Sciences statistiques - Travaux pratiques 15, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 15, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 15 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Reprèsenter la courbe représentative de f, Donner la probabilité.
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Les suites de Michel Mendès-France

Terminale S mai 2006

Concours Geipi et ENI

Correction sur

http://www.geipi.org/resultats-corriges/documents/2006/corriges/corrige-math-matin.pdf

Première épreuve (1 h 30), Geipi uniquement

1. Exercice 1 (7,5 points)

On considère la fonction f définie sur  0 ;  par :   ln x

f x x

 . Soit Cf la courbe représentative de f

dans un repère orthogonal ( ; , )O i j .

Partie A

1. Calculer   0

lim x

f x 

et  lim x

f x 

.

2. a. Déterminer la dérivée f’ de f.

b. Dresser le tableau de variation de f sur  0 ;  . Préciser  1f et  f e .

c. En déduire que f admet un maximum M que l’on précisera.

3. Tracer la courbe Cf. On placera avec soin les points de Cf d’abscisses respectives 1 et e.

4. Donner, suivant les valeurs de x appartenant à  0 ;  le signe de  f x .

5. Soit A un réel. On veut déterminer, suivant les valeurs de A, le nombre de solutions de l’équation

 f x A . Distinguer les différents cas et préciser, pour chacun d’eux, le nombre de solutions

appartenant à chaque intervalle  0 ;1 ,  1 ; e ou  ;e  .

Partie B

Soit a un réel strictement positif. On se propose dans cette partie de déterminer tous les réels x,

strictement positifs, qui vérifient l’inéquation  aE suivante :

  : x aaE a x .

1. Justifier que l’inéquation x aa x est équivalente à l’inéquation    f a f x .

2. On suppose dans cette question que a e .

a. En utilisant la partie A, donner l’ensemble des solutions S1 des solutions de l’inéquation   : x eeE e x .

b. Sans les calculer, comparer e et e . Justifier la réponse.

3. On suppose dans cette question que 0 1a  . Quel est le signe de  f a ? En utilisant la partie A,

donner l’ensemble des solutions S2 des solutions de l’inéquation   : x aaE a x en fonction de a.

4. On suppose dans cette question que 1a  et a e .

a. En utilisant la partie A, expliquer pourquoi l’équation   ln a

f x a

 admet deux solutions a1 et a2 qui

vérifient 1 21 a e a   . On remarquera que l’une des solutions a1 ou a2 est égale à a.

b. Donner alors l’ensemble des solutions S3 des solutions de l’inéquation  aE en fonction de a1 et a2.

5. Application : on suppose dans cette question que a = 2.

a. Déterminer l’entier naturel n, différent de 2, tel que    2f n f .

b. En déduire l’ensemble des solutions S4 des solutions de l’inéquation   22 : 2 xE x .

2. Exercice 2 (7 points)

Ariane et Benjamin échangent des balles au ping-pong. Soient les événements suivants :

A : « Ariane marque le point », B : « Benjamin marque le point ».

Ariane étant légèrement plus expérimentée que Benjamin, la probabilité qu’elle marque un point est

  53

P 100

p A  .

Ils décident d’engager une partie selon les modalités suivantes :

- Le joueur qui gagne un set est le premier qui marque deux points, consécutifs ou non.

- La partie s’arrête dès qu’un des deux deux joueurs a remporté trois sets, consécutifs ou non. On dit alors que ce dernier a gagné la partie.

Partie A

Dans cette partie on étudie la probabilité pour Ariane de « gagner un set ».

1. Dans un échange de balles, quelle est la probabilité q que Benjamein marque le point ?

2. Faire un arbre donnant tous les événements élémentaires (au bout de trois points un des deux joueurs a forcément gagné le set).

3. Donner la probabilité P1 qu’Ariane marque les deux premiers points.

4. Donner la probabilité P2 qu’Ariane gagne le set, Benjamin ayant marqué un point.

5. Donner la probabilité P3 qu’Ariane gagne le set. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près.

Partie B

On étudie maintenant la probabilité pour Ariane de gagner la partie (trois sets gagnés consécutifs ou non). Tous les sets sont joués dans des conditions identiques et indépendantes. Pour le jeu d’un set, on note les événements suivants :

S : « Ariane gagne le set », E : « Ariane perd le set ».

