Sciences statistiques - Exercice 9, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 9, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 9. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction définie, la tangente parallèle à l’axe.
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Terminale S

Terminale S mai 2001

Concours Fesic 2001

1. EXERCICE 1

Soit f la fonction définie sur  , 1I   par ( ) 2 1f x x x  et C sa courbe représentative. On désigne

par T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0x  .

a. 2 3

Pour tout < 1, on a : ( ) 1

x x f x

x

  

 .

b. 4 3

Pour tout I, on a : ( ) 9

x f x  .

c. Une équation cartésienne de T est 2y x .

d. La courbe de C est au-dessus de T.

2. EXERCICE 2

Soit f et g les fonctions définies sur  1 ;I    par

   ( ) ln 1 et ( ) 1x xf x x e g x e x      .

a. La fonction g est positive sur I.

b. Pour tout x de I, on a : ( ) ( ). 1

xe f x g x

x

  

c. La fonction f est une bijection de I sur  0, .

d. Il existe un unique réel  dans I tel que ( ) 0f   .

3. EXERCICE 3

Soit la fonction  ( ) 3 xf x x e   et C sa courbe représentative.

a. Pour tout 0, on a : ( ) 3.x f x x   

b. La droite d’équation 0y  est asymptote à la courbe C.

c. La fonction f admet un unique extremum.

d. Pour tout réel 2m e , l’équation ( )f x m admet soit 0 soit 2 solutions.

4. EXERCICE 4

Soit f la fonction définie par  2( ) ln 1x xf x e e   . D son ensemble de définition et C sa courbe représentative.

a. On a +D= .R

b.  2Pour tout D, on a : ( ) 2 ln 1 x xx f x x e e      . c. La courbe C admet la droite d’équation 2y x comme asymptote en .

d. La courbe C admet une unique tangente parallèle à l’axe ( )Ox .

5. EXERCICE 5

Soit f la fonction définie sur *R par 2

( ) sinf x x x

    

 

a. On a : 4 4

f  

   

  .

b. On a ( ) 0f x  si et seulement s’il existe un entier relatif non nul k tel que 1

x k  .

c. On a : 0

lim ( ) 1 x

f x

 .

d. On a : lim ( ) 2 x

f x 

 .

6. EXERCICE 6

Pour tout couple de réels a et b tels que ( , ) (0, 0)a b  , on définit sur  0 ;  la fonction

,

ln ( )a b

x f x ax b

x   

et on note ,Ca b sa courbe représentative.

a. Pour tout couple ( , ) (0,0)a b  , la droite d’équation y ax b  est asymptote à la courbe ,Ca b .

b. Pour tout couple ( , ) (0,0)a b  , on a : , 0

lim ( ) .a b x

f x b 

c. Il existe une unique courbe ,Ca b passant par le point A de coordonnées (1, 1).

d. Il n’existe pas de courbe ,Ca b passant par le point B de coordonnées (1, 0) et admettant une tangente

parallèle à la droite d’équation 2 .y x

7. EXERCICE 7

Soit n un entier naturel non nul et In définie par :

    1

0

I 1 ln 1nn x x dx  

a. Pour tout    0 ;1 , on a : 0 ln 1 ln 2.x x   

b. Pour tout , on a : 0 I 2ln 2.nn   

c. La suite   *In n est décroissante.

d. La suite   *In n converge vers 0.

8. EXERCICE 8

Soit n un entier naturel non nul et In définie par : 1

0

1I nn xx e dx  .

a. On a : 1I 1.e 

b. La suite   *In n est croissante.

c. Pour tout entier 1

0 , on a I . 1 1

n

e n

n n   

 

d. La suite   *In n ne tend pas vers 0.

9. EXERCICE 9

Soit F la fonction définie sur parR 1

21( )= . x

tF x te dt

a. La fonction F est positive pour tout x.

b. Pour tout x réel, on a : 211( ) 1 .

2

xF x e   

    

c. Pour tout x réel, on a : 21( ) 1.xF x xe   

d. On a : lim . x

 

10. EXERCICE 10

On considère la suite   *Sn n définie, pour tout entier naturel n non nul, par

2 2 2 2

1

1 2 S ...

n

n

k

k n

n n n n

     .

a) Pour tout entier n>0 , on a : 1

S . 2

n

n

n

 

b) Pour tout entier n>0 , on a : 1

0 S . 2

n 

c) On a : lim S 0.n n

d) La suite   *Sn n est croissante.

11. EXERCICE 11

Soit f la fonction définie sur parR ( ) 1 .xf x e  

a. Pour tout entier 1

1 , on a : ( ) 0x f x e      .

b. L’équation ( )f x x admet deux solutions sur .

