Sciences statistiques - Travaux pratiques 13, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 13, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 13 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Justifier la relation, Déterminer la loi de Gn.
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Terminale S

Terminale S mai 2004

Concours Geipi 2004

Correction : http://www.geipi.org/resultats-corriges/documents/correction-geipi04-27-mai-04- math.pdf

1-a : EXERCICE I - (12 points)

Partie A

On s’intéresse à la production d’un arbre fruitier donné. On sait que lors de l’année 2000, l’arbre a donné une bonne récolte.

Pour tout entier n , on note :

- Bn l’événement « l’arbre donne une bonne récolte durant l’année 2000 + n »,

- Mn l’événement « l’arbre donne une mauvaise récolte durant l’année 2000 + n ».

Si lors de l’année 2000 + n l’arbre donne une bonne récolte, l’année suivante, il donne une bonne récolte

avec la probabilité 1

3 et il en donne une mauvaise avec la probabilité

2

3 .

Si par contre lors de l’année 2000 + n l’arbre donne une mauvaise récolte, l’année suivante, il donne une

bonne récolte avec la probabilité 2

3 et il en donne une mauvaise avec la probabilité

1

3 .

1. On note PB(A) la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé.

Donner, pour tout entier n , les probabilités conditionnelles suivantes :

1( )B nnP B  , 1( )M nnP B  ,1( )B nnP M , 1( )M nnP M  .

2. Pour tout entier n , on note pn la probabilité de l’événement Bn et qn la probabilité de l’événement

Mn, c’est à dire : pn = P(Bn) et qn = P(Mn).

a. Donner p0 et q0.

b. Donner pour tout entier n , la valeur de pn + qn.

3. a. Pour tout entier n , déterminer les probabilités P(Bn+1Bn) et P(Bn+1Mn) en fonction de pn et de qn.

b. Soit n . Justifier la relation : 1 1 2

3 3 n n np p q   .

c. Pour tout entier n , déterminer les probabilités P(Mn+1Bn) et P(Mn+1Mn), en fonction de pn et de qn.

En déduire qn+1 en fonction de pn et de qn.

4. On pose : un = pn − qn, pour tout entier n .

a. On montre que la suite (un), n , est une suite géométrique de raison b et de premier terme u0. Préciser b et u0.

b. Pour tout entier n , expliciter un en fonction de n.

5. a. Déduire des questions 2. b. et 4., les expressions de pn et de qn en fonction de n.

b. Calculer lim n n

p 

et lim n n

q 

.

Partie B

L’exploitant agricole réalise en vendant la récolte de l’arbre fruitier considéré en première partie, un bénéfice qui est de :

- 200 euros si la récolte est bonne,

- 10 euros si la récolte est mauvaise.

Pour tout entier n , on note Gn la variable aléatoire représentant le gain en euros de l’agriculteur pour cet arbre lors de l’année 2000 + n.

1. Déterminer la loi de Gn.

2. Soit E(Gn) l’espérance de Gn. Justifier que 1

E( ) 105 95 3

n

nG  

     

.

3. Quelle est la somme totale S des gains que peut espérer obtenir l’agriculteur, pour les dix premières années de récolte sur cet arbre, de 2000 à 2009 ?

Donner la valeur exacte de S avec le détail du calcul, puis donner une valeur approchée à un euro près.

4- Calculer lim E( )n n

G 

. Justifier le résultat.

1-b : EXERCICE II - (10 points)

On considère l’espace rapporté à un repère orthonormé ( ; , ; )O i j k .

On appelle vecteur normal à un plan P de l’espace tout vecteur directeur d’une droite orthogonale à P.

Soit le plan P1 d’équation 2x + 3y − z = 0 et le plan P2 passant par le point A(0 ; 2 ; 1) et de vecteur

normal  2 4 ; 2 ; 1n  .

1. Déterminer une équation du plan P2.

2. a. Donner un vecteur 1n normal à P1. En utilisant les vecteurs 1n et 2n , justifier que les plans P1 et P2

sont sécants.

b. Déterminer un point E et un vecteur directeur u de la droite D intersection de P1 et de P2.

