Sciences statistiques - Exercice 7 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 7 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 7 - 3° partie - Suites. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Suites adj.+barycentre, Exp+sol équation, Encadrement d’intégrale.
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   1 1 n ntt e t e   .

b. En déduire que pour tout n non nul, 1

n

e u

n  

.

3. Déterminer la limite de la suite (un).

Partie D

Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un) :

1 ( 1) 1n nu n u    .

Étant donné un réel a, on considère la suite (vn) définie par : v1 = a et pour tout entier naturel non nul n,

1 ( 1) 1n nv n v    .

1. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n,

( !)( 2 )n nv u n a e   

n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.

2. Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs de a. (On rappelle : lim ! n

n 

  )

3. En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.

1. 52. Suites adj.+barycentre, Antilles 2006

5 points

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur

un axe orienté ( ; )O u donné ci-dessous, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12.

Le point An+1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3).

1. Sur le graphique placer les points A2, B2.

2. On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn.

Montrer que : 1 2

3

n n n

a b a

  . On admet de même que 1

3

4

n n n

a b b

  .

Partie B

1. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn − an.

a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an +4bn. Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

u

B0B1A1A0

121086420

y

x

1. 53. Exp+sol équation, N. Calédonie 2002

10 points

Le plan Pest rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j . (Unités graphiques : 2 cm).

Partie A

On considère la fonction f définie sur par   2( ) 3 x

f x x e

  .

1. Déterminer les limites de f en  , puis en  .

2. Étudier les variations de f sur et dresser son tableau de variations.

3. Construire la courbe ( ) représentative de f dans ( ; , )O i j .

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 0

2

3

x

I xe dx

  et en déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine défini par les couples (x, y) tels que 0  y f (x) et x 0.

5. a. Démontrer que l’équation f (x) = 3 admet deux solutions dans . Soit  la solution non nulle,

montrer que : 3

2 2

    .

b. Plus généralement, déterminer graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l’équation f (x) = m.

Partie B

On considère la fonction  définie sur par 2( ) 3 3

x

x e   .

1. Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si  (x) = x.

2. Soit ' et '' les dérivées première et seconde de la fonction  .

a. Calculer, pour tout réel x,  ' x et  '' x . Justifier que   3

2

  

  .

b. Étudier le sens de variation de  ' x , puis celui de  x .

c. On se place désormais dans l’intervalle I= [2 ;  ].

3. Montrer que, pour tout x appartenant I :

a. ( )x appartient à I.

b.   1 3

' 2 4

x  .

c. En déduire, à l’aide d’une intégration, que pour tout x de l’intervalle I, on a :

        1 3

0 2 4

x x x          .

4. On considère la suite (un) définie sur par :  

0

1

2

n n

u

u u

  

 .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à l’intervalle I.

b. Justifier que, pour tout entier n,  1 3

0 4

n nu u     puis que 3

0 4

n

nu  

      

.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

d. Déterminer le plus petit entier p tel que : 2 3

10 4

p    

  . Donner une approximation décimale à 102

près de up , à l’aide d’une calculatrice, puis une valeur approchée de  à 22 10 près.

1. 54. Encadrement d’intégrale, Polynésie 2004

5 points

On considère la suite (In), n  , définie par :

2 1

0 1

t

n

e I dt

n t

   .

1. a. Déterminer le sens de variation de cette suite.

b. Montrer que (In), est une suite positive.

c. Montrer que pour tout t [0 ; 1] on a

2 1

1 1

t e

n t n

   

et en déduire que 1

0 1

nI n

  

. Que peut-on en

conclure quant à la convergence de (In) ?

2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par : ( ) 1xf x e x   et 2

( ) 1 2

xxg x x e    .

a. Étudier le sens de variation et le signe de f.

b. En déduire le sens de variation de g sur [0 ; 1].

c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 2

1 1 2

x xx e x     .

d. En déduire un encadrement de 2t

e  pour tout t appartenant à [0 ; 1].

e. Établir l’encadrement :    

2 23

3 2 30 1 nI

n n  

  .

f. Donner une valeur de p telle que Ip 102.

1. 55. Puissances et factorielles, Liban 2004

4 points

1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.

a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

n kk k

n k  .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

nn kx x k

n k k

      

.

c. Montrer que lim 0 !

n

n

x

n  .

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 1

1 !

nn

n

 (on pourra écrire 1

!

nn

n

comme un

produit de n−1 facteurs supérieurs ou égaux à 1).

b. En déduire que lim !

n

n

n

n   .

1. 56. Sommes et fonction ln, C. étrangers 2005

7 points

I. Première partie

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ;  [ par

( ) ln(1 )f x x x   et 2

( ) ln(1 ) 2

x g x x x    .

