Sciences statistiques - Exercice 7 - 1° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 7 - 1° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 7 - 1° partie - Suites. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les suites, l'entier naturel, Raisonnement par récurrence.
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Terminale S

Suites Exercices

1. 1. Questions de cours au sujet des suites 1 1. 2. QCM divers, La Réunion 2005 1 1. 3. QCM, Antilles remplt 2007 2 1. 4. ROC+VF justifié, France 2010, 5 pts 3 1. 5. VF justifié, Polynésie, nov 2010, 3 pts 3 1. 6. Raisonnement par récurrence 1 4 1. 7. Raisonnement par récurrence 2 4 1. 8. Raisonnement par récurrence 3 5 1. 9. Géométrique 1 5 1. 10. Géométrique 2 : des sous 6 1. 11. Nombres de Fermat 6 1. 12. Somme de termes 6 1. 13. Les lettres de Gaston 6 1. 14. De Mesmaeker 7 1. 15. Définition de la limite d’une suite 7 1. 16. STL France, Juin 2006 7 1. 17. Suite récurrente 1 7 1. 18. Suite récurrente 2 9 1. 19. Suite récurrente 3, Pondicherry 2003 10 1. 20. Suite récurrente 4 10 1. 21. Suite récurrente 5 10 1. 22. Suite récurrente 6 11 1. 23. Suite récurrente 7, Haddock 11 1. 24. Suite récurrente 8, Antilles 2003 11 1. 25. Suite récurrente 9, Syracuse 12 1. 26. Suite récurrente 10, EFREI 2001 12 1. 27. Suite récurrente 11, homographique 13 1. 28. Suite récurrente 12, La Réunion 2006 13 1. 29. Suite récurrente 13, La Réunion 2007 14 1. 30. Suites récurrentes 14, Polynésie 2008 14 1. 31. Suite récurrente 15, Antilles 09/2008 15 1. 32. Suite récurrente 16, France 2009 16 1. 33. Suite récurrente 17, France 2009 16 1. 34. Suite récurrente 18, Pondicherry 2010, (5 points) 17

1. 35. Suite homographique, France, sept. 2010, 5 pts17 1. 36. Suites récurrentes, Antilles-Guyane, sept 2010 18 1. 37. Suite homographique, Centres étrangers 2010 19 1. 38. Équation+suite, Asie 2009 20 1. 39. exp(1), Antilles 2009 21 1. 40. Récurrente+conjecture, La Réunion 2008 21 1. 41. Intégrale 1 21 1. 42. Intégrale 2 22 1. 43. Récurrence double 22 1. 44. Suites adjacentes 1 22 1. 45. Suites adjacentes 2 23 1. 46. Suites adjacentes 3 23 1. 47. Suites adjacentes 5 : Bac C, N. Calédonie 1986 23 1. 48. Suites adjacentes 6 : étude d’un nombre 23 1. 49. Suites adj. 7 : constante d’Euler, Antilles 2005 24 1. 50. Suite et ln, Antilles-Guyane 25 1. 51. Exp+sensibilité calcul, Liban 2005 25 1. 52. Suites adj.+barycentre, Antilles 2006 27 1. 53. Exp+sol équation, N. Calédonie 2002 27 1. 54. Encadrement d’intégrale, Polynésie 2004 28 1. 55. Puissances et factorielles, Liban 2004 29 1. 56. Sommes et fonction ln, C. étrangers 2005 29 1. 57. Indice de Gini, C. étrangers 2004 30 1. 58. Accroissements finis, Asie 2004 31 1. 59. Suite récurrente+intégrale, N. Caledonie 2005 31 1. 60. Suite+intégrale, Polynésie 2010, 7 pts 32 1. 61. Exp+intégrale+suite, Pondicherry 2009 33 1. 62. Intégrale+suite+calcul de exp(2), Asie 2005 34 1. 63. Intégrale et suite, Amérique du Nord 2004 34 1. 64. Intégrale et suite, N. Calédonie 2004 35 1. 65. Intégrale et suite, Am. du Sud 2003 36 1. 66. Intégrale et suite, ESME-SUDRIA 2001 37 1. 67. Intégrale et suite, EFREI 2001 37

1. 1. Questions de cours au sujet des suites

Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Si une suite u est croissante et majorée par 5 , alors elle converge vers 5.

