Sciences statistiques - Travaux pratiques 12, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 12, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

PDF (259.9 KB)
5 pages
132Numéro de visites
Description
Sciences statistiques - Travaux pratiques 12 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la probabilité, le sens de variation de la fonction.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Terminale S mai 2003

Concours Geipi 2003

1. Exercice 1 (9 points)

Un constructeur automobile achète des pneus à trois fournisseurs dans les proportions suivantes :

20 % au premier fournisseur, 50 % au second fournisseur, 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 90 % de pneus sans défaut, le second fournisseur fabrique 95 % de pneus sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 80 % de pneus sans défaut.

On note 1F l'événement "le pneu provient du premier fournisseur", 2F l'événement "le pneu provient du

second fournisseur" et 3F l'événement " le pneu provient du troisième fournisseur ".

1. On choisit un pneu au hasard dans la livraison. On note S l'événement " le pneu est sans défaut ".

a. Calculer la probabilité P(S) que le pneu soit sans défaut.

b. Le pneu choisi étant sans défaut, quelle est la probabilité 1( )SP F qu'il provienne du premier

fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 310 près, de 1( )SP F .

2. On suppose que la probabilité qu'un pneu monté soit sans défaut est de 0,895. Calculer la probabilité R, que sur un lot de 12 pneus montés, un pneu au plus soit défectueux. On donnera une valeur

approchée à 310 près de R.

3. La durée de vie en km d’un pneu est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de

paramètre : 5 1

2 10 50000

    .

Selon cette loi, pour tout x de [0 ;  [, on a :   0

x t

P T x e dt    .

a. Quelle est la probabilité 1P qu'un pneu dure moins de 50 000 km ? Donner la valeur exacte de 1P .

b. Quelle est la probabilité 2P qu'un pneu dure plus de 50 000 km ? Donner la valeur exacte de 2P .

c. Quelle est la probabilité 3P qu'un pneu dure plus de 50 000 km, sachant qu'il a déjà duré 25000 km ?

Donner la valeur exacte de 3P .

2. Exercice 2 (11 points)

A. Préliminaires

On considère deux points quelconques M et N du plan.

1. Déterminer la norme u , du vecteur 1

u MN MN

  .

2. Soit Q un point du segment [ ]MN et soit le vecteur : 1 1

w QM QN QM QN

    . Justifier que le

vecteur w

est nul.

B. On considère un triangle ABC du plan dont les trois angles sont aigus. On note de la façon suivante les mesures des angles géométriques de ce triangle :

BAC =  , ABC =  et ACB=  .



A

BC

On désigne par 1A , le pied de la hauteur du triangle ABC, issue de A.

1. a. Exprimer tan  et tan  , en fonction des longueurs des côtés de triangles judicieux de la figure

donnée. Montrer que 1A est barycentre du système  , tan ; , tan( ) ( )B C .

2. Justifier que le barycentre H du système  , tan ; , tan ; , tan( ) ( ) ( )A B C   est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A’, B’ et C’ les milieux des côtés respectifs [ ]BC , [ ]AC et [ ]AB .

a. Montrer que les médiatrices du triangle ABC sont les hauteurs du triangle A’B’C’.

b. En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre des points A’, B’ et C’ affectés de coefficients a’, b’ et c’ que l'on précisera.

c. En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre des points A, B et C affectés de coefficients a, b et c que l'on précisera.

La réussite de certaines recettes de cuisine réside en un chauffage doux et homogène, que l’on réalise par

l’intermédiaire d’un bain-marie.

3. Exercice 3 (9 points)

On considère une préparation (un ramequin par exemple, de taille suffisamment petite pour qu’on puisse y considérer la température comme uniforme) dont la température initiale est 20 °C.

On la met dans un bain-marie, c'est à dire dans un récipient contenant de l'eau maintenue à température constante de 80 °C.

La température ( )T t de cette préparation en fonction du temps suit la loi de Newton, décrite par

l’équation différentielle suivante :

(E) :T’(t) = – K(T(t) – 80) , K est un réel, fixé, strictement positif.

L’unité de temps est la minute !

1. Sans résoudre l’équation (E), donner le sens de variation de la fonction T. Justifier votre réponse.

2. a. Donner, en fonction de K, l’expression générale des solutions de l’équation (E). En utilisant la

donnée initiale,déterminer, en fonction de K et du temps t, la température ( )T t du ramequin.

3. En plongeant un thermomètre culinaire dans la préparation, on constate qu’au bout de 10 minutes la température est de 42,2 °C.

En déduire la valeur exacte de K et justifier votre résultat. Donner une valeur approchée de K à 410 près.

4. En choisissant cette valeur approchée pour K, déduire l’expression de la température ( )T t du

ramequin à l'instant t.

5. Dans un repère orthonormé , ,( )O i j  , on considère la courbe CT représentative de la fonction T

définie à la question 4. Justifier que CT admet une asymptote  quand ttend vers  et donner une équation de  .

6. La préparation est cuite à point lorsque la température atteint 65 °C. Pendant quelle durée d doit-on encore prolonger la cuisson après que l’on ait relevé la température de 42,2 °C . Justifier votre résultat.

