Sciences statistiques - Travaux pratiques 14, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 14, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 14 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: le barycentre d’un système, les probabilités.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S mai 2005

Concours Geipi 3 heures

Correction sur

http://www.geipi.org/resultats-corriges/documents/math_web-reponses-18-mai-05.pdf

1. Exercice 1 (16 points)

Dans cet exercice on note ln(1,05)a  .

Soit f la fonction définie sur [0 ; [ par ( ) 16 16axf x e x   . Soit C la courbe représentative de f dans

un repère orthogonal ( ; , )O i j où l’unité sur l’axe (Ox) est 1 cm et l’unité sur l’axe (Oy) est 2 cm.

Partie A

1. Calculer f’(x) en fonction de a.

2. a. Résoudre l’équation '( ) 0f x  et donner sa solution x0 en fonction de a.

b. Donner une valeur approchée de x0 à 10−1 près.

c. Donner une valeur approchée de f(x0) à 10−1 près.

3. Calculer lim ( ) x

f x 

. Justifier votre réponse.

4. Déterminer, en fonction de a, une équation de la tangente T0 à la courbe C au point d’abscisse 0.

5. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; [ .

6. a. Justifier que l’équation f(x) = 0 admet une solution strictement positive que l’on notera  .

b. Montrer que l’on a l’encadrement 9 10  .

7. Préciser le signe de f(x) en fonction de x.

8. Tracer la courbe C, la tangente T0 et la tangente au point d’abscisse x0.

Partie B

Une personne a loué un studio à partir du 1er janvier 2000. Elle avait le choix entre deux contrats :

- Dans les deux cas le loyer initial valait 2 400 € pour l’année 2000.

- Avec le contrat n° 1, le locataire acceptait que, chaque année, le loyer annuel augmente de 150 € par rapport au loyer de l’année précédente .

- Avec le contrat n° 2, le locataire acceptait que, chaque année, le loyer annuel augmente de 5 % par rapport au loyer de l’année précédente .

1. On note un le loyer payé en euros pour l’année 2000 + n, lorsque le contrat n° 1 a été choisi.

a. Déterminer u0, u1, et u2.

b. Déterminer un en fonction de n.

2. On note vn le loyer payé en euros pour l’année 2000 + n, lorsque le contrat n° 2 a été choisi.

a. Déterminer v0, v1, et v2.

b. Déterminer vn en fonction de n.

3. a. Justifier que, pour tout entier n, on a ( )n nv u M f n   où M est un entier que l’on précisera.

b. Indiquer, suivant les valeurs de n, lequel des deux loyers un ou vn est le moins élevé.

4. Calculer, en fonction de n, la somme

0

n

n p

p

U u

 des loyers payés pour les années de 2000 à

2000 + n, lorsque le contrat n° 1 a été choisi.

5. Calculer , en fonction de n, la somme

0

n

n p

p

V v

 des loyers payés pour les années de 2000 à

2000 + n, lorsque le contrat n° 2 a été choisi.

6. La personne a choisi le contrat n° 1 au 1er janvier 2000 pour une durée de 13 ans (années 2000 à 2012).

A-t-elle fait le bon choix ? Justifier votre réponse.

2. Exercice 2 (6 points)

Soit ABC un triangle et soient les points A’, B’ et C’ définis de la façon suivante :

A’ est le symétrique de B par rapport à C,

B’ est le symétrique de C par rapport à A,

C’ est le symétrique de A par rapport à B.

Partie A

On donne le triangle ABC.

1. Construire les points A’, B’ et C’ sur la figure donnée ci-dessous.

2. Déterminer deux réels b et c tels que A’ soit le barycentre du système {( ; ) ;( ; )}B b C c .

3. De même B’ est le barycentre d’un système de deux points affectés de coefficients. Lequel ? Même question pour le point C’.

A

BC

y

j

i xO

Partie B

Dans cette partie on connaît le triangle ABC’. on se demande comment retrouver le triangle ABC à partir du triangle ABC’.

1. Justifier que le vecteur 2 ' 4 ' 'AA AB AC  est nul.

2. Déterminer les réels a’, b’ et c’ tels que A soit le barycentre des points A’, B’ et C’ affectés des coefficients a’, b‘ et c’.