2. Si une suite u est monotone et bornée , alors elle est convergente.

3. Si une suite u n’est pas convergente , alors elle n’est pas bornée.

4. Si deux suites ont la même limite, alors elles sont adjacentes.

5. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont bornées.

6. Une suite convergente est bornée.

7. Une suite bornée est convergente.

8. Une suite qui tend vers  ne peut pas être majorée.

9. Si n nu v tend vers 0 alors un et vn ont la même limite.

10. Si (un) et (vn) tendent vers  alors n nu v tend vers 0.

11. Si pour tout n  10, 2

1 3nu

n   alors (un) converge vers 3.

1. 2. QCM divers, La Réunion 2005

4 points

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.

Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune, ne rapporte aucun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

1. Les suites suivantes sont convergentes :

a. 2005

0

2n

n n

      

b. 2 ( 1)

1

n

n

n n

n

      

c. 0

1 sin

n

n n

     

d.

1 ln

n

n

n

     

2.On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

n n nu v w  , lim ( ) 1n n

u 

  et lim ( ) 1n n

w 

 .

Alors :

a. lim ( ) 0n n

v 

 .

b. La suite (un) est minorée.

c. Pour tout n de , on a : 1 1nv   .

d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Une suite (un) est définie sur par 0

1

1, 5

2 1n n

u

u u

 

  pour tout entier naturel n.

a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1.

b. La suite (vn), définie sur par vn = un −1, est géométrique.

c. La suite (vn) est majorée.

d. La suite (wn), définie sur par wn = ln (un −1), est arithmétique.

4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations :

1 1 1 ...

1 2 nx

n n n    

 et

1 1 1 ...

1 2 2 ny

n n n      

.

a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.

b. 3 19

20 x  et 3

37

60 y  .

c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.

d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.

1. 3. QCM, Antilles remplt 2007

4 points

Soit   0n n

v

une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par 

 1 vn

nu e .

Partie A

Pour chacune des questions quatre propositions sont faites dont une seule est exacte. Pour chaque question donner sans justification une réponse sur votre copie. Si la réponse est bonne elle rapporte 0,75 points, si elle est mauvaise elle coûte 0,25 points, si vous ne répondez pas vous gagnez 0 point… En cas de total négatif votre ardoise est effacée !

1. a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme néperien. Si 0 lnv a , alors :

a. 0 1

1u a   b. 0

1

1 u

a  

c. 0 1u a   d. 0 1 au e 

2. Si v est strictement croissante, alors :

a. u est strictement décroissante et majorée par 2 c. u est strictement croissante et majorée par 2

b. u est strictement croissante et minorée par 1 d. u est strictement décroissante et minorée par 1

3. Si v diverge vers  alors :

a. u converge vers 2 c. u converge vers 1

b. u diverge vers  d. u converge vers un réel L tel que 1L

4. Si v est majorée par 2, alors :

a. u est majorée par 21 e c. u est majorée par 21 e

b. u est minorée par 21 e d. u est minorée par 21 e

Partie B

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :  ln 0n nu v  .

1. 4. ROC+VF justifié, France 2010, 5 pts

1. Restitution organisée de connaissances

Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

Propriété 1 : si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alors pour tout entier naturel n, vn > un.

Propriété 2 : toute suite croissante etmajorée converge ; toute suite décroissante etminorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2. Dans les cas suivants, les suites (un) et (vn) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses.

a. 1 10 nnu   et 1 10 nnv

  ;

b.  ln 1nu n  et   1

ln 1nv n n

   ;

c. 1

1nu n

  et  1

1

n

nv n

   .

3. On considère un nombre réel a positif et les suites (un) et (vn) définies pour tout nombre entier

naturel n non nul par : 1

1nu n

  et 1

lnnv a n

      

. Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient

adjacentes ?