On suppose que pour chaque set, les probabilités de ces événements sont :

 P 0, 545P S  et  P 0, 455Q E  .

1. Finir le dessin de l’arbre des événements élémentaires et le compléter.

2. Donner en fonction de P la probabilité T1 qu’Ariane gagne les trois premiers sets.

3. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T2 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté un set.

4. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T3 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté deux sets.

5. a. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T qu’Ariane gagne la partie.

b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité T.

6. a. Déterminer en fonction de P et Q, la probabilité H qu’Ariane gagne la partie, sachant que Benjamin a remporté le premier set.

b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité H.

Partie C

On suppose maintenant que chaque joueur gagne 10 euros pour chaque set gagné et perde 10 euros pour chaque set perdu. Ariane et Benjamin engagent une partie dans les mêmes conditions que précédemment. On note GA la variable aléatoire représentant le gain d’Ariane à la fin de la partie et GB la variable aléatoire représentant le gain de Benjamin à la fin de la partie. Ces gains peuvent être positifs ou négatifs.

1. Donner le tableau représentant la loi de probabilité de GA. On donnera les probabilités en fonction de P et Q.

2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’espérance de gain E(GA) d’Ariane à l’issue de la partie.

3. Donner en fonction de E(GA) l’espérance de gain E(GB) de Benjamin.

3. Exercice 3 (5,5 points)

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j .

Pour tous les vecteurs u et v du plan on note u v le réel égal au produit scalaire des vecteurs u et v .

On considère un vecteur unitaire k du plan, c’est-à-dire tel que 2

1k k k  et la droite D passant par

O et de vecteur directeur k .

On rappelle qu’un point N du plan appartient à la droite D s’il existe un réel xN tel que NON x k .

Pour tout point M du plan on note  M OM k  .

Partie A

1. Déterminer l’ensemble F de tous les points M du plan qui vérifient   0M  .

2. Soit N un point quelconque de la droite D et réel xN tel que NON x k . Déterminer  N en

fonction de xN.

Partie B

On considère la transformation f du plan dans lui-même qui, à tout point M, associe le point M’ = f(M)

défini par :  ' 2OM M k OM  .

1. Déterminer l’image N’ d’un point quelconque N de la droite D. Justifier la réponse.

2. Soit M un point quelconque du plan, M’ son image par f et IM le milieu du segment [MM’].

a. Exprimer le vecteur MOI en fonction des vecteurs OM et 'OM et montrer que IM appartient à la

droite D.

b. Déterminer  'M en fonction de  M . On fera le détail du calcul.

c. En déduire l’image  '' 'M f M de M’.

d. Montrer que le vecteur 'MM est orthogonal à k .

3. En déduire la nature de la transformation f.

_________________________________________________________________ ___________________________

Deuxième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)

QCM, 5 réponses proposées, une seule réponse est correcte sur les cinq. Chaque bonne réponse vaut 1 point. Une réponse fausse ou multiple coûte 0,25 point.

Correction : http://www.geipi.org/resultats-corriges/documents/2006/corriges/corrige-QCM-math.pdf

Question 1 On considère l’équation différentielle avec condition initiale suivante :    

1 1 '

4 2

0 3

y y E

y

   

  

.

A. (E) admet pour solution : 2 1xy x e  . B. (E) admet pour solution

1

4 1

: 2

x

y x Ce

 où C

est un réel quelconque.

C. (E) admet pour solution

1

4: 3 x

y x Ce  où C

est un réel quelconque.

D. (E) admet pour unique solution

1

4: 2 x

y x e

 .

E. (E) admet pour unique solution

1

4: 2 4 x

y x e

  .

Question 2

Dire quel est l’ensemble S des solutions de l’inéquation suivante :   1

2 ln 2 ln 3 ln 2 2

x x  

      

.

