Sciences statistiques - Exercice 7 - 2° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 7 - 2° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 7 - 2° partie - Suites. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Suite récurrente, Suites récurrentes, le repère orthonormal, Les droites de représentations paramétriques respecti...
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a. On a tracé la courbe représentative Cde la fonction f sur la figure ci-dessus.

Construire la droite d’équation y = x et les points M1 et M2 de la courbe Cd’abscisses respectives u1 et u2. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un).

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (un) converge vers un réel l de l’intervalle [e ;  [.

Partie B : On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ;  [.

1. En étudiant de deux manières la limite de la suite [f (un)], démontrer que  f l l .

2. En déduire la valeur de l.

1. 29. Suite récurrente 13, La Réunion 2007

4 points

Soit a un nombre réel tel que −1 < a < 0.

On considère la suite u définie par u0 = a, et pour tout entier naturel n, 21n n nu u u   .

1. Étudier la monotonie de la suite u.

2. a. Soit h la fonction définie sur par   2h x x x  . Étudier le sens de variations de la fonction h.

En déduire que pour tout x appartenant à l’intervalle ]−1 ; 0[, le nombre  h x appartient aussi à

l’intervalle ]−1 ; 0[.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : −1 < un < 0.

3. Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.

1. 30. Suites récurrentes 14, Polynésie 2008

5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l'ensemble (E) des suites  nx définies sur  et vérifiant la relation suivante : pour tout

entier naturel n non nul, 1 10,24n n nx x x   .

1. On considère un réel  non nul et on définit sur  la suite  nt par n

nt  . Démontrer que la suite

 nt appartient à l'ensemble (E) si et seulement si  est solution de l'équation 2 0,24 0    .

En déduire les suites  nt appartenant à l'ensemble (E).

On admet que (E) est l'ensemble des suites  nu définies sur  par une relation de la forme

   1,2 0,2 n n

nu     où  et  sont deux réels.

2. On considère une suite  nu de l'ensemble (E). Déterminer les valeurs de  et  telles que 0 6u  et

1 6,6u  u, =6,6.

En déduire que, pour tout entier naturel n,     39 3

1,2 0,2 7 7

n

nu    .

3. Déterminer lim n n

u 

.

Partie B

On considère la suite  nv définie sur  par : v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, 2

1 1,4 0,05n n nv v v   .

1. Soit f la fonction définie sur  par   21,4 0,05f x x x  .

a. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 8].

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,10 8n nv v    .

2. En déduire que la suite  nv est convergente et déterminer sa limite l.

1. 31. Suite récurrente 15, Antilles 09/2008

4 points

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

On définit :

– la suite (un) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, 1 1 4

5 5 n nu u   .

– la suite (Sn) par : pour tout entier naturel n, 0 1 0

...

n

n k n

k

S u u u u

     .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 12

1 5

n n u   . En déduire la limite de la suite

(un).

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).

b. Calculer Sn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (Sn).

Partie B

Etant donné une suite (xn), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère la suite

(Sn) définie par

0

n

n k

k

S x

 .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (xn) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi.

Proposition 2 : les suites (xn) et (Sn) ont le même sens de variation.

1. 32. Suite récurrente 16, France 2009

4 points

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (un) définie par : 0 1u  et, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

4 3

n nu u   .

On pose, pour tout nombre entier naturel n, 6n nv u  .

a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer vn+1 en fonction de vn.Quelle est la nature de la suite (vn) ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, 1

5 6 3

n

nu  

     

.

c. Étudier la convergence de la suite (un).

2. On considère la suite (wn) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier 1n  :

  11 1n nnw n w    et w0 = 1.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite :

w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a. Détailler le calcul permettant d’obtenir w10.

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Donner la nature de la suite (wn). Calculer w2009.

1. 33. Suite récurrente 17, France 2009

5 points

1. Soit (un) la suite définie par u0 = 0, u1 = 3 et pour tout nombre entier naturel n, 2 1 3 1

2 2 n n nu u u   .

a. Calculer u2, u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

3 2

n nu u   .

c. Ci dessous sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d’équation y = x et 1

3 2

y x  .

À partir de u0, en utilisant ces deux droites, on a placé u1 sur l’axe des abscisses. De la même manière placer les termes u2, u3 et u4.

Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?

2. Soit (vn) la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par 6n nv u  .

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Exprimer vn puis un en fonction de n.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit (wn) la suite de premier terme w0 et telle que, pour tout nombre entier naturel n, 1 1

3 2

n nw w   .