1. 5. VF justifié, Polynésie, nov 2010, 3 pts

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. On considère la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par : t0 = 0 et pour tout entier naturel n,

  1 1

1 2 n nt t

n n   

  .

Proposition 1 : Pour tout entier naturel n, 1

n

n t

n  

.

2. On considère trois suites (un), (vn) et (wn) définies sur  telles que : pour tout entier naturel n,

n n nu w v  .

Proposition 2 : Si les suites (un) et (vn) sont adjacentes alors la suite (wn) est convergente.

3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle [0 ; 1].

Proposition 3 : Si     1 1

0 0

f x dx g x dx  alors f = g sur l’intervalle [0 ; 1].

1. 6. Raisonnement par récurrence 1

1. On note 1 2 3 ....... !n n     (et on lit « factorielle » n).

Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel 1n  , on a : 1! 2nn  .

2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 23 2n n est un multiple de 7 ; n désigne un entier supérieur à 1.

3. Montrer par récurrence les propriétés suivantes :

a. Pour tout entier naturel n, 2n n .

b. Pour tout entier naturel n, 2 1 2 12 3n n  est un multiple de 5.

c. Pour tout entier n différent de 1, 1 1 1 1

... 1 1 2 2 3 ( 1) 1n n n     

    .

1. 7. Raisonnement par récurrence 2

1. Rappeler la valeur de 1 2 3 ...nS n     .

2. On appelle nS  la somme 1 2 2 3 3 4 ... ( 1)nS n n          .

a. Montrer par récurrence que pour tout n on a ( 1)( 2)

' 3

n

n n n S

   .

b. On cherche un polynôme P tel que      1 1P x P x x x    : montrez que P est de degré 3.

Trouvez P.

c. En sommant sur toutes les valeurs entières de x depuis 1 jusqu’à n, vérifiez que    ' 1 1nS P n P   . Retrouvez la formule du a.

d. Vérifiez que 2

1 1

n n

n

k k

S k k

 

    . Déduire des résultats précédents la valeur de 2 1

n

k

k

 en fonction de n.

3. Montrer par récurrence que

1

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)

4

n

k

n n n n k k k

     

4. On cherche à généraliser les résultats précédents : p désigne un entier supérieur à 1, et on définit la somme :

( , ) 1 2 ... 2 3 ... ( 1) 3 4 ...( 2) ... ( 1)....( 1)S n p p p p n n n p                  .

Montrer par récurrence sur n (p est supposé fixé) que ( 1)( 2)...( )

( , ) 1

n n n n p S n p

p

   

 .

Correction (partielle) :

1. b. Les termes de plus haut degré de  P x sont de la forme 1 ...m max bx   , dans

  1 11 ...m m mP x ax amx bx      ; quand on les soustrait ils disparaissent et le premier terme non nul

restant sera le terme 1mamx

Comme   21x x x x   est de degré 2 il faut que P soit de degré 3.

On a alors   3 2P x ax bx cx d    d’où

          3 2 3 21 1 1 1P x P x a x b x c x d ax bx cx d             , soit

       21 3 3 2P x P x ax a b x a b c        d’où par identification :

3 1 1 1

3 2 1 , 0, 3 3

0

a

a b a b c

a b c

        

   

d’où   3 1 1

3 3 P x x x d   . On peut prendre ce qu’on veut pour d, par

exemple 0…      3 1 11 1

3 3 3

x x x P x x x

     .

1. c.

     

     

   

        

1 1

1 21 1 1 1 1 ... 2 1

3...

2 1 2 1

P n P n n n

n n nP n P n n n P n P n n

P P

     

             

    

.

1. 8. Raisonnement par récurrence 3

« Le maître d’école s’appelait Büttner et il aimait rosser ses élèves. Il feignait d’être sévère et ascétique, et, en quelques rares occasions, l’expression de son visage révélait le plaisir qu’il prenait à les rouer de coups. […] Cela se passait dans le quartier le plus pauvre de Brunswick, aucun de ces enfants n’irait jamais à l’école secondaire, personne ici ne travaillerait autrement qu’avec ses mains. Gauss avait beau se taire et s’évertuer à répondre aussi lentement que les autres, il percevait la méfiance du maître. Il sentait que ce dernier n’attendait qu’une occasion de le frapper un peu plus fort que le reste du groupe. Et un beau jour, il lui fournit cette occasion.

