Sciences statistiques - Travaux pratiques 11, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 11, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 11 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: l’orthocentre du triangle ABC. les opérations élémentaires.
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Terminale S

Terminale S mai 2002

Concours Geipi 2002

1. Exercice 1 (9 points)

Soit ABC un triangle et A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On considère O le centre du cercle circonscrit  au triangle ABC, G son centre de gravité et H le point défini par

OH OA OB OC   .

1. Comparer les vecteurs AH et OA' .

2. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Montrer que O, H et G sont alignés.

4. Soit A1 le symétrique de A par rapport à O et I le milieu de [HA1].

a. Déterminer le réel  tel que OI= AH .

b. Montrer que le symétrique de l’orthocentre H par rapport à A’ est sur le cercle  .

2. Exercice 2 (11 points)

Dans un système de trois équations à trois inconnues, on notera L1, L2 et L3 les trois équations du système.

Dans cet exercice, on appelle opération élémentaire, l’opération qui consiste à remplacer l’équation L2 par l’équation L2 − L1 obtenue en soustrayant memebre à membre l’équation L1 de l‘équation L2. Cette

opération élémentaire sera notée 2 2 1L L L  .

1. Factoriser 2 2a b et développer    2 2a b a ab b   .

2. On donne trois réel t1, t2 et t3 vérifiant 1 2 3t t t  .

a. Résoudre le système (S1)  

 

2 2 1 2 1 1 2 2

2 2 1 3 1 1 3 3

. t t x y t t t t

t t x y t t t t

           

b. Soit le système (S2) :

2 3 1 1 1

2 3 2 2 2

2 3 3 3 3

.

t x t y z t

t x t y z t

t x t y z t

    

   

  

Donner les opérations élémentaires à réaliser sur (S2) qui

permettent d’utiliser l’étude du système (S1) pour résoudre le système (S2).

c. Résoudre le système (S2).

3. Soit  ,  ,  trois réels et P la fonction polynôme définie par 3 2( )P t t t t      .

a. Montrer que si P(t) admet pour racines les réels t1, t2 et t3 alors  ,  et  sont solutions d’un

système linéaire de trois équations à trois inconnues.

b. En déduire alors les valeurs de  ,  et  en fonction de t1, t2 et t3.

3. Exercice 3 (16 points)

Partie A

On étudie l’inégalité 1 1

ln ln ln 2a b a b   où a et b sont deux réels > 0 tels que a + b = 1. Pour cela nous

étudierons diverses fonctions.

* Etude de g

1. Etude d’une fonction : on considère la fonction g définie sur ]0 ; 1[ par ( ) ln(1 ) lng x x x   .

a. Résoudre l’équation g(x) = 0.

b. Etudier le signe de g(x) en fonction de x.

c. Calculer g’(x) où g’ est la dérivée de g.

2. Soit une primitive F de g, définie sur ]0 ; 1[ par 1

2

( ) ( ) x

F x g t dt  .

Calculer en fonction de x la valeur de l’intégrale 1

2

( ) ( ) x

F x g t dt  à l’aide d’une intégration par parties où

on posera : ( ) ( )u t g t et '( ) 1v t  . On détaillera les calculs.

* Etude de F

On considère maintenant la fonction f définie sur [0 ; 1] par :

( ) ln (1 )ln(1 ) si ] 0 ;1[

(0) 0

(1) 1

f x x x x x x

f

f

      

  

.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Montre que que la courbe C de f admet la droite  d’équation 1

2 x  comme axe de symétrie.

2. Calculer f’(x) la dérivée de f pour tout x de ]0 ; 1[.

3. Calculer 0

( ) lim

x

f x

x . Donner le détail des calculs. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Que peut-on dire de la tangente à C en 1 ? (rappel : 0

ln(1 ) lim 1 x

x

x

  ) .

4. Dresser le tableau de variation de f ; calculer la valeur exacte de 1

2 f      

.

5. Tracer la courbe de f soigneusement avec les tangentes ou demi-tangentes obtenues au 3. (unités : 10 cm par axe).

* Inégalité 1 1

ln ln ln 2a b a b  

Soient a et b deux réels > 0, tels que a + b = 1.

1. Montrer que 1 1

ln ln ln 2a b a b   .

2. Pour quelles valeurs de a et b cette inégalité est-elle une égalité ?

Partie B

On se propose dans cette partie de généraliser l’inégalité obtenue à la partie A.

Soit N un entier strictement supérieur à 1 et soient a1, a2, a3,…aN des nombres réels strictement positifs

tels que 1 2 1

... 1

N

i N

i

a a a a

     . On pose 1

1 ln

N

N i ii

H a a

    

   .

