Sciences statistiques - Travaux pratiques 10, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 10, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 10 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction définie, les valeurs possibles.
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Terminale S

Terminale S mai 2001

Concours Geipi 2001

Correction dans Sujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.

1. Exercice 1 (17 points)

Dans tout le problème  ; ,O i j est un repère orthonormé du plan P.

On note f la fonction définie sur R par ( ) 1 x

xe f x

e

  

. On appelle C la courbe représentative de f dans le

repère  ; ,O i j .

Partie A

1. Etude de f :

a. Calculer les limites de f en  et  . Justifier vos calculs.

b. Préciser les équations des asymptotes.

2. Donner l’expression de f ’(x) où f ’ est la dérivée de f. Dresser le tableau de variation de f. Préciser f(0).

3. Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse x=0 ; on note T0 cette tangente.

4. Courbe :

a. Soit x un réel quelconque. Calculer f(x)+f(– x).

b. Quelle propriété de symétrie peut on déduire de la question précédente ?

c. Tracer C, ses asymptotes et la tangente T0 .

Partie B

1. a. Soit ( ) 1 xu x e  . Calculer u’(x).

b. En déduire la primitive F de f qui prend la valeur – ln2 en x = 0.

2. a. On pose 1

0

( )A f x dx  . Calculer A.

b. Déterminer le réel c tel que A=lnc.

3. Pour tout entier naturel n non nul on pose

1 1

1 ( )nn

n

v f x dx

  .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. Calculer lim n n

v 

.

4.  et  désignent des réels quelconques vérifiant   .

a. Justifier que pour tout x appartenant à [ , ]  on a ( ) ( ) ( )f f x f   .

b. Justifier que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f x dx f

          .

c. Quelles valeurs 1 et 1 doit on donner aux réels  et  pour obtenir l’égalité

1 1

( )

k

n

k

n

k f x dx f

n n

    

 

k est un entier et n un entier non nul ?

d. Quelles valeurs 2 et 2 doit on donner aux réels  et  pour obtenir l’inégalité

1

1 ( )

k

n

k

n

k f f x dx

n n   

     où k est un entier et n un entier non nul ?

5. a. Déterminer en fonction de n les réels  et  tels que

1

1

( ) ( )

k

n

k

n

k n

k

f x dx f x dx



            .

b. Déterminer les réels  et  tels que 1

1

( ) ( )

k

n

k

n

k n

k

f x dx f x dx

 

            .

6. Pour tout entier n non nul on pose

1

1 n

k n

k

k S f

n n

    

   . On rappelle que

1 1

1 ( )nn

n

v f x dx

  et que

1

0

( )A f x dx  .

a. Justifier que n nv S A  .

b. Justifier que la suite (Sn) est convergente et donner sa limite.

2. Exercice 2 (7 points)

On considère A, B et C trois points non alignés du plan P. On désigne par B' le milieu du segment [AC] et par C' le milieu du segment [AB]. D est le barycentre du système {(A ; 3) ; (B ; 2)} et I est le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 2) ; (A; 1) ; (C ;1)}.

1. Déterminer les entiers a et b tels que I est barycentre du système {(C’ ; a) ; (B’ ; b)}.

2. Placer B', C', D et I sur la figure.

3. Justifier que I est barycentre du système {(D ; 5) ; (C ;1)}.

4. Justifier que I est le point d'intersection des deux droites (B'C') et (CD).

5. La droite (AI) coupe la droite (BC) en E. Justifier que E est barycentre du système {(B ; a) ; (C ; b)}.

6. a. Déterminer le rapport k de l'homothétie de centre E qui transforme A en I.

b. Les points B et C restant fixes dans le plan P, déterminer l'ensemble  décrit par le point I lorsque A décrit le cercle de centre E et de rayon r (r étant un réel positif donné).

Justifier votre résultat.

3. Exercice 3 (13 points)

Préambule : Soit t un entier positif.

À l'instant t, une bactérie vit dans un milieu de culture.

À l'instant suivant t + 1, cette bactérie peut

- mourir avec une probabilité 1

4 ,

- continuer à vivre avec une probabilité 1

4 ,

- se diviser en deux bactéries identiques avec une probabilité 1

2 .

Partie A

On suppose dans cette partie, qu'à l'instant t, il y a deux bactéries b1 , et b2 , dans le milieu de culture, chacune se comportant de la même façon, décrite dans le préambule, et indépendamment l'une de l'autre.

On appelle X le nombre total de bactéries à l'instant suivant t + 1 .

1. Compléter le tableau donné, à l'aide du nombre n de bactéries restantes à l'instant t + 1 et de la probabilité p de l'événement correspondant.

n=nombre de bactéries à t+1

p=probabilité qu’il y ait n bactéries à t+1

2. Quelles sont les valeurs possibles prises par X ?

3. a. Décrire, à l'aide d'une phrase, l'événement {X = 2}.

b. Justifier que la probabilité de l'événement {X =2} est égale à 5

( 2) 16

P X   .

Partie B

On suppose dans cette partie, qu'à l'instant 0 , il y a une seule bactérie dans le milieu de culture, qui se comporte comme décrit dans le préambule.

Ensuite, si à l'instant 1, il y a des bactéries, elles se comportent, à l'instant suivant, comme la bactérie initiale et ceci, indépendamment les unes des autres.

Si à un instant, il n'y a plus de bactérie, le processus d'évolution s'arrête.

On se propose d'étudier le nombre de bactéries à l'instant 2.