Büttner leur avait demandé d’additionner tous les nombres de un à cent. Cela prendrait des heures et, même avec la meilleure bonne volonté du monde, ce n’était pas possible sans faire à un moment ou à un autre une erreur de calcul pour laquelle on pouvait alors être puni. […] Gauss ne réussit pas à se contrôler ce jour là et au bout de trois minutes il s’était retrouvé devant le pupitre du maître avec son ardoise.

Bon, dit Büttner, et il saisit le bâton. Qu’est-ce que c’est que ça ?

Cinq mille cinquante.

Quoi ?

Gauss se racla la gorge : c’était pourtant bien cela qu’il fallait faire, dit-il, additionner tous les nombres de un à cent. Cent plus un faisaient cent-un. Quatre-ving-dix-neuf plus deux faisaient cent-un. Quatre- ving-dix-huit plus trois faisaient cent-un. Toujours cent-un. On pouvait répéter l’opération cinquante fois. Donc : cinquante fois cent-un. »

Daniel Kehlmann, Les arpenteurs du monde, Actes Sud, 2006

1. La somme des n premiers entiers est 1 1 2 3 ... ???S n      . Démontrez-le par récurrence.

2. Calculez les sommes u1 = 13, u2 = 13+23, u3 = 13+23+33, …, u10 = 13+23+33+43+…+103.

3. Voyez-vous une formule apparaître ?

4. Essayez de démontrer la formule obtenue par récurrence.

1. 9. Géométrique 1

La population mondiale est de l'ordre de 5 milliards d'individus.

1. Si on admet un accroissement moyen de la population mondiale de 1,6 % par an, quelle sera la population mondiale dans vingt ans ?

2. Dans combien d'années la population mondiale aura-t-elle doublé (en prenant le même taux annuel d'accroissement) ?

3. P0 désigne la population d'un continent en 1939, Pn la population du même continent n années plus tard ; i désigne le taux d'accroissement annuel moyen de la population au cours de cette période. Montrer que Pn = P0 (1 + i)n.

Application numérique : en Europe la population était de 380 millions en 1939 et de 500 millions en 1989. Dans le même temps la population est passée en Amérique du Sud de 110 millions à 435 millions d'habitants. Calculer le taux d'accroissement annuel moyen sur cette période dans les deux cas.

1. 10. Géométrique 2 : des sous

1. On place un capital C à intérêts composés (les intérêst versés au bout d’un an sont intégrés au capital) pendant une durée de 2 ans. On souhaite récupérer son capital augmenté de 10 % au bout de ces deux ans. Quel doit être le taux d’intérêt annuel auquel est placé le capital ?

2. Même question mais la durée de placement est de 4 ans et on veut un capital augmenté de 20 %.

3. Proposez une formule générale de calcul.

1. 11. Nombres de Fermat

1. Pour tout entier naturel n, on note  2

2 1 n

nF   . Calculer F0, F1, F2, F3.

2. Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a 0 1 2 1... 2n nF F F F F      .

3. Montrer que la suite  nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

1. 12. Somme de termes

1. Montrer par récurrence que pour tout n  0, on a 23 ( 1)n n n  .

2. On définit, pour n  1, la suite ( )nu par 1 2 1 2

... 3 3 3

n n

n u     .

a. Quel est le sens de variation de ( )nu ?

b. Montrer par récurrence que pour tout entier k  1, 3

0 2

k

k       

. En déduire que, pour tout k  1,

1

3 2k k k  puis un majorant de nu . Que peut-on en conclure pour ( )nu ?

3. On définit pour n  1 la suite ( )nv par 1

n nv u n

  . En utilisant la question 1), montrer que ( )nv est

décroissante. Quelle est la limite de ( )n nv u ? Que peut-on en conclure pour ( )nv ?