On suppose que w0 est strictement supérieur à 6. Les suites (un) et (wn) sont-elles adjacentes ? Justifier.

1. 34. Suite récurrente 18, Pondicherry 2010, (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.

1. La droite de représentation paramétrique

2

2 ,

3 1

x t

y t t

z t

     

  

est parallèle au plan dont une équation

cartésienne est : 2 3 0x y z    .

2. Les plans P, P’, P’’ d’équations respectives 2 3 3x y z   , 2 3 2 6x y z   et 4 4 12x y z   n’ont pas

de point commun.

3. Les droites de représentations paramétriques respectives

2 3

1 ,

3 2

x t

y t t

z t

     

   

et

7 2

2 2 ,

6

x u

y u u

z u

     

   

sont

sécantes.

4. On considère les points : A de coordonnées (−1 ; 0 ; 2), B de coordonnées (1 ; 4 ; 0), et C de coordonnées (3 ; −4 ; −2). Le plan (ABC) a pour équation x + z = 1.

5. On considère les points : A de coordonnées (−1 ; 1 ; 3), B de coordonnées (2 ; 1 ; 0) et C de coordonnées (4 ; −1 ; 5). On peut écrire C comme barycentre des points A et B.

1. 35. Suite homographique, France, sept. 2010, 5 pts

Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par 1 4 1

2

n n

n

u u

u

 

 .

Si f est la fonction définie sur l’intervalle  2 ;  par   4 1

2

x f x

x

  

, alors on a, pour tout nombre

entier naturel n,  1n nu f u  .

On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative (C) de la fonction f ainsi que la droite (d) d’équation y = x.

1. a. Sur l’axe des abscisses, placer u0 puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un) ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a 1 0nu   .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.

3. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite (un) par une autre méthode, en déterminant une expression de un en fonction de n.

Pour tout nombre entier naturel n, on pose 1

1 n

n

v u  

.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3 .

b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn puis un en fonction de n.

c. En déduire la limite de la suite (un).

1. 36. Suites récurrentes, Antilles-Guyane, sept 2010

5 pts

On considère la suite de nombres réels (un) définie sur  par : 0 1u   , 1 1

2 u  et, pour tout entier

naturel n,

2 1

1

4 n n nu u u   .

1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : 1 1

2 n n nv u u  .

a. Calculer v0.

b. Exprimer vn+1 en fonction de vn.

c. En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison 1

2 .

d. Exprimer vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : nn n

u w

v  .

a. Calculer w0.

b. En utilisant l’égalité 1 1

2 n n nu v u   , exprimer wn+1 en fonction de un et de vn.

c. En déduire que pour tout n de , wn+1 = wn+2.

d. Exprimer wn en fonction de n.

4. Montrer que pour tout entier naturel n 2 1

2 n n

n u

  .

5. Pour tout entier naturel n, on pose : 0 1 0

...

k n

n k n

k

S u u u u

     . Démontrer par récurrence que pour

tout n de  : 2 3

2 2

n n

n S

   .

1. 37. Suite homographique, Centres étrangers 2010

5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par :   5

6 1

f x x

  

.

Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un) définies par un premier terme positif ou nul u0 et

vérifiant pour tout entier naturel n :  1n nu f u  .

1. Étude de propriétés de la fonction f

a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle  0 ;  .

b. Résoudre dans l’intervalle  0 ;  l’équation  f x x . On note  la solution.

c. Montrer que si x appartient à l’intervalle  0 ; , alors f(x) appartient à l’intervalle  0 ; .

De même, montrer que si x appartient à l’intervalle  ;  alors f(x) appartient à l’intervalle

 ;  .

2. Étude de la suite (un) pour u0 = 0

Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :

 1 5

6 1

n n n

u f u u

    

.

a. Sur le graphique ci-dessous, sont représentées les courbes d’équations y = x et y = f(x).

Placer le point A0 de coordonnées (u0 ; 0), et, en utilisant ces courbes, construire à partir de A0 les points A1, A2, A3 et A4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1, u2, u3 et u4.

Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (un) ?

b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 10 n nu u    .

c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

3. Étude des suites (un) selon les valeurs du réel positif ou nul u0

Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un) suivant les valeurs du réel positif ou nul u0 ?

1. 38. Équation+suite, Asie 2009

6 points

On considère l’équation notée (E) : ln x x  .

Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notée  appartenant à l’intervalle ]0 ;  [ et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement.

Partie A : existence et unicité de la solution

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par   lnf x x x  .

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ;  [.

2. Démontrer que l’équation   0f x  admet une unique solution notée  appartenant à l’intervalle ]0 ;  [.

3. Vérifier que : 1

1 2   .