1. Soit h la fonction définie, pour tout réel t strictement positif, par ( ) ln( ) 1h t t t   .

a. Calculer h’(t) la dérivée de h et dresser le tableau de variation de h.

b. Montrer que, pour tout réel t strictement positif, ln 1t t  .

c. Pour quelle valeur t0 de t a-t-on l’égalité ln 1t t  ?

2. Soit un entier i compris entre 1 et N. Déduire de la question précédente les réels bi, en fonction des

réels ai, tels que l’on ait l’inégalité suivante : 1 1

lni i i

a b Na N

    

  .

3. a. Justifier l’inégalité :

1

1 ln 0

N

i ii

a Na

   

   .

b. Montrer que l’on a :

1

1 ln ln

N

i N ii

a H N Na

    

   .

c. En déduire une inégalité entre

1

1 ln

N

N i ii

H a a

    

   et ln N.

4. Exercice 4 (11 points)

Partie I

On lance un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X la varaible aléatoire indiquant le numéro apparaissant sur la face supérieure.

Soit n un entier compris entre 1 et 6.

On notera  X n l’événement « le numéro apparaissant sur le dé est inférieur ou égal à n », de même

pour  X> n ou  X n , etc.

1. a. Donner la loi de probabilité de X.

b. Calculer (X 2)p  , (X> 2)p et (X 2)p  .

2. Soit n un entier quelconque compris entre 1 et 6.

a. Déterminer en fonction de n la probabilité  Xp n .

b. Déterminer en fonction de n la probabilité  X>p n .

c. Déterminer en fonction de n la probabilité  Xp n .

3. On considère la variable aléatoire Z définie par Z = 7 − X.

a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par Z ?

b. Calculer  Z 2p  .

c. Déterminer en fonction de n la probabilité  Zp n .

Partie II

On lance de façon indépendante deux dés, parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X et Y les variables aléatoires représentant les numéros apparaissant respectivement sur chaque dé.

Soit Max(X, Y) la variable aléatoire représentant le plus grand des deux nombres figurant sur les dés. Si les deux dés affichent le même nombre, Max(X, Y) prend pour valeur ce nombre.

1. Sachant que  Y 3 , calculer la probabilité p1 de l’événement  Max(X, Y) 4 .

2. Soit n un entier quelconque compris entre 1 et 6.

a. Calculer en fonction de n la probabilité     X Yp n n   .

b. en déduire en fonction de n la probabilité   Max(X, Y)p n .

c. En utilisant la formule         Max(X, Y) Max(X, Y) Max(X, Y) 1p n p n p n      , calculer

en fonction de n la probabilité   Max(X, Y)p n .

Partie III

On lance de façon indépendante, m dés parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

1. Donner en fonction de m, la probabilité pm que tous les nombres apparaissant sur les faces des dés soient inférieurs ou égaux à 5.

2. Donner en fonction de m, la probabilité qm d’obtenir au moins un 6 parmi les m dés lancés.

3. Calculer la limite de qm quand m tend vers  . Justifier ce calcul.

5. Exercice 4 (14 points)

On considère la fonction F du plan complexe dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par :

2 '

1

z z

zz  

.

Partie I

1. Soient les points A d’affixe a = i, B d’affixe b = 2 − i et C d’affixe 2

5

i c

  . On note a’, b’ et c’ les affixes

des images par F de A, B et C. Calculer a’, b’ et c’ sous forme algébrique.

2. Soit un complexe non nul z. On considère le point N d’affixe 2

z Z

z  . Calculer en fonction de z

l’affixe Z’ de l’image N’ de N par F. Que peut-on dire des points M’ et N’.

3. On appelle point invariant par F tout point M du plan qui est sa propre image par F, c’est-à-dire vérifiant F(M) = M, soit z’ = z.

a. Déterminer les complexes qui vérifient z’ = z.

b. En déduire l’ensemble des points invariants par F.

Partie II

Soit le complexe z x iy  où x et y sont réels.

1. Donner la partie réelle X et la partie imaginaire Y de z’ en fonction de x et y.

2. a. Vérifier que l’ensemble E des points M dont l’image M’ par F a pour abscisse 1

5 X  est un cercle

dont on donnera le centre J et le rayon R1.

b. Vérifier que l’ensemble G des points M dont l’image M’ par F a pour ordonnée 2

5 Y  est un cercle

dont on donnera le centre et le rayon R2.

c. Déterminer l’ensemble H des points M du plan dont l’image M’ par F a pour affixe 1 2

' 5

i z

  .

Partie III

Soit le complexe non nul iz re où r est le module de z et  un argument de z.

1. Donner, en fonction de r et  , le module et un argument de z’.

2. Montrer que les points O, M, M’ sont alignés.

3. Montrer que, pour tout point M du plan, son image M’ vérifie ' 1OM  .

4. Quelle est l’image par F du cercle C1 de centre O et de rayon 2 ?

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