1. 13. Les lettres de Gaston

On définit la suite ( )nu par 0 1 3

2000, 200 4

n nu u u   .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y x et 3

200 4

y x  ,

puis les premiers termes de la suite ( )nu .

2. On pose pour tout n 800n nv u  . Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression

de nu en fonction de n et la limite de ( )nu . Au bout de combien de temps a-t-on 810nu  ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?

4. La question a. est indépendante de ce qui précède

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par 0 1...

1

n n

x x x y

n

  

 . Montrer que ( )ny est croissante

et que pour tout n on a n ny x . Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas

ses affirmations).

b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n

premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer nM en fonction

de n. Quel est le sens de variation de  nM . La suite  nM est-elle convergente ?

Généralisation : On considère une suite v donnée et la suite u dont le terme général un est la moyenne

arithmétique :

1

1 n

n k

k

u v n

  .

A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer.

1. 14. De Mesmaeker

Monsieur De Mesmaeker, grand patron bruxellois, propose à ses nouveaux employés les deux contrats suivants : dans tous les cas un salaire initial de 1500 € pour le premier mois, augmenté de 5 € chaque mois (contrat 1), ou augmenté de 0,3% tous les mois (contrat 2).

1. Soient nu et nv les salaires respectifs pour chaque contrat le n ième mois.

Exprimer nu et nv en fonction de n.

2. Quel salaire gagnerait-on pour chaque contrat après un an passé dans l’entreprise ?

3. Comparer la totalité des sommes gagnée par quelqu’un qui resterait pendant 40 ans dans l’entreprise.

1. 15. Définition de la limite d’une suite

1. Soit une suite de terme général un. Que signifie : la suite (un) a pour limite  ?

2. Soit la suite (un) définie par 2 2

n

n u

n

  pour n  1.

a. Montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à

l’intervalle ]10 ;  [.

b. Soit A un réel aussi grand que l’on veut (on peut supposer 10A  ) ; montrez qu’à partir d’un certain

rang 0n , à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ;  [.

c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un).

d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition.

1. 16. STL France, Juin 2006

5 points

Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1 013 hectopascal.

Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25% à chaque élévation de 100 m.

Pour tout entier naturel n, on note Pn la pression, exprimée en hectopascal, à l’altitude 100n, exprimée en mètres. Soit (Pn) la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique. On a alors P0 = 1 013.

1. Calculer les pressions P1 et P2, arrondies à l’unité, aux altitudes 100 et 200.

2. a. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn.

b. En déduire la nature de la suite (Pn). Préciser sa raison et son premier terme.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, 1 013 0,9875nnP   .

3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l’unité, à l’altitude 3 200.

4. Calculer à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal.

1. 17. Suite récurrente 1

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité minute par minute.

1. Injection unique

On effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. On note un la quantité de médicament restant dans le sang à la minute n.

a. Quelle est la nature de la suite un ? Quel est son sens de variation ? Quelle est sa limite ?

b. Donnez l’expression de un en fonction de n. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1 % de la quantité initiale ? Cette durée dépend-elle de la quantité initiale ?

2. Injections répétées

Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. On note vn la quantité de médicament restant dans le sang à la minute n.

Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de la moitié de la dose initiale la machine réinjecte un peu de produit, soit k la quantité injectée exprimée en ml. Au bout de 30 minutes on arrête la machine.

a. Complétez la colonne k = 1 du tableau ci-dessous. Quelle est la quantité totale de produit injecté dans ce cas ?

b. Quelle constatation faites-vous sur la durée entre deux injections ? Justifiez.

c. On modélise la situation par la suite Vn définie par  1 0,8 p

n nV V k   avec 0 10V  et p entier.

Quelle valeur doit-on donner à p ? On note a le nombre 0,8p .

On prend toujours k = 1 ml.

d. On représente les termes de la suite sur la figure de la page 4 de la manière suivante : on part à

chaque fois de nV sur l’axe des abscisses et on représente son image Vn+1 sur l’axe vertical par

l’intermédiaire de la droite dk : y ax k  . On renvoie alors Vn+1 sur l’axe horizontal par l’intermédiaire

de la droite (y = x) et ainsi de suite.