Partie B : encadrement de la solution 

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par   4 ln

5

x x g x

  .

1. Étude de quelques propriétés de la fonction g.

a. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]0 ;  [.

b. En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle 1

;1 2

     

,  g x appartient à cet

intervalle.

c. Démontrer qu’un nombre réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;  [ est solution de l’équation (E) si et

seulement si  g x x .

2. On considère la suite (un) définie par 0 1

2 u  et pour tout entier naturel n, par  1n nu g u  .

a. En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que pour tout entier

naturel n, 1 1

1 2

n nu u    .

b. En déduire que la suite (un) converge vers  .

3. Recherche d’une valeur approchée de  .

a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u10, arrondie à la sixième décimale.

b. On admet que u10 est une valeur approchée par défaut à 45 10 près de  .

En déduire un encadrement de  sous la forme u v  u et v sont deux décimaux écrits avec trois

décimales.

1. 39. exp(1), Antilles 2009

4 points

On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : 1

1

n

nu n

      

.

1. On considère la fonction f définie sur [0 ;  [ par :    ln 1f x x x   .

a. En étudiant les variations de la fonction f, montrer que, pour tout réel x positif ou nul,  ln 1 x x  .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,  ln 1nu  .

c. La suite (un) peut-elle avoir pour limite  ?

2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n non nul, par :  lnn nv u .

a. On pose 1

x n  . Exprimer vn en fonction de x.

b. Que vaut  

0

ln 1 lim x

x

x

 ? Aucune justification n’est demandée. Calculer lim n

n v

 .

c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

1. 40. Récurrente+conjecture, La Réunion 2008

5 points

On considère la suite  n nu  définie par : 0 5u  et, pour tout entier 1n  , 1 2 6

1n nu u n n

       

.

1. a. Calculer 1u .

b. Les premières valeurs de nu sont données ci-dessous :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nu 45 77 117 165 221 285 357 437 525 621

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite  n nd  définie par 1n n nd u u  .

2. On considère la suite arithmétique  n nv  de raison 8 et de premier terme 0 16v  . Justifier que la

somme des n premiers termes de cette suite est égale à 24 12n n.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : 24 12 5nu n n   .

4. Valider la conjecture émise à la question 1. b.

1. 41. Intégrale 1

L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n  0 par :

1

0 20

1

1 u dx

x

  et, pour n  1,

1

20 1

n

n

x u dx

x

  .

1. a. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par : 2( ) ln( 1 ).f x x x   Calculer la dérivée f ' de f.

En déduire u0.

b. Calculer u1.

2. a. Prouver que la suite (un) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 21 1 2x   .

En déduire que, pour tout entier 1n  , on a : (1) 1 1

1( 1) 2 nu

nn  

 . Déterminer la limite de (un).

3. Pour tout entier 3n , on pose : 1

2 2

0

I 1nn x x dx   .

a. Vérifier que, pour tout entier 3n , on a : un + un2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier 3n , on a :

2( 1) 2n nnu n u    .

b. En déduire que, pour tout entier 3n , on a : (2) (2 1) 2nn u  .

c. À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa limite.

1. 42. Intégrale 2

Première partie

On considère la courbe (C) de la fonction inverse : 1

( )x f x x  pour 1 2x  . On voudrait trouver une

valeur approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On découpe l’intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude.

1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.

2. Déterminer les images de ces valeurs par f.

3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en fonction de n, un encadrement de l’aire cherchée.

Deuxième partie

On considère la suite (un) définie par :

1

1 1 1 1

1 2 2

i n

n

i

u n n n n i

        , pour tout n de

*, et la

suite (vn) définie par :

1

0

1 1 1 1

1 2 1

i n

n

i

v n n n n i

 

        , pour tout n de

*.

1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

2. Représenter les points correspondants sur une droite.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.

4. Calculer vnun et démontrer que lim 0n n n

v u 

  .

5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?

6. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150 .

1. 43. Récurrence double

On considère la suite (un) définie par : 0 1

1 1

0 ; 1 ;

7 8n n n

u u

u u u 

  

 

1. Montrer que la suite sn définie par sn = un+1 + un est une suite géométrique dont on précisera la raison. En déduire sn en fonction de n.

2. On pose vn = (−1)nun et on considère la suite tn définie par tn = vn+1vn. Exprimer tn en fonction de sn.

3. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme 0 1 ... nt t t   ).

4. Déterminer lim 8

n

nn

u

 .