1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ;  [.

2. En déduire que pour tout 0x  , 2

ln(1 ) 2

x x x x    .

II. Deuxième partie

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : 1 3

2 u  et 1 1

1 1

2 n n n

u u   

    

.

1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel 1n  .

2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel 1n  :

2

1 1 1 ln ln 1 ln 1 ... ln 1

2 2 2 n n

u     

                 

.

3. On pose 2

1 1 1 ...

2 2 2 n n

S     et 2

1 1 1 ...

4 4 4 n n

T    

À l’aide de la première partie, montrer que : 1

ln 2

n n n nS T u S   .

4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim n n

S 

et lim n n

T 

.

5. Étude de la convergence de la suite (un).

a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b. En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.

c. On admet le résultat suivant : si deux suites (vn) et (wn) sont convergentes et telles que n nv wpour

tout n entier naturel, alors lim limn n n n

v w  

 .

Montrer alors que 5

ln 1 6

l  et en déduire, un encadrement de l.

1. 57. Indice de Gini, C. étrangers 2004

9 points

On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :

(1) f(0) = 0 et f(1) = 1 ;

(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;

(3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f(x)  x.

Le plan est rapporté au repère orthonormal R= ( ; , )O i j , unité graphique 10 cm.

I. Étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que  ( ) x x

g x x e e e

   et en déduire que g vérifie la condition (3).

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II. Un calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice If égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que   1

0

( )fI x f x dx  .

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig, associé à g.

3. On s’intéresse aux fonctions fn, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par 2

( ) 1

n

n

x f x

x  

n est un entier

naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose   1

0

( )n nI x f x dx  et 1

0

( )n nu f x dx  . Prouver que 1

2 n nI u  .

b. Comparer 1

1

nt

t

 et

1

nt

t sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un) est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], 1

0 1

n nt t

t

  

.

d. En déduire que pour tout entier naturel n 2, 2

0 1

nu n

  

.

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

1. 58. Accroissements finis, Asie 2004

8 points

I. Étude d’une fonction f

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle 1

; 2

I       

par f(x) = ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 1

2  .

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x)= f(x)−x.

a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée  , appartenant à

l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;  [, f(x) appartient aussi à ]0 ;  [.

II. Étude d’une suite récurrente

On appelle (un), n  0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ;  [.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.

3. Justifier que la suite (un) est convergente.

III. Recherche de la limite de la suite (un)

1. Montrer que pour tout réel x 1, 2

( ) 3

f x  .

2. Recherche de la limite de la suite (un) :

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, n  0,   0

2 '( )

3 n

u f t dt u

  .

b. En déduire que pour tout entier naturel n,  1 2

3 n nu u    , puis à l’aide d’un raisonnement par

récurrence que 2

0 3

n

nu  

      

.

c. Quelle est la limite de la suite (un) ?

1. 59. Suite récurrente+intégrale, N. Caledonie 2005

5 points

On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

1

1

1

1 , 2n n

u

u u n n

     

et lnn nv u n  pour 1n  .

1. a. Calculer u2, u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :

1

1 n

n

k

u k

 .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 11 1 1

1

k

k

dx k x k

    .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :

1 1 lnn nu n u

n     et 0 1nv  .

c. En déduire le sens de variation de la suite (vn).

3. Montrer que la suite (vn) converge. On note  la limite de la suite (vn) (on ne cherchera pas à calculer

 ).

Quelle est la limite de la suite (un) ?

1. 60. Suite+intégrale, Polynésie 2010, 7 pts

La figure qui suit l’exercice sera complétée.

Partie A

1. On considère la fonction g définie sur  1 ;  par    ln 2 1g x x x   .

a. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Démontrer que l’équation   0g x admet sur  1 ;  une unique solution notée  .

b. Démontrer que  ln 2 1   .

2. Soit la suite (un)définie par u0 = 1et pour tout entier naturel n, par  1 ln 2 1n nu u   .

On désigne par (C)la courbe d’équation  ln 2 1y x  dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . Cette courbe est donnée ci-dessous.

a. En utilisant la courbe (C), construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, 11 3n nu u    .

c. Démontrer que la suite (un)converge vers  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur  1 ;  par     11 xf x x e   .

On désigne par (H)la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . Cette

courbe est donnée ci-dessous.

1. Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose :       1 1 1

1 x x

tF x f t dt t e dt    .

a. Démontrer que la fonction F est croissante sur  1 ;  .

b. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout réel x appartenant à  1 ;  ,

  1 1xF x xe    .

c. Démontrer que sur  1 ;  , l‘équation   1

2 F x  est équivalente à l‘équation ln(2x) + 1 = x.

2. Soit un réel a supérieur ou égal à 1. On considère la partie Da du plan limitée par la courbe (H), l‘axe des abscisses et les droites d’équation x= 1et x = a.