On désigne par  l’unique solution négative de l’équation ( )f x x et on considère la suite  n nU

définie par la relation de récurrence 1 ( )n nU f U  pour tout entier naturel n, et de premier terme

0 1.U  

c. Pour tout entier naturel n, on a : 1.nU  

d. (Hors programme après 2003) Pour tout entier naturel n, on a : 0 1

.n nU Ue    

12. EXERCICE 12

On considère le nombre complexe : 3 2

1

i

Z e i

  

.

a. On a : 1.Z

b. On a :   31 . i

Z i e

  

c. Le réel 12

  est un argument de Z.

d. On a :

13 12 .

i

Z e

13. EXERCICE 13

z et z désignent deux nombres complexes, on pose Z zz zz   .

a. Si 2 et 1 , alors 4 .z i z Z i   

b. Si

3 4 4 et , alors 0.

i i

z e z e Z

 

  

c. Si , alors 2 .z z Z z 

d. Si z est le nombre complexe de module 0r  et d’argument  et z’ est le nombre complexe de module

0r  et d’argument   , alors 2 cos .Z rr     

14. EXERCICE 14

Soit  un réel appartenant à l’intervalle  0, et (E) l’équation d’inconnue complexe z :

 2 2 sin 1 0z z   (E).

a. Pour tout    0, l’équation (E) admet deux racines complexes conjuguées distinctes.

b. Il existe une unique valeur de  0,   pour laquelle i est solution de (E).

c. Pour tout    0, l’équation (E) a pour solution :

1 2sin cos et sin cos . z i z i      

d. Pour tout    0, l’équation (E) a pour solution : 1 2 1 2 2 et .

i i

z e z z e

   

              

  

15. EXERCICE 15

Soit A, B, C trois points non alignés du plan P et G le point défini par

1 1 AG AB AC

4 2   .

a. Le point G est le barycentre du système de points pondérés       A, 1 ; B, 1 ; C, 2 .

b. L’application : P Pf  qui à tout point M du plan, associe le point M’ du plan défini par

MM MA MB 2MC    est l’homothétie de centre G et de rapport 3.

c. Le point G est le milieu du segment  IC , où le point I est le milieu du segment  AB .

d. Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alors GA= GC.

16. EXERCICE 16

(Hors programme après 2003)

Soit C la courbe paramétrée par 2

2

t t

t t

x e e

y e e

     

où le paramètre t décrit R . Soit M de coordonnées (a, b)

un point de C.

a. Le vecteur v de coordonnées (b, a) est un vecteur directeur de la tangente à C au point M.

b. Soit N le point de coordonnées (b, a) et T le point défini par OT OM ON  . Alors la droite (MT) est la tangente à la courbe C au point M.

c. La courbe C est contenue dans la courbe d’équation cartésienne 2 2 4x y  .

d. La courbe C n’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).

17. EXERCICE 17

On considère une succession de sacs qu’on désigne par S1 , S2 , … , Sn

Au départ le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc ; tous les autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc.

On tire au hasard un jeton du sac S1 que l’on place dans le sac S2 . Puis, on tire au hasard un jeton du sac S2, que l’on place dans le sac S3 , et ainsi de suite.

On note Bk l’événement : « le jeton tiré du sac Sk est blanc », et  P Bk kp  sa probabilité.

a. On a :    2 1 2 1 2 1

P B /B et P B / B 3 3   .

b. On a, pour tout entier 1 1 2

1 : . 3 3

n nn p p  

Pour tout *n , onn pose 1

. 2

n nq p 

c. Alors la suite   *n nq  est arithmétique.

d. La suite   *n np  converge vers 1

2 .

18. EXERCICE 18

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont normaux : ils possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est truqué : il possède deux faces numérotées 1 et quatre faces portant le numéro 6.

On prend un dé au hasard dans l’urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de celui-ci. On note :

 N l’événement : « le dé tiré est normal » ;

 U l’événement : « on obtient 1 au premier lancer » ;

 pour n entier non nul, Sn l’événement : « on obtient 6 à chacun des n premiers lancers ».

a. On a :   2

P U . 9 

b. Pour tout entier n non nul, on a :   2 1 1 2

P S . 3 6 3 3

n n

n    

        

Pour n entier non nul, on note pn la probabilité d’avoir tiré le dé truqué, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun des n premiers lancers.

c. Pour tout entier n non nul, on a : 1

. 1

2 1 4

n n p

   

 

d. On a : lim 0.n n

p 

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