1. 44. Suites adjacentes 1

On considère les suites (un) et (vn) définies par : 1 10 nnu   et 1 10 nnv

  pour tout n de .

1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.

2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

3. Quelle est leur limite ?

4. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?

1. 45. Suites adjacentes 2

On considère la suite   1n n

u

définie par : 2 2 2 2

1

1 1 1 1

1 2

p n

n

p

u p n

     ,

et la suite   1n n

v

définie par : 1

n nv u n

  .

1. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

2. Soit l leur limite. Donner un entier n0 pour lequel l’encadrement de l par 0n

u et 0n

v est un

encadrement d’amplitude inférieure ou égale à 10–3.

3. Donner à la calculatrice une valeur approchée de 0n

u et 0n

v . Est-il possible que l soit égal à 2

6

 ?

1. 46. Suites adjacentes 3

On considère les suites (un) et (vn) définies par :

0

1

0

3 1

4

n n

u

u u

 

 

, et 0

1

2

3 1

4

n n

v

v v

 

 

pour tout entier naturel n.

Dans un repère orthonormé ( ; , )O i j , tracer les droites (D) et ( ) d’équations respectives

3 1

4

x y

  et y = x.

1. En utilisant ces deux droites, placer sur l’axe des abscisses les réels u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

2. Calculer u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

3. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes et donner leur limite.

1. 47. Suites adjacentes 5 : Bac C, N. Calédonie 1986

On définit deux suites (un) et (vn) par : 1 1 1 1 2 3

12, 1, , 3 4

n n n n n n

u v u v u v u v 

     

1. Pour tout entier n  1, on pose wn = unvn. Montrer que (wn) est une suite géométrique à termes positifs, déterminer sa limite et exprimer wn en fonction de n.

2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

3. Pour tout entier n  1, démontrer que n nu v . En déduire que 1 1n nu u v v   .

4. Pour tout entier n  1, on pose tn = 3un + 8vn. Démontrer que (tn) est une suite constante.

5. En déduire les expressions de un et vn en fonction de n, puis les limites de (un) et (vn).

1. 48. Suites adjacentes 6 : étude d’un nombre

Définition et étude d’un nombre à l’aide de deux suites adjacentes

A. Préambule : quelques propriétés de la factorielle

n est un entier naturel non nul. On note !n (et on lit « factorielle n ») le produit    ( 1) ... 2 1n n .

On convient de plus que 0! 1 .

1. Calculer 2!, 3!, 4!, 5!

2. Simplifier ( 1)!

!

n

n puis

!n

n .

3. Vérifier que 

   

2 1 1

( 1)! ! ( 1)!

n

n n n .

4. Justifier que le nombre       

 

1 1 1 ! 1 ...

1! 2! ! n

n est un entier.

5. h est la fonction définie sur par 

      

2 1

( ) 1 ... 1! 2! ( 1)! !

n nx x x x h x

n n . Calculer '( )h x et vérifier que

pour tout x , 

     

2 1

'( ) 1 ... 1! 2! ( 1)!

nx x x h x

n .

B. Etude du nombre e

On considère les deux suites   1n n

u et   1n n

v définies par :

     1 1 1

1 ... 1! 2! !

nu n

et   1

! n nv u

n .

1. Etude des suites   1n n

u et   1n n

v

a. Calculer 1 1 2 2 3 3, , , , ,u v u v u v .

b. Montrer que la suite   1n n

u est strictement croissante.

c. Montrer que la suite   1n n

v est décroissante. Est-elle strictement décroissante ? L’est-elle à partir

d’un certain rang ?

d. Montrer que les suites   1n n

u et   1n n

v sont adjacentes.

e. On note l leur limite commune. Déterminer un encadrement de l d’amplitude 310 .

2. On suppose que l est rationnel, c’est à dire qu’il existe deux entiers naturels p et n vérifiant  p

l n

.

a. Est-il possible que n = 1 ?

b. Justifier l’encadrement :    1

! n n

p u u

n n .

c. En déduire que    0 ( 1)! ! 1np n n u .

d. Justifier que le nombre   ( 1)! ! nN p n n u est un entier. Qu’en conclut-on ?

3. Où l’on retrouve l’exponentielle

a. Quel autre nombre déjà rencontré vérifie l’inégalité établie à la question B. 1. e. ?

b. Pour  *n on définit la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par            

2

( ) 1 ... 1! 2! !

n xx x xf x e

n .

Montrer que pour tout [0 ; 1]x ,  '( ) !

n xxf x e

n .

c. Etablir le tableau de variation de f sur [0 ; 1].

d. Calculer f(0). Montrer que (1) n u

f e

. En déduire que pour tout  *n : nu e .