Tracez les premiers termes de la suite Vn. Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le comportement de Vn (sens de variation, majorant, minorant, limite) ?

e. Prouvez que Vn est décroissante. Soit  l’abscisse du point d’intersection entre les deux droites. Montrez que Vn est minorée par  .

f. On note nW l’écart entre nV et  . Quelle est la nature de nW ?. Déduisez-en Wn en fonction de n et 

puis Vn en fonction de n et  . Quelle est la limite de nV ?

g. Que va-t-il se passer si on prend V0 = 1 par exemple ?

h. Reprendre les questions d. à g. avec k = 3 par exemple.

Voir le fichier http://laroche.lycee.free.fr/TS/u(n+1)=f(u(n)).xls

n = temps un vn, k = 4 ml vn, k = 3 ml vn, k = 2 ml vn, k = 1 ml

0 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

1 8,000 8,000 8,000 8,000 8,000

2 6,400 6,400 6,400 6,400 6,400

3 5,120 5,120 5,120 5,120 5,120

4 4,096 8,096 7,096 6,096 5,096

5 3,277 6,477

6 2,621 5,181

7 2,097 4,145

8 1,678 7,316

9 1,342 5,853

10 1,074 4,682

11 0,859 3,746

12 0,687 6,997

13 0,550 5,597

14 0,440 4,478

15 0,352 3,582

16 0,281 6,866

17 0,225 5,493

18 0,180 4,394

19 0,144 3,515

20 0,115 6,812

21 0,092 5,450

22 0,074 4,360

23 0,059 3,488

24 0,047 6,790

25 0,038 5,432

26 0,030 4,346

27 0,024 3,477

28 0,019 6,781

29 0,015 5,425

30 0,012 4,340

1. 18. Suite récurrente 2

On considère la suite *( ),nu n définie par 1

2 1

1

( ) 4n n

u

u u

 

 .

1. Calculer 2 3 4 5, , ,u u u u . Donner les résultats sous la forme 2  .

2. On considère la suite ( )nv définie par ln( ) ln 4n nv u  . Montrer que ( )nv est une suite géométrique

dont on donnera la raison et le premier terme.

3. Exprimer nv en fonction de n. En déduire nu et calculer lim n n

u 

.

4. Pour quelles valeurs de n a-t-on 3,96nu  ?

1. 19. Suite récurrente 3, Pondicherry 2003

On considère la suite nu définie par 0

1 (2 )n n n

u a

u u u

 

  où a est un réel donné avec 0 < a < 1.

1. On suppose que 1

8 a  ;

a. Calculer 1u et 2u .

b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f : ( ) (2 )f x x x  ainsi

que la droite d (y = x).

c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points 1 2 3, ,A A A d’abscisses respectives

1 2 3, ,u u u .

2. On suppose dans cette question que a est quelconque (0 < a < 1).

a. Montrer par récurrence que 0 1nu  .

b. Montrer que nu est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose de nouveau 1

8 a  et on considére la suite 1n nv u  .

a. Exprimer 1nv  en fonction de nv

b. En déduire l’expression de nv en fonction de n.

c. Déterminer la limite de nv puis celle de nu .

1. 20. Suite récurrente 4

On considère la suite  n nu  définie par 0u e et, pour tout entier naturel n, 1n nu u 

On pose, pour tout entier naturel n, lnn nv u .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1 1

2 n nv v  , en déduire que nv est le terme général d'une

suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b. Donner l'expression de nv en fonction de n. En déduire celle de nu en fonction de n.

2. Pour tout entier naturel n on pose 0 1 n nv v v  S et 0 1 n nu u u  P .

a. Montrer que Snn eP .

b. Exprimer nS en fonction de n.

c. En déduire l'expression de nP en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite  nS ; en déduire celle de la suite ( )nP .

1. 21. Suite récurrente 5

On considère la suite (un) définie par : 0 1 1

0 1 2

n nu et u u   pour tout n entier naturel.

1. Calculer u1, u2, u3, u4, u5 . Placer les points correspondants sur une droite graduée.

2. Démontrer que la suite (un) est bornée.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante.

4. Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite ?

1. 22. Suite récurrente 6

On considère la suite (un) définie par : 0 2u  et 1 2 3n nu u   pour tout n entier naturel.

1. Donner les valeurs approchées à 10−3 près de u1, u2, …, u10.

2. Démontrer que, pour tout n de , 0 3nu  .

3. Démontrer que la suite (un) est convergente.

4. Déterminer lim n n

u 

.

1. 23. Suite récurrente 7, Haddock

Le Capitaine Haddock a décidé de rationaliser sa consommation de Whisky. Il a un stock de 200 bouteilles, et chaque mois il consomme le quart de son stock, et rachète 10 bouteilles. On appelle un le nombre de bouteilles en stock au bout de n mois (ainsi u0 = 200).

1. Montrer que, pour tout n  0, 1 3

10 4

n nu u   . Calculer u1 et u2.

2. On pose pour tout entier n : 40n nv u  . Quelle est la nature de la suite (vn) ?

3. Quelle sera, à terme, la consommation mensuelle du Capitaine ? Au bout de combien de mois sera-t- elle inférieure à 12 bouteilles ?

1. 24. Suite récurrente 8, Antilles 2003

Partie A - Étude préliminaire d’une fonction f définie sur par    2 1xx x e    .

1. Déterminer les limites de la fonction  en  et  .

2. Montrer que la fonction  est continue et dérivable sur et étudier le signe de sa dérivée.

En déduire les variations de la fonction  et préciser les valeurs de ( 2)  , (0) , (1) et (2) .

3. Prouver que la fonction  s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera  et  . On

prendra  <  . Étudier alors le signe de la fonction  sur l’ensemble des réels et récapituler cette

étude dans un tableau.

4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 102 des valeurs  et  .

5. Montrer que 1

2 e

  

.

Partie B - Étude d’une fonction f définie par 1

( ) x

x

e f x

e x

  

et calcul intégral.

1. Montrer que xe xne s’annule pas sur . En déduire que f est définie sur .

2. Déterminer les limites de la fonction f en  et  .

3. Calculer la dérivée f ’ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A, construire le tableau des variations de f .

4. Montrer que 1

( ) 1

f    

, le nombre  étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la

fonction  de la partie A s’annule.

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur . Donner une valeur exacte puis une valeur décimale

approchée à 0,01 près de l’intégrale : 1

0

( )f x dx .

Partie C - Étude de deux suites

1. Préciser l’ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par 1

( ) ln 2

g x x

    

  où

ln désigne la fonction logarithme népérien. Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l’image par g de l’intervalle I = [2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

2

( )n n

u

u g u

  

 .

Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [2 ; 0]. Prouver par récurrence, à l’aide des variations de la fonction g, que la suite (un) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

0

( )n n

v

v g v

 

 .

Calculer le terme v1 et montrer que 1 1 02 0u v v     .

Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’intervalle [2 ; 0], que pour tout

entier naturel n strictement positif, on a : 12 0n n nu v v      .

Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3. a. Soit m la fonction définie sur [0 ;  [ par : m(x) = x −ln(1+x).

Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+x)  x.

b. Vérifier que, pour tout entier n, 1 1 ln 1 2

n n n n

n

v u v u

v  

     

  . En déduire que 1 1

2

n n n n

n

v u v u

v  

  

 .

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent à l’intervalle [2 ; 0], donner

un encadrement de 1

2 nv et établir que :  1 1

1

2 n n n nv u v u    .

Prouver alors que, pour tout entier naturel n,  1 1 0 0 1

2 n n n

v u v u    .

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn − un et pour les suites (un) et (vn) ?

4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 104 de u10 et v10.

1. 25. Suite récurrente 9, Syracuse

On considère la suite nu définie par la donnée de son premier terme 0u p et par la relation :

Si nu est pair, 1 1

2 n nu u  ; si nu est impair, 1 3 1n nu u   .