1. Compléter l'arbre donnant toutes les possibilités pour le nombre de bactéries aux instants 1 et 2. Donner sur chaque branche de l'arbre, la probabilité correspondante.

2. On désigne par A, l'événement « à l'instant 1, il y a une bactérie » et par B2 l'événement « à l'instant 2, il y a deux bactéries ».

a. Donner la probabilité 2 1( / )P B A qu'il y ait deux bactéries à l'instant 2, sachant qu'il y avait une

bactérie à l'instant 1.

b. Calculer la probabilité 1 2( )P A B qu'il y ait une bactérie à l'instant 1 et deux bactéries à l'instant 2.

3. On désigne par A2 l'événement « à l'instant 1, il y a deux bactéries ».

a. Donner la probabilité P(B2 / A2) qu'il y ait deux bactéries à l'instant 2, sachant qu'il y avait deux bactéries à l'instant 1.

b. Calculer la probabilité 2 2( )P A B qu'il y ait deux bactéries à l'instant 1 et deux bactéries à l'instant 2.

4. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de bactéries à l'instant 2.

a. Quelles sont les valeurs que peut prendre Y ?

b. Calculer la probabilité de l'événement { Y = 2 } .

c. Calculer la probabilité de l'événement { Y = 0 } .

d. Faire un tableau donnant la loi de probabilité de Y.

e. Calculer l'espérance E(Y) de Y.

t=0

t=1

t=2

1

0 1 2

0 0 0 ?… 2

1

4

1

4

1

16 5

16

?… ?…

?… ?…

?…

?… ?…

?… ?…

?… ?…

4. Exercice 4 (13 points)

Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct ( ; , )O u v . On considère le point A d'affixe 1 et le

point B d'affixe 2. On désigne par M(z) le point du plan dont l'affixe est le complexe z . On considère la fonction f de P dans P qui à tout point M d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que

3 2' 3 3z z z z   .

Partie A

1. Développer l'expression ( z – 1)3 .

2. On considère un point quelconque M (z) et son image M'(z') par f.

a. Exprimer z' – 1 en fonction de z – 1 .

b. En déduire l'argument de z' – 1 en fonction de l'argument arg (z – 1) . En déduire le module de z' – 1

en fonction du module 1z  .

c. Pour tout point M distinct de A, donner une relation entre les mesures des angles ( , )u AM et ( , ')u AM

et donner une relation entre les distances AM' et AM.

3. On appelle point invariant par la fonction f , tout point M vérifiant f (M) = M (ou encore z' = z).

a. Montrer que A est invariant par f.

b. Donner tous les points invariants par f.

4. On considère un point M(z) quelconque, distinct de A, et son image M'(z') par f.

a. Exprimer l'argument de ' 1

1

z

z

 en fonction de arg (z – 1) .

b. De quel angle de vecteurs ' 1

arg 1

z

z

 est-il une mesure ?

c. Exprimer le module de ' 1

1

z

z

 en fonction du module 1z  .

Partie B

1. Soit un point M d'affixe z tel que A, M et son image M' par f soient alignés.

a. Donner tous les arguments possibles de ' 1

1

z

z

 .

b. En déduire tous les arguments possibles de z – 1 .

c. Quel est l'ensemble (E) des points M tels que A, M et M' soient alignés ?

2. On considère (Q), le quart de cercle de centre A et de rayon 2 dont les extrémités sont les points C

d'affixe 1 2 et D d'affixe 1 2i . Soit M (z) un point de (Q) et son image M'(z') par f.

a. Calculer le module ' 1z  .

b. Lorsque M décrit (Q), donner un intervalle dans lequel varie une mesure '

de l'angle ( , ')u AM .

c. Représenter graphiquement l'ensemble (G) des points M' lorsque M décrit le quart de cercle (Q).

5. Exercice 5 (10 points)

Hors programme à partir de 2002

Un point M se déplace dans le plan P rapporté à un repère orthonormal.  ; ,O i j . À chaque instant t de

; 2 2

     

, sa position notée M(t) est donnée par les coordonnées (x(t) ; y(t)) telles que :

1 ( ) cos avec ;

2 2 ( ) tan

x t t t

y t t

  

        

.

M (t) décrit une courbe que l'on note C. On notera C+ l'intersection de C avec le demi-plan formé par les points de P d'ordonnée positive ou nulle.

1. a. Calculer les coordonnées de M (– t) en fonction de celles de M (t).

Quelle est la position du point M(– t) par rapport au point M(t) ?

b. En déduire une propriété de symétrie pour la courbe C.

c. En déduire le plus petit intervalle d'étude que l'on peut choisir.

2. a. Déterminer les dérivées x' et y' des fonctions x et y.

b. Donner le tableau des variations de x et y. On y précisera les limites de x et de y aux bornes du domaine d'étude.

3. Donner les coordonnées de M(0) et déterminer un vecteur directeur V de la tangente T à C au point M(0) .

4. a. Pour tout t de 0; 2

    

, calculer y2(t) – x2(t) .

b. En déduire pour tout t de 0; 2

    

, y(t) en fonction de x(t) .

5. a. Justifier que 2lim ( 1 ) 0 x

x x 

   .

b. En déduire la limite

2

lim ( ( ) ( )) t

y t x t  

 .

c. Que peut-on en déduire pour la courbe C+ par rapport à la droite  (y = x) ?

6. Tracer C+ ainsi que la tangente T et la droite , puis tracer la courbe C complètement.

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