4. Pour n entier fixé (  2n ), on définit la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] par :

          

2 1

( ) 1 ... 2 1! 2! ( 1)! !

n n xx x x xg x e

n n .

a. Montrer que pour tout [0 ; 1]x ,   

1

'( ) ( 2 ) !

n xxg x n x e

n .

b. Etablir le tableau de variation de g sur [0 ; 1].

c. Calculer g(0). Montrer que (1) n v

g e

. En déduire que pour tout  2n :  n nu e v .

Conclure : quel est le nombre l défini en B. 1. e. ?

1. 49. Suites adj. 7 : constante d’Euler, Antilles 2005

6 points

1. Démontrer que pour tout n de *et tout x de [0 ; 1] : 2

1 1 1x

n x n nn   

 .

2. a. Calculer 1

0

1 dx

x n .

b. Déduire en utilisant 1., que : pour *n , 2

1 1 1 ln

2

n

n nn

     

  puis que

1 1 ln

n

n n

   

  .

3. On appelle U la suite définie pour *n par :

1

1 1 1 1 ( ) ln( ) 1 ... ln( )

2 3

k n

k

U n n n k n

        .

Démontrer que U est décroissante (on pourra utiliser 2. b.)

4. On désigne par V la suite de terme général :

1

1 1 1 1 ( ) ln( 1) 1 ... ln( 1)

2 3

k n

k

V n n n k n

          .

Démontrer que V est croissante.

5. Démontrer que U et V convergent vers une limite commune notée  .

Déterminer une valeur approchée de  à 102 près par la méthode de votre choix.

1. 50. Suite et ln, Antilles-Guyane

7 points

Partie A

Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle  0 ;  par   lng x x x x  .

1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et  .

2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle  0 ;  et que  ' lng x x  .

3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B

Soit (un) la suite définie pour tout *n par n

n n

e u

n  .

1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :

a. le sens de variation de la suite (un) ;

b. la limite éventuelle de la suite (un).

2. Soit (vn) la suite définie pour tout *n par  lnn nv u .

a. Montrer que lnnv n n n  .

b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).

c. En déduire le sens de variation de la suite (un).

3. Montrer que la suite (un) est bornée.

4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

1. 51. Exp+sensibilité calcul, Liban 2005

8 points

Partie A

On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, 1

0

(1 )n tnu t e dt  .

1. Montrer que la fonction : (2 ) tf t t e  est une primitive de : (1 ) tg t t e  sur [0 ; 1]. En déduire la

valeur de u1.

2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul, 1 ( 1) 1n nu n u    (R).

Partie B

On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.

Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :

Valeur de n

Valeur de un affichée par la première

calculatrice

Valeur de un affichée par la deuxième

calculatrice

1 7,1828182845 E-01 7,1828182846 E-01

2 4,3656365691 E-01 4,3656365692 E-01

3 3,0969097075 E-01 3,0969097076 E-01

4 2,3876388301 E-01 2,3876388304 E-01

5 1,9381941508 E-01 1,9381941520 E-01

6 1,6291649051 E-01 1,6291649120 E-01

7 1,40415433581 E-01 1,4041543840 E-01

8 1,2332346869 E-01 1,2332350720 E-01

9 1,0991121828 E-01 1,0991156480 E-01

10 9,9112182825 E-02 9,9115648000 E-02

11 9,0234011080 E-02 9,0272128000 E-02

12 8,2808132963 E-02 8,3265536000 E-02

13 7,6505728522 E-02 8,2451968000 E-02

14 7,1080199309 E-02 1,5432755200 E-01

15 6,6202989636 E-02 1,31491328006

E+00

16 5,9247834186 E-02 2,0038612480 E+01

17 7,2131811612 E-02 3,3965641216 E+02

18 8,7016273909 E-

02 6,1128154189 E+03

19 1,7533092042 E-

02 1,1614249296 E+05

20 3,5166184085 E-

02 2,3228488592

E+06

21 7,3858986580 E-

02 4,8779825043 E+07

22 1,6249077047 E-

02 1,0731561499 E+09

23 3,7372887209 E-

02 2,4682591448 E+10

24 8,9694930302 E-

02 5,923821947 E+11

25 2,242372585 E-02 1,4809554869 E+13

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?

Partie C

Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un) à partir de la définition : pour tout entier naturel n

non nul, 1

0

(1 )n tnu t e dt  .

1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0nu  .

2. a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n,

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