Déterminer a tel que l’aire, en unités d’aires, de Da, soit égale à 1

2 et hachurer Da sur le graphique.

1. 61. Exp+intégrale+suite, Pondicherry 2009

Soit f la fonction définie sur l’intervalle

 0 ; par :   2xf x xe .

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal

( ; , )O i j du plan. Cette courbe est représentée

ci-contre.

Partie A

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en  . On pourra écrire, pour x différent de 0,

  2

2

1

x

x f x

x e

  .

b. Démontrer que f admet un maximum en

2

2 et calculer ce maximum.

2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.

Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers  ?

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :   1n

n n

u f x dx

  .

On ne cherchera pas à expliciter un.

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 :    1 nf n u f n   .

b. Quel est le sens de variation de la suite (un), n > 2 ?

c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n,   1

0

n

k

k

F n u

 .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donne ci-dessous les valeurs de F(n) obtenues à l’aide d’un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7.

n 3 4 5 6 7

F(n)0,499 938 295 1

0,499 999 943 7

0,5 0,5 0,5

Interpréter ces résultats.

1. 62. Intégrale+suite+calcul de exp(2), Asie 2005

7 points

On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers 2e .

On définit, pour tout entier naturel 1n  , l’intégrale   2

0

1 2

!

n x nI x e dx

n   .

1. Calculer I1.

2. Établir que pour tout entier naturel 1n  , 2 2

0 ( 1) !

n

nI e n

   .

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel 1n  , 1

1

2

( 1)!

n

n nI I n

   

.

4. Démontrer par récurrence que 2

2 2 2 21 ... 1! 2! !

n

ne I n

      .

5. On pose, pour tout entier naturel 1n  , 2

!

n

nu n  .

a. Calculer 1n

n

u

u

 et prouver que pour tout entier naturel 3n , 1 1

2 n nu u  .

b. En déduire que pour tout entier naturel 3n , 3

3

1 0

2

n

nu u

  

     

.

6. En déduire la limite de la suite (un) puis celle de la suite (In).

7. Justifier enfin que : 2 3

2 2 2 2 2lim 1 ... 1! 2! 3! !

n

n e

n

         

  .

1. 63. Intégrale et suite, Amérique du Nord 2004

8 points

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

(En) ' !

n xxy y e

n

  .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur , vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, '( ) !

nx h x

n  .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la fonction g ?

2. Soit  une fonction dérivable sur .

a. Montrer que  est solution de (En) si et seulement si  − g est solution de l’équation : (F) y + y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale  de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0) = 0.

Partie II

Le but de cette partie est démontrer que

0

1 lim

!

n

n k

e k

 (on rappelle que par convention 0! = 1).

1. On pose, pour tout x réel, 0 ( ) xf x e , 1( )

xf x xe .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y + y = f0.

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y + y = fn−1 vérifiant fn(0) = 0.

En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n 1 : ( ) !

n x

n

x f x e

n

 .

2. Pour tout entier naturel n, on pose 1

0

( )n nI f x dx  (on ne cherchera pas à calculer In).

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement :

0 ( ) !

n

n

x f x

n   . En déduire que

 

1 0

1 ! nI

n  

 0, puis déterminer la limite de la suite (In).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : 11 1

! k kI I e

k

    .

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que : 1

0

1 !

n

n

k

e I

k

  .

d. En déduire finalement :

0

1 lim

!

n

n k

e k

 .

1. 64. Intégrale et suite, N. Calédonie 2004

Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur par 2( ) 1 2x xf x e e    et C sa courbe représentative dans un

plan rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j , (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm

sur l’axe des ordonnées).

1. a. Soit Ie polynôme P défini sur par P(X) = 1+X −2X2. Étudier Ie signe de P(X).

b. En déduire le signe de  f x sur .

c. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de la fonction f en  . Qu’en déduire pour la courbe C ?

3. Vérifier que  2 2( ) 2x x xf x e e e   , puis déterminer la limite de f en  . 4. a. Soit fla fonction dérivee de la fonction f, calculer f ’(x).

b. Montrer que f ’(x) a Ie même signe que (4−ex ), puis étudier Ie signe de f ’(x).

c. Dresser Ie tableau de variations de f. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.

5. a. Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on déterminera les coordonnées.

b. Étudier la position de la courbe C par rapport a la droite D.

6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.

7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C.

Partie B : Étude d’une suite

1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C, l’axe des ordonnées et la droite D.

2. On considère la suite (un) définie sur *par :   ln 2

1 ln 2

( ) 1 n

n n

u f x dx

 

  .

a. Démontrer que la suite (un) est à termes positifs.

b. Donner une interprétation géométrique de (un).

3. a. En utilisant Ie sens de variation de f , montrer que, pour tout n 2 :

si x [(n −1)+ln2 ; n +ln 2] alors f(n +ln 2)1  f(x)1  f[(n −1)+ln2]1.

b. En déduire que, pour tout n, n 2, on a : f(n +ln 2)1  un f[(n −1)+ln2]1.

c. Démontrer que la suite (un) est décroissante à partir du rang 2.

d. Montrer que la suite (un) est convergente.

4. Soit la suite (Sn) définie pour n > 0, par Sn = u1 +u2 + u3 +. . .+ un.

a. Écrire Sn à l’aide d’une intégrale.

b. Interpréter géométriquement Sn.

c. Calculer Sn et déterminer la limite de la suite (Sn).

1. 65. Intégrale et suite, Am. du Sud 2003

On considère la fonction f définie sur par : 1

( ) x x

f x e e  

et on désigne par  sa courbe

représentative dans un repère orthogonal ( ; , )O i j .

Partie A

1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe  ?

2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, x xe e  .

3. a. Déterminer la limite de f en  .

b. Étudier les variations de f sur [0 ;  [.

4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ;  [ par 1

( ) x

g x e  et

1 ( )

2 x h x

e  .

Sur la figure ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de g et h, notées respectivement C1 et C2.

a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x)  f(x)  g(x).

b. Que peut-on en déduire pour les courbes  , C1, et C2 ? Tracer  sur l’annexe, en précisant sa tangente au point d’abscisse 0.

Partie B

Soit (In) la suite définie sur par : 1

( ) n

n n

I f x dx

  .

1. Justifier l’existence de (In), et donner une interprétation géométrique de (In).

2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f(n +1)  In f (n).

b. En déduire que la suite (In) est décroissante.

c. Démontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite définie sur par : 0

( ) n

nJ f x dx  .

1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :

  1

1 1 1 2

n n ne J e

      ..

2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante. En déduire qu’elle converge.

3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant : « Si un, vn et wn sont trois suites convergentes de limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un vn wn, alors a b c ».

Donner un encadrement de L.

4. Soit u la fonction définie sur par 2

1 ( )

1 u x

x  

. On note v la primitive de u sur telle que (1) 4

v   .

On admet que la courbe représentative de v admet en  une asymptote d’équation 2

y   .

a. Démontrer que, pour tout réel x,

  2

( )

1

x

x

e f x

e

.

b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction ( )xx v e .

c. En déduire la valeur exacte de L.

1. 66. Intégrale et suite, ESME-SUDRIA 2001

On considère les suites de termes généraux 2

1

(ln )n

n

t u dt

t

     

   et (ln 2)

n nv  .

1. Montrer que la suite (un) est décroissante.

2. Montrer que, pour tout n  , n nu v .

3. Démontrer que lim 0nn u

  .

4. Démontrer que lim 0n n

n

u

v

   

 

1. 67. Intégrale et suite, EFREI 2001

On considère les intégrales In dépendant de l'entier n définies par 1

2 0

( 1)

(1 ) n

n x

x

e I dx

e

  .

1. Trouver les dérivées de ln(1 )xe et de 1(1 )xe  .

2. Calculer I0 + I1 . Calculer ensuite I0 et en déduire I1.

3. Calculer, en utilisant encore une simplification sous le signe « intégrale », le nombre I1 + I2 et en déduire I2.

4. En remarquant que l'on peut écrire 3 ( 1)( 1)x x x x xe e e e e    , calculer le nombre I2 + I3 et en déduire

I3.

5. Démontrer, lorsque n est impair, la formule 1

( ) 1

nu P u

u

 

 où P est le polynôme de degré n – 1 défini

par 2 3 1 1( ) 1 ... ( 1)n nP u u u u u        .

En déduire une primitive de la fonction 1

nu u

u s'exprimant à l'aide d'un polynôme P1(u) que l'on

définira et d'une fonction logarithme.

Montrer que Jn = In + In + 1 peut se mettre sous la forme 1

0 1 n

nx

x

e J dx

e



En utilisant ce qui précède, déterminer, lorsque n est impair, la valeur de Jn en utilisant les nombres P1(e), P1(1) et un logarithme.

6. Déterminer de même un polynôme Q(u) tel que, n étant pair, 1

( ) 1

nu Q u

u

  

. En déduire dans ce cas la

valeur de Jn = In + In+1 à l'aide d'un certain polynôme à définir et d'un logarithme.

7. Décrire une méthode permettant la détermination de proche en proche des intégrales In . Calculer I4.

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