3. Construire A sur la figure donnée ci-dessous en faisant les traits de construction en couleur.

En utilisant une autre couleur, construire ensuite les points B et C et tracer le triangle ABC.

B'

A'

C'

j

i xO

3. Exercice 3 (11 points)

Si E et F désignent deux événements quelconques, on note p(E) la probabilité de l’événement E, pF(E) la probabilité conditionnelle de E sachant que l’événement F est réalisé.

Partie A

Un forain propose le jeu suivant : une urne contient une boule blanche et une boule noire, indiscernables au toucher. Le joueur tire une boule de l’urne.

Si elle est noire, il la remet dans l’urne et le forain ajoute une boule noire identique. Le joueur recommence de la même façon jusqu’à ce qu’il tire la boule blanche. Lorsqu’il obtient la boule blanche le jeu s’arrête et le joueur gagne un lot.

Pour tout entier n, on note les événements suivants :

Bn : « le joueur a tiré la boule blanche au nième tirage »,

Nn : « le joueur a tiré une boule noire au nième tirage ».

1. Déterminer les probabilités 1(B )p et 1(N )p .

2. Sachant qu’au premier tirage le joueur a tiré une boule noire, déterminer les probabilités N 21 (B )p et

N 21 (N )p .

3. Déterminer les probabilités 1 2(N B )p  et 1 2(N N )p  .

4. Sachant que le joueur a tiré une boule noire aux premier et deuxième tirages, déterminer les probabilités N N 31 2 (B )p  et N N 31 2 (N )p  .

5. a. Déterminer la probabilité P que le joueur gagne un lot au troisième tirage.

b. Déterminer la probabilité Q que le joueur tire trois fois de suite une boule noire.

6. Soit n un entier naturel non nul. Sachant que le joueur a tiré n boules noires déterminer les

probabilités N .... N 11 (B )nnp    et N .... N 11 (N )nnp    .

Partie B

Le forain propose ce même jeu au prix de 15 euros la partie − une partie donnant droit à trois tirages au maximum − et il offre alors au joueur :

10 euros s’il tire la boule blanche au premier tirage,

20 euros s’il tire la boule blanche au deuxième tirage,

40 euros s’il tire la boule blanche au troisième tirage.

Soit G la variable aléatoire représentant la somme remise au joueur à la fin de la partie.

1. Quelle est la probabilité que cette somme G soit nulle ?

2. Donner le tableau de la loi G.

3. Déterminer l’espérance de gain E(G) du joueur.

4. Quel devrait être le prix p de la partie pour qu’en moyenne le joueur ne perde pas d’argent à ce jeu ?

Le propriétaire du jeu désire attirer davantage de clients. Le prix de la partie reste 15 euros mais le gain sera supérieur :

a euros s’il tire la boule blanche au premier tirage,

2a euros s’il tire la boule blanche au deuxième tirage,

4a euros s’il tire la boule blanche au troisième tirage.

On note Ga la variable aléatoire représentant la somme remise au joueur à la fin de la partie.

5. a. Calculer l’espérance de gain E(Ga) du joueur.

b. Quel doit être le montant maximum amax de a pour que le propriétaire ne perde pas d’argent en moyenne ?

4. Exercice 4 (15 points)

Premier rappel

r

On considère un disque de centre  et de rayon r. L’aire du secteur circulaire D E tel que l’angle D E

mesure  radians est égale à 2 1

2 r .

Deuxième rappel

Pour tous les réels a et b, on a :

cos( ) cos cos sin sina b a b a b  

sin( ) sin cos sin cosa b a b b a   .

Partie A

Soit  un réel.

1. Exprimer cos(2 ) et sin(2 ) en fonction de cos et sin .

2. Justifier que 2cos(2 ) 2cos 1   .

Partie B

On considère un disque (D) de centre O et de rayon R délimité par le cercle (C). Soit A un point de (C). Le but de l’exercice est de tracer un cercle (C’) de centre A qui partage le disque (D) en deux parties de même aire.

