Sciences statistiques - Exercice 8, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 8, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 8. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction définie, l’équation différentielle, l’équation.
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Terminale S

Terminale S mai 2000

Concours Fesic 2000

1. EXERCICE 1

Soit f la fonction définie par 1 1

( ) 1 3 1

f x x x

    

, D son ensemble de définition et C sa courbe

représentative.

a. On a : D= *.

b. La droite ()d’équation 1

1 3

y x   est asymptote à C.

c. La courbe C est au dessus de ().

d. Pour tout x> –1, on a : 2

1 1 '( )

3( 1) f x

x   

.

2. EXERCICE 2

Soit f la fonction définie par 1

( ) 1

f x x x   

.

a. La restriction de f à l’intervalle [0 ; 1[ est une bijection de [0 ; 1[ vers [–1 ; +[.

b. La restriction de f à l’intervalle ]1 ; +[ admet une réciproque définie sur et à valeurs dans ]1 ; +[.

c. L’équation 1

1 x x

  admet une solution unique.

d. Pour tout a<0, l’équation f(x)=a admet deux solutions distinctes.

3. EXERCICE 3

Soit la fonction f, définie sur par ( ) sinf x x x , C sa courbe représentative et (  ) la droite

d’équation y = x.

a. La fonction f vérifie l’équation différentielle '' 2cosy y x  .

b. La courbe C et la droite (  ) ont une infinité de points communs.

c. La droite (  ) est tangente à C en chacun de leurs points communs.

d. La droite (  ’) d’équation y = – x est tangente à C.

4. EXERCICE 4

Soit f la fonction définie par ( ) ln(ln )f x x , D son ensemble de définition et C sa courbe représentative.

a. On a D= *.

b. Pour tout x dans D, 1

'( ) ln

f x x x

 .

c. Une équation de la tangente à C au point d’abscisse e est x e

y e

  .

d. Pour tous réels a et b vérifiant b a e  , on a ( ) ( ) 1f b f a

b a e

 

 .

5. EXERCICE 5

Pour n, entier naturel, 1n  , on considère fn définie sur I=]–1 ; +[ par ( ) ln(1 ) n

nf x x x  et Cn sa

courbe représentative.

a. Pour tout 1n  , la courbe Cn passe par le point A de coordonnées (1 ; ln2).

b. Pour tout 1n  , et pour tout x  [0 ; 1] on a 1( ) ( )n nf x f x  .

c. Pour tout 1n  , on a '(0) 0nf  .

Pour tout 1n  , on désigne par an le coefficient directeur de la tangente à Cn au point d’abscisse 1.

d. La suite an est géométrique.

6. EXERCICE 6

Pour tout réel m, on considère l’équation (Em) : 2 2 0x xe e m   .

a. L’unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l’équation (Em) est m = 0.

b. Pour toute valeur de m, l’équation (Em) admet au moins une solution.

c. Si –1 < m < 0, l’équation (Em) a deux solutions positives.

d. Si m > 0, l’équation (Em) a une unique solution.

7. EXERCICE 7

On considère l’équation (E) suivante : sin 3 cos(2 )x x .

a. (E) est équivalente à l’équation (E’) : 23 sin sin 3 0x x   .

b. L’équation (E) admet quatre solutions dans .

c. L’équation (E) admet deux solutions dans l’intervalle [– ; ].

d. L’équation (E) admet deux solutions dans l’intervalle [– ; 0 ], dont le produit vaut 22

9

 .

8. EXERCICE 8

Soit F la fonction définie sur I=[0 ;  [ par 0

( ) ( ) x

F x te dtt  . (On ne cherchera pas à calculer F.)

a. La fonction F est positive et strictement croissante sur I.

b. Pour tout 0t  on a 1

4 t t  .

c. On a : 0

1 5 5

4 4 4

x

t e dt x et x           

   

   .

d. Pour tout x  I, on a : 5

( ) 4

F x  .

9. EXERCICE 9

Pour x > 0, on pose 2

1

ln(2 ) ( )

x t F x dt

t

    

  .

a. Pour tout x>0, on a 2

ln(2 ) '( ) ln 2

x F x

x   .

b. Pour tout x  1

;1 2

    

, on a F(x)<0.

c. Pour tout x > 0, on a ln(2 ) 1

( ) ln 2 1 x

F x x x

     .

d. On a : lim ( ) ln 2 1 x

F x 

  .

10. EXERCICE 10

On pose 1

2

0

( cos ( ))I t t dt  et 1

2

0

( sin ( ))J t t dt  .

a. On a : I > 0 et J > 0.

b. On a : I + J = 1.

c. On a : 1

0

( cos(2 ))I J t t dt   .

d. On a : 2

I J

  .

11. EXERCICE 11

Soit (an), n  et (bn) n  deux suites réelles définies par leur premier terme a0 = 2, b0 = 4 respectivement, et les relations, pour tout entier naturel n,

1

1 ( 3 )

4 n n na a b   et 1

1 (3 )

4 n n nb a b   .

On désigne par An et Bn les points de l'axe orienté (Ox) d'abscisses an et bn respectivement.

a. La suite un = an + bn est constante.

b. La suite vn = anbn est une suite géométrique convergente.

c. Pour tout n  , les segments [AnBn] ont le même milieu I, qui est le point de (Ox) d'abscisse 3.

d. Pour tout n  , on a : 1

3 2

n n a   et

1 3

2 n n

b   .