1. Que devient nu pour p = 1, 2, 3, 7, 8, 11, 27, 28. Constatation(s) ?

2. On appelle vol de p le nombre V(p) de termes de la suite un et hauteur de p le nombre H(p), plus grand terme de la suite un. Déterminer V(11) et H(11).

2. Calculer de même V et H pour 2kp  , k entier. Donnez un autre exemple où le calcul est simple.

3. On suppose que la conjecture est vérifiée pour tous les nombres jusqu’à p. Que dire si  1H p p  ?

4. Les nombres entiers peuvent être rangés dans quatre groupes : ceux de la forme 4k, de la forme 4k+1, de la forme 4k+2 ou de la forme 4k+3 avec k entier. Que pouvez-vous dire dans les trois premiers cas ?

Une page d’intro : http://membres.lycos.fr/ericmer/

1. 26. Suite récurrente 10, EFREI 2001

On se propose d'étudier une suite définie par une relation de récurrence. Les réels a, b et c étant donnés, la suite (un) est ici définie par :

0

3 1

1 ( ) pour tout ent ier

3 n n n

u a

u bu u n c

  

  

1. On choisit b = c = 1. Étudier les variations de la fonction f définie par 3 1

( ) 3

f t t t  sur [0 ; +[.

Représenter le graphe de cette fonction. En déduire ensuite le graphe de f lorsque la variable parcourt la totalité de .

2. On suppose b = c = 1. À l'aide de la première bissectrice des axes tracés dans un repère sur lequel on reproduira le graphique précédent, définir des tracés qui permettent la détermination des quatre premiers termes de la suite précédente lorsque le premier terme est défini par a = 1. Quelle conclusion

sur la suite vous suggèrent ces tracés ? À l'aide du même procédé, décrire ce qui se passe lorsque a > 1 (on ne demande pas une discussion complète).

3. On suppose encore : a = b = c = 1. Montrer que la suite (un) est décroissante et que tous ses termes sont positifs. En déduire que la suite admet une limite et montrer que cette limite est nulle.

4. On suppose à présent que a = 6, b = 2, c = 18. Déterminer le graphe de la fonction g définie par 3

( ) 2 54

t g t t  . Déterminer les solutions des équations g(t) = t et g(t) = 0. En choisissant les unités des

axes les plus grandes possibles, dessiner la partie du graphique correspondant au cas où la variable parcourt le segment [0 ; 11]. Dessiner également la première bissectrice des axes et définir des tracés qui permettent la détermination des quatre premiers termes de la suite. Calculer ces quatre premiers termes. Quelles sont vos remarques en ce qui concerne le comportement de cette suite ?

1. 27. Suite récurrente 11, homographique

Soit I l’intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I par 3 2

( ) 4

x f x

x

  

.

1. Etudier les variations de f et en déduire que, pour tout x élément de I,  f x appartient à I.

2. On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et 1 3 2

( ) 4

n n n

n

u u f u

u

  

 . Montrer que, pour tout n entier,

un appartient à I.

On se propose d’étudier la suite (un) par deux méthodes différentes.

Première méthode

3. a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.

b. En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2 et A3 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de (un) et sa convergence ?

c. Etablir la relation 1 (1 )( 2)

4

n n n n

n

u u u u

u

   

 et en déduire le sens de variation de la suite (un).

d. Démontrer que la suite (un) est convergente.

e. Prouver que la limite l de la suite (un) vérifie l = f(l) et calculer l.

Deuxième méthode : On considère la suite (vn) définie par 1

2

n n

n

u v

u

  

.

4. a. Prouver que (vn) est une suite géométrique de raison 2

5 .

b. Calculer v0 et exprimer vn en fonction de n.

c. Exprimer un en fonction de vn, puis en fonction de n.

d. En déduire la convergence de la suite (un) et sa limite l.

1. 28. Suite récurrente 12, La Réunion 2006

5 points

Partie A : Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ;  [ par   ln

x f x

x  .

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en  .

b. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.

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