B'

R

(C')B

(C)

A O

On désigne par B et B’ les points d’intersection des cercles (C) et (C’) et on désigne par  la mesure en

radians, comprise entre 0 et 2

 de l’angle OAB .

1. Montrer que le rayon AB du cercle (C’) vérifie 2 cosAB R  .

2. a. Déterminer une mesure en radians de l’angle AOB , en fonction de  .

b. En déduire l’aire, en unités d’aires, du secteur circulaire AOB du disque (D) en fonction de  .

3. a. Calculer l’aire, en unités d’aire, du triangle OAB, en fonction de  et de R.

b. Déterminer l’aire, en unités d’aire, de la partie grisée de la figure ci-dessus, en fonction de  et de R.

4. On désigne par (D’) le disque de centre A et de rayon AB, délimité par le cercle (C’).

Calculer en fonction de  et de R, l’aire du secteur circulaire 'BAB du disque (D’).

5. En déduire l’aire commune Acom aux deux disques (D) et (D’), en fonction de  et de R.

6. A l’aide des questions A. 1. et A. 2., montrer que (C’) partage le disque (D) en deux parties de même aire si, et seulement si,  vérifie :

2 cos(2 ) sin(2 ) 0 2

      .

La partie C peut être traitée indépendamment du reste de l’exercice.

Partie C

On considère la fonction définie sur 0 ; 2

    

par ( ) 2 cos(2 ) sin(2 ) 2

g x x x x

   .

1. Déterminer g’(x).

2. Résoudre dans 0 ; 2

    

l’équation '( ) 0g x  .

3. a. Etudier le signe de g’(x) sur 0 ; 2

    

. Justifier la réponse.

b. Dresser le tableau de variation de g sur 0 ; 2

    

. On précisera g(0) et 2

g      

.

4. En déduire l’existence d’un unique réel 0 de 0 ; 2

    

solution de g(x) = 0.

5. Déterminer un encadrement de 0 d’amplitude 10 −2.

Partie D

Soit un disque (D) de rayon R = 3 cm, délimité par un cercle (C). Soit A un point de (C). On considère le cercle (C’) de centre A, de rayon r, qui partage le disque (D) en deux parties de même aire.

1. a. Donner la valeur exacte de r.

b. Donner une valeur approchée à 10−1 près de r.

2. Tracer le cercle (C’).

5. Exercice 5 (12 points)

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On dit qu’une fonction f

définie de dans est involutive si, pour tout complexe z de , on a :

 ( )f f z z

f f désigne la fonction composée de f avec f. Dans tout cet exercice, si z désigne un complexe, on

notera z son complexe conjugué.

Partie A

Soient A et B deux nombres réels. On considère la fonction F définie de dans par ( )F z Az Bz  .

1. Calculer F(1) et F(i).

2. Supposons que, pour tout complexe z, on a F(z) = 0. Montrer que l’on a alors A = B = 0.

3. Déterminer A et B pour que, pour tout complexe z, on ait F(z) = z.

Partie B

Soient a et b deux nombres réels. On considère la fonction ,a bf définie de dans par

, ( )a bf z az bz  .

1. Exprimer, pour tout complexe z, , ,( )( )a b a bf f z .

2. La fonction ,a bf est involutive si, et seulement si, a et b vérifient un système de deux équations.

Donner ce système.

3. Déterminer toutes les fonctions ,a bf involutives.

Partie C

On considère dans cette partie la fonction g définie de dans par :

4 2

( (1 ) 2

i

g z e z i z

   .

1. La fonction g est-elle involutive ? Justifier votre réponse.

Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z x iy  . On considère le point M’ d’affixe ' ' 'z x iy  tel

que ' ( )z g z .

2. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y.

3.a. Donner le système des deux équations que doivent vérifier x et y pour que M’ = M.

b. On note  l’ensemble des points M du plan tels que M’ = M. Justifier que  est la droite d’équation

( 2 1)y x  . Donner un vecteur directeur u de  .

4. Montrer que, pour tout point M du plan, le vecteur 'MM est orthogonal à u .

5. a. Déterminer les coordonnées xI et yI du milieu I du segment [MM’].

b. Montrer que I appartient à  .

6. Par quelle transformation géométrique simple le point M’ se déduit-il du point M ?

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