4. Exercice 4 (9 points)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( , , ).O u v  Dans tout cet exercice, on désigne par z

le complexe conjugué de z, par z le module du complexe z et par arg(z) un argument de z (défini à

2 k près où k  ).

Soit F la fonction qui, à tout point M du plan, d’affixe z non nulle, associe le point M’ d’affixe z’ définie

par : 1

'z z

  .

1. a. Déterminer 'z en fonction de z .

b. Déterminer un argument de 'z en fonction d’un argument arg(z) de z.Que peut-on en déduire pour les points O, M et M’ ?

2. On considère le cercle  de centre O et de rayon 1. Soit M un point de  d’affixe z.

a. Déterminer 'z .

b. Quelle est l’image du cercle  par la fonction F ?

3. On appelle A et B les points d’affixes respectives 1 et –1 et C le cercle de centre A, contenant le point O. Soit M un point du plan d’affixe z.

a. Quelle relation doit vérifier z, pour que M appartienne à C ?

b. On suppose que M est un point du cercle C, différent de O. Calculer alors ' 1

'

z

z

 . On justifiera le

résultat. Comparer alors les longueurs BM et OM’. En déduire que M’ appartient à une droite fixe D, qu’on précisera.

c. Construire, sur la figure, les images 1M  et 2M  des points M1 et M2.

A

1

B

12

1 O

2M

1 M

C

d. Quelle est l’image du cercle C privé de O, par la fonction F ?

5. Exercice 4 (22 points)

PARTIE A

Soit la fonction f définie sur _ ; 1 1;[ ]] [   par 1

( ) 1

x e

f x x

 

 

.

On note fC sa courbe représentative dans un repère orthonormé , ,( )O i j  

.

1. a. Déterminer ' ( )f x et donner le tableau de variation de f en précisant les limites aux bornes de

l’ensemble de définition de f. Donner, dans ce tableau, la valeur de _( 1)f . Les valeurs données dans le

tableau seront exactes.

b. Donner les équations des droites asymptotes de la courbe fC .

2. Soit a un réel distinct de 1 et M le point de la courbe fC d’abscisse a. Déterminer, en fonction de a,

une équation de la tangente MT à la courbe fC , au point M.

PARTIE B

On considère l’intégrale suivante : 0

1

( )J f t dt

  .

L’objet de cette partie est d’encadrer l’intégrale J et non d’en calculer la valeur exacte.

1. Utiliser le tableau de variation de f vu à la question A. 1. a. pour justifier que l’on a : 1 1

2 J

e   .

2. On pose, pour tout entier naturel n : 1

0 1tn

nu t e dt

    .

a. Calculer u0.

b. Etablir une relation de récurrence entre un+1 et un à l’aide d’une intégration par parties dans un+1 où

l’on posera : 1( ) ng t t  et 1'( ) th t e  . On donnera le détail des calculs.

c. Calculer alors successivement 1 2 3 4, , ,u u u u et 5u sous la forme : 1

i i iu p q e   où pi et qi sont

deux entiers relatifs que l’on précisera, pour chaque ui dans un tableau.

3. Soit pour tout entier n, la somme : 0 1 2 ...n nS u u u u     .

a. Exprimer nS sous forme d’une intégrale du type : 0

1

1

( )t ne P t dt  

 où ( )nP t est un polynôme que l’on

précisera. Justifier alors que l’on peut écrire :  0 1 ... n n nJ u u u J S R       avec 0

1

1

( ) nnR f t t dt

  .

c. Calculer en fonction de n, l’intégrale : 0

1

1

n nI t dt

  .

4. a. En utilisant le tableau de variation de f, obtenu à la question A. 1. a., justifier que si n est impair,

pour tout  1 ; 0t  on a : 1 1 1 1 1

( ) 2

n n nt f t t t e

    , puis montrer que : 1 1

( 2) 2 ( 2) nR

e n n    .

b. Justifier que si n est pair, pour tout  1 ; 0t  on a : 1 1 1 1 1

( ) 2

n n nt f t t t e

    , puis montrer que :

1 1

2 ( 2) ( 2) nR

n e n    

  .

5. a. En détaillant le calcul, résoudre l’inéquation suivante, dans l’ensemble des entiers naturels :

1

1 1 1 ( ) :

2 ( 2) ( 2) 50 E

n e n   

et donner le plus petit entier naturel 0n qui vérifie 1( )E .

b. Justifier que l’on a : 4 4

1 1

12 6 S J S

e     .

Préciser les réels V et W de l’encadrement suivant, obtenu de façon

similaire : 5 5 1 1

S J S V W

   .

En utilisant le tableau de la question B. 2. c., calculer

0 1 2 3 44S u u u u u    et 0 1 2 3 4 55S u u u u u u      ,

sous forme : 4 1

S A B e

  et 5 1

S C D e

  , où A, B, C et D sont des entiers relatifs que l’on

précisera.

En déduire un encadrement de J, d’amplitude inférieure à 1

50 , par deux nombres décimaux. Expliquer

la démarche.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome