note E l’évènement « la pièce est éliminée ».

a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée ?

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est truquée ?

c. Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir éliminée ou d’avoir pris une pièce truquée et de l’avoir conservée ?

2. 84. Clefs et portes, Pondicherry 2000

4 points

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n’ouvrent pas la porte parce qu’elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une.

Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise.

On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième essai.

1. On appelle D1 l’évènement : « La clef numéro 1 n’ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.

2. On appelle D2 l’évènement : « La clef numéro 2 n’ouvre pas la porte ». Calculer la probabilité que l’évènement D2 se réalise, sachant que l’évènement D1 est réalisé.

En déduire la probabilité de l’évènement 1 2D D . On pourra, pour la suite de l’exercice, s’aider d’un

arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité de l’événement : « Les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l’ouvre pas » ?

4. Pour 1 5i j   , on note (i ; j) l’événement : « Les clefs qui n’ouvrent pas la porte sont les clefs

numéros i et j », et P(i ; j) la probabilité de cet évènement.

a. Calculer P(2 ; 4).

b. Calculer P(4 ; 5).

2. 85. Hôpital, Liban 2004

4 points

Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).

12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants.

67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.

On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 104 près.

1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.

a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?

b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?

c. On sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme AT.

En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.

2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].

On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?

3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise).

Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?

2. 86. Fléchettes, France 2002

4 points

Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :

- un disque D de rayon1 cm,

- 8 secteurs S1, S2, . . . , S8 de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D’de même centre et de rayon 9 cm,

- une zone R entre le disque D’et le bord du carré.

On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l’aire de cette zone.

1. a. Déterminer la probabilité p(D) pour que le point soit placé dans le disque D.

b. Déterminer la probabilité p(S1) pour que le point soit placé dans le secteur S1.

2. Pour cette question, on utilisera les valeurs approchées suivantes : p(D) = 0,008 et pour tout k appartenant à {1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}, p(Sk) = 0,0785.

À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :

- un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;

- un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} ;

- un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros.

On note X la variable alatoire égale au gain algébrique obtenu.

a. Calculer la probabilité p(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l’espérance de X.

b. On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d’obtenir un gain total positif ou nul.

1S

2S 3S

4S

8S

7S6S

5S

R

c. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue n fois de suite. On a donc placé n points de manière indépendante dans le carré.

Calculer la probabilité pn d’obtenir aumoins un point placé dans le disque D. Déterminer la plus petite valeur de n tel que pn 0,9.

2. 87. Fléchettes, Amérique du Nord 2004

4 points

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R

R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule.

Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes.

Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.

Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.

Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a désigne un nombre réel positif.

1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).

a. Donner la loi de probabilité de X.

b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance E(X) soit nulle.

2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.

a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?

b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?

c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?

2. 88. Lancer de tétraèdres, Polynésie 2003

Partie A

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k , on

considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives :

A(0 ; 0 ; 3), B( 2 2 ; 0 ; 1), C( 2 ; 6 ; 1), D( 2 ; 6 ;1).

1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.

2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.

3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

D C

B

A

Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.

On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.

2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.

3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».

4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilité pn pour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois.

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