12. EXERCICE 12

Soit (un), n  une suite géométrique de raison 1

3 et de premier terme u1 = 2. Pour tout entier 1n  ,

on pose vn = ln (un).

a. Pour tout 1n  , on a : 2

3 n n

u  .

b. La suite (vn) est arithmétique, de raison – ln(3).

c. Pour tout 1n  , on a 1 2 1 1

1 ... 3 1

3

k n

k n n

k

u u u u

        

   .

d. Pour tout 1n  , on a 1 2 1

1 1 ( ... ) ln 2 ln 3

2

k n

k n

k

n v v v v

n n

      .

13. EXERCICE 13

Pour tout réel  0 ; 2  , on pose : ( ) 1 iZ e   .

On a :

a. 3 2

( ) 3

i Z e

   .

b. Pour tout  0 ; 2  , ( ) ( )Z Z   .

c. Pour tout  0 ; 2  , 2( ) 2cos 2

i Z e

 

  

    

.

d. Pour tout  0 ; 2  , arg( ( )) [2 ] 2

Z

  .

14. EXERCICE 14

Soit (E) l'équation d'inconnue complexe z : (E) 2 4 5 0z z   .

a. Si z0 est solution de (E), alors 0z est aussi solution.

b. L’équation (E) admet une solution imaginaire pure.

c. L’équation (E) admet deux solutions réelles.

d. L’équation (E) admet exactement deux solutions dans .

15. EXERCICE 15

Soit 1

;a e e

    

et (E) l'équation d'inconnue complexe z : (E) 2 2 ln 1 0z z a   . On désigne par M et N

les points du plan dont les affixes sont les racines de (E).

a. Les points M et N sont symétriques par rapport à l'axe réel (Ox).

b. Les points M et N sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 1.

c. Il n'existe aucune valeur de a telle que M et N soient symétriques par rapport à l'origine.

d. Soit A le point du plan de coordonnées (– 1 ; 0). On a AM < 2.

16. EXERCICE 16

(Plus au programme)

Pour n entier naturel non nul, on note (Cn) la courbe paramétrée par

( ) sin

( ) cos( )

x t t

y t nt

 



autrement dit, l'ensemble des points M(t) de coordonnées (x(t), y(t)), t  .

a. La courbe (C1) est un cercle.

b. La courbe (C2) est la parabole d'équation y = 1 – 2x2.

c. Pour tout 1n  , l'axe (Oy) est axe de symétrie pour (Cn).

d. Pour tout 1n  , (Cn) admet au point M(0) une tangente parallèle à l'axe (Oy).

17. EXERCICE 17

Pour m  , on considère le système linéaire à quatre inconnues a, b, c et d :

2 2

2 3 0 ( )

3 9 1

2 5 13 2

m

a b c d

a b c d S

a b c d

a b c d m

        

            

a. Pour 2m  , le système (Sm) admet un unique quadruplet solution.

b. Pour m = –2, le système (S–2) admet une infinité de quadruplets solution, qui sont de la forme (7 – k ; 2k – 3 ; k ; –1) où k  .

c. Dans l'espace, l'ensemble des points de coordonnées

7

2 3

x k

y k

z k

    

 

k décrit , est un plan.

d. Dans l'espace, l'ensemble des points de coordonnées (x ; y ; z) tels que 7x z  est une droite.

18. EXERCICE 18

Dans le plan, on considère un triangle (ABC) et on note

• G le barycentre du système {(A, 3) ; (B, 1) ; (C, 1)} ;

• Q le barycentre du système {(A, 3) ; (C, 1)} ;

• R le barycentre du système {(A, 3) ; (B, 1)} ;

• P le milieu du segment [BC].

a. Les droites (CR) et (BQ) sont sécantes en G.

b. Le point G appartient à la droite (AP).

c. Le point G est l'image du point A par l'homothétie de centre P et de rapport 1

5 .

On appelle E l’ensemble des points M du plan tels que (MB,MC) [ ] 2

  .

d. L'ensemble E' décrit par G lorsque A décrit E est une droite parallèle à (BC).

19. EXERCICE 19

Un autoradio est muni d'un code de sécurité constitué de 4 chiffres : chacun de ces chiffres est compris entre 0 et 9 ; seul le premier ne peut pas être nul.

Lorsque le poste a été enlevé de son emplacement dans l'automobile, il faut, pour le réinstaller, composer le code de sécurité. Lorsque le premier code composé est inexact, il faut attendre deux minutes pour pouvoir composer un nouveau code. Si celui-ci est inexact, il faut à nouveau attendre 4 minutes pour composer le code suivant et ainsi de suite, le temps d'attente étant multiplié par deux à chaque fois.

On admet que l'on peut renouveler l'opération autant de fois que l'on veut et on néglige à chaque fois le temps mis pour composer le code.

a. En 24 heures, on a le temps de faire au maximum 10 essais.

On suppose que l'on compose les codes au hasard, sans répétition, jusqu'à obtention du code correct.

b. La probabilité pour que le code ne soit exact qu'au quatrième essai est 1

8997 .

c. La probabilité pour que le code correct soit trouvé en moins de 24 heures est 1

900 .

d. La probabilité pour que le code correct soit trouvé au cours du deuxième jour est 1

8990 .

20. EXERCICE 20

On lance un dé dont les six faces, numérotées de 1 à 6, sont équiprobables.

Si le résultat est un nombre pair, on tire au hasard une boule d'une urne U contenant deux boules blanches et trois boules noires.

Si le résultat est impair, on tire au hasard une boule d'une urne V qui contient trois boules blanches et deux boules noires. On désigne par

• B l'événement : « Tirer une boule blanche » ;

• N l'événement : « Tirer une boule noire » ;

• U l'événement : « Tirer une boule dans l'urne U ». On a :

a. (B U) (N U)p p   .

b. 1

(B) 2

p  .

c. p(B) = p(N).

d. (U/B) (U/N)p p .

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