3. On considère le plan P d’équation : −2x + y = 0.

a. Donner un vecteur n normal au plan P.

b. Montrer que D est parallèle au plan P.

c. En utilisant les vecteurs n , 1n et 2n , justifier que les plans P et P1 sont sécants ainsi que les plans P et

P2.

4. a. Montrer que les points O et A1(1 ; 2 ; 8) appartiennent aux plans P et P1.

b. En déduire un système d’équations paramétriques de la droite D1, intersection des plans P et P1.

5. a. Montrer que A2(0 ; 0 ; −3) appartient aux plans P et P2.

b. Soit le vecteur v (1 ; 2 ; 8). Déterminer les produits scalaires .v n et 2.v n .

c. Donner un point et un vecteur directeur de D2, intersection entre les plans P et P2.

d. Quelle propriété vérifient les droites D1, D2 et D ? Justifier la réponse.

6. On considère le point M(2 ; −1 ; −1). On désigne par H(a ; b ; c) la projection orthogonale du point M sur le plan P.

a. Que peut on dire des vecteurs MH et n ?

b. Quelles relations en déduire pour les coordonnées a, b et c de H ?

c. Déterminer les coordonnées a, b et c de H.

1-c : EXERCICE III - (16 points)

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j . Pour tout entier naturel n, on considère

la fonction fn, définie sur par :

( ) 1

nx

n x

e f x

e

  

.

fn(x) =

On note Cn la courbe représentative de fn dans P.

Partie A

Dans cette partie, on étudie la fonction fn dans deux cas particuliers : n = 0 et n = 1.

1. Ecrire les expressions f0(x) et f1(x).

2. a. Calculer 0lim ( ) x

f x 

et 0lim ( ) x

f x 

.

b. Préciser les équations des asymptotes en  et en  à la courbe représentative C0 de f0.

3. a. Calculer f’0(x) où f’0 est la dérivée de f0. Dresser le tableau de variation de f0.

b. Déterminer une équation de la tangente TI à C0, au point 1

0 ; 2

I      

.

4. Tracer la courbe C0, ses asymptotes et la tangente TI.

5. a. Déterminer le réel a tel que, pour tout réel x,on ait : 1 0( ) ( )f x f x a   . On donnera le détail du

calcul.

b. En déduire la transformation géométrique simple par laquelle la courbe C1 représentative de f1 se déduit de C0.

c. Tracer alors en couleur C1 sur la figure de la question 4.

Partie B

On considère la suite (un), n , dont le terme général est donné par : 1

0

( )n nu f x dx  .

1. a. Justifier que u0 + u1 = 1 en donnant le détail du calcul.

b. Calculer u1. On donnera le détail du calcul.

2. a. Soit n un entier non nul. Calculer l’intégrale 1

0

nxI e dx  . On donnera le détail du calcul.

b. Justifier que pour tout entier naturel non nul n, on a : 1 1 n

n n

e u u

n

   .

3. a. Soit n un entier naturel quelconque et x un réel de [0 ; 1]. Quel est le signe de fn+1(x) − fn(x) ? Justifier la réponse.

b. En déduire alors le sens de variation de la suite (un), n .

4. Justifier que pour tout entier naturel n, on a un > 0.

5. Expliquer pourquoi la suite (un), n , admet une limite lorsque n tend vers  .

6. On note l la limite de la suite (un).

a. Calculer 1

lim n

n

e

n



 . Justifier le résultat.

b. En déduire l. Justifier le résultat.

1-d : EXERCICE IV - (14 points)

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

Partie A

1. Calculer   2

2 2i .

2. Soit le point A d’affixe 2 2Az i  et le point B d’affixe zB = ¡zA.

a. Ecrire zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer A et B sur la figure.

3. On désigne par C, l’image de B par la rotation de centre O et d’angle 2

 et par D l’image de C par la

rotation de centre A et d’angle 2

 .

a. Placer les points C et D sur la figure de la question 2. b.

b. Calculer l’affixe zC du point C sous forme algébrique. On donnera le détail du calcul.

c. Exprimer l’affixe zD du point D en fonction de zC et de zA. Justifier que 2 3 2Dz i  .

4. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

Partie B

Soient les points A et B d’affixes 2 2Az i  et B Bz izdéfinis dans la Partie A et le point E d’affixe

2 2Ez i   .

Pour tout réel m non nul, on considère le pointGm, barycentre du système {(A ; m), (B ; −2), (E ; 2)}.

1. Trouver une relation entre les vecteurs mAG et BE .

2. Dans cette question, on considère m = −4. Soit El’ensemble des points M du plan P qui vérifient :

4 2 2 4 2MA MB ME    .

a. En utilisant la question 1., écrire la relation existant entre les vecteurs 4AG et BE . Placer 4G sur la

figure de la question A. 2. b.

b. Montrer que A appartient à E.

c. Quel est l’ensemble E?

d. Construire Esur la figure de la question A. 2. b.

3. Dans cette question, on considère m = 2. Soit Fl’ensemble des points M du plan P qui vérifient :

 2 2 2 . 16MA MB ME DA    .

D est le point d’affixe 2 3 2Dz i  , défini à la question A. 3. c.

a. En utilisant la question B. 1., écrire la relation existant entre les vecteurs 2AG et BE . Déterminer

alors G2.

b. On montre que M est un point de Fsi et seulement si on a : 2 .MG DA aa un réel. Préciser le réel

a.

c. Montrer que A appartient à F.

d. On en déduit que M est un point de Fsi et seulement si on a : . .AD DA MD DA b  et .AM DA c , où

b et c sont deux réels. Préciser les réels b et c. Dans ce cas, que peut-on en déduire pour les vecteurs AM

et DA ?

e. Quel est l’ensemble F? Le tracer sur la figure de la question A. 2. b.

1-e : EXERCICE V - (8 points)

Pour déterminer l’âge de résidus organiques, on utilise la méthode basée sur la désintégration radioactive. Les êtres vivants absorbent et assimilent le carbone de l’atmosphère et on considère que leur organisme comporte une proportion constante de carbone 14. Après leur mort, la proportion de carbone 14 de leur organisme décroît lentement. Ainsi en déterminant la masse résiduelle de carbone 14 dans un échantillon d’un corps organique, on pourra évaluer approximativement l’âge de celui-ci.

On définit la fonction f qui donne la masse résiduelle f(t) de carbone 14 dans un échantillon à la date t.

Si f’ désigne la dérivée de la fonction f, f’(t) représente la « vitesse » de désintégration du carbone 14 à la date t. Cette vitesse est proportionnelle à la masse et vérifie l’équation différentielle :

(E) : f’(t) = −Cf(t)

C est un réel strictement positif.

On note m0, la masse initiale de carbone 14 contenue à la date t = 0, dans l’échantillon considéré. m0 est un réel strictement positif.

1. Déterminer f(t) en fonction de C et de m0.

2. On observe que la masse de carbone 14 diminue de 1,2 % par siècle. L’unité de temps est le siècle.

a. Déterminer C. On donnera le détail des calculs et la valeur exacte de C.

b. Donner une valeur approchée de C à 10−3 près.

3. On suppose qu’un corps organique contenait une masse m0 = 1 gramme de carbone 14 à la date t = 0.

3. a. Quelle masse m100 de carbone 14, contient-il au bout de 100 siècles ?

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 gramme près.

b. Quelle masse m1000 de carbone 14, contient-il au bout de 1000 siècles ?

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−6 gramme près.

4. On considère un corps organique contenant 0,1 gramme de carbone 14 à la date t = t1. Les géologues établissent que ce corps devait contenir 1 gramme de carbone 14 à la date t = 0.

a. Donner son âge t1. On donnera le détail des calculs et la valeur exacte de t1.

b. Donner une valeur approchée de t1 à un siècle près.

5. On appelle période du carbone 14 le temps T nécessaire pour que la quantité initiale m0 de carbone 14 soit à moitié désintégrée.

a. Déterminer la période du carbone 14. On donnera le détail du calcul et la valeur exacte de T .

b. Donner une valeur approchée de T à un an près.

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