A.  0 ; 2S  . B. 1

; 2 2

S      

. C.  0 ;12S  . D.   1

; 0 2 ;12 2

S       

. E. 1

; 0 2

S      

.

Question 3

Une urne contient six boules dont cinq boules rouges et une boule noire. On effectue au hasard des tirages successifs et sans remise d’une boule et on s’arrête dès qu’on a tiré une boule noire. Quelle est la probabilité P d’avoir à effectuer six tirages avant de s’arrêter ?

A. 1P  . B. 5

6 P  . C.

1

36 P  D.

6

1

6 P  E.

1

6 P  .

Question 4 Dire quel est l’ensemble S des solutions complexes de l’équation suivante : 2 5 7z z i   .

A.  ,S a i a   . B. 3

3

i S

      

. C. 3

3

i S

      

D. 3 3

; 3 3

i i S

       

. E. 1 , 3

b S i b        

.

Question 5 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère le plan P d’équation

2 13x y z   . Le point A a pour coordonnées  1, 0, 1 et le point B a pour coordonnées  2, 1, 3 . La

droite (AB) et le plan P admettent pour intersection :

A. Le point

 0, 8, 5I .

B. Le point

 3, 2, 5I .

C. Le point

 1, 1, 2I . D. L’ensemble vide. E. La droite (AB).

Question 6

Une intégration par parties permet de calculer l’intégrale 1

ln e

I x xdx  . Quelle est la valeur de I ?

A. 2 1

2 4

e I   . B. 0I  . C.

2 1

4

e I

  D.

1

4 I   E. 1I  .

Question 7

Soit la fonction définie sur par    3 2 xg x x e  . Parmi ces cinq expressions, laquelle correspond à

une primitive de g ?

A.  2( ) 3 xG x x x e   . B.  ( ) 2 1 xG x x e  . C.  ( ) 2 5 xG x x e  D.  ( ) 5 2 xG x x e 

E.  ( ) 1 2 xG x x e  .

Question 8

On considère l’équation (E) : cos sinx x  . Une de ces cinq affirmations est exacte. Laquelle ?

A. (E) admet une solution dans 3

; 2 2

 

    

. B. (E) admet quatre solutions dans  0 ; 2 .

C. (E) admet pour solution 3

4

  dans  ; 0 . D. (E) a deux solutions opposées dans  ;  .

E. La différence entre deux solutions distinctes de (E) est toujours égale à 2k , k entier relatif.

Question 9

Soit la suite  n nu  définie par 0

1

0

2 3

4

n n

n

u

u u

u

 

  

pour tout n entier naturel. La suite  n nv  définie par

1

3

n n

n

u v

u

  

est une suite géométrique de raison q. Que vaut q ?

A. 3

4 q  . B. 2q  . C.

1

3 q   . D.

1

5 q  . E. 2q   .

Question 10

Voici la courbe représentative d’une fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.

A. La dérivée f‘ de f est impaire. B. 3

2 ( )

1

x f x

x

 . C.

 

2

2 2

1 '( )

1

x f x

x

 

.

D.

 

2

2 2

1 '( )

1

x f x

x

 

. E.  lim 1 0x x

f e 

  .

Troisième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)

Correction : http://www.geipi.org/resultats-corriges/documents/2006/corriges/corrige-sujet4- math.pdf

4. Exercice 1 (3,5 points)

Soit la fonction g définie sur par   x x

x x

e e g x

e e

  

. On note Cg sa courbe représentative dans le plan

rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Montrer que g est impaire.

2. a. Montrer que, pour tout réel x, on a   2

2

1

1

x

x

e g x

e

  

.

b. Calculer  lim x

g x 

. Justifier la réponse.

3. a. Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote 1 au voisinage de  .

b. En utilisant la question 1., déduire que Cg admet une droite asymptote 2 au voisinage de  dont

on donnera une équation.

4. a. Montrer que pour tout réel x, ona   1g x  .

b. Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes 1 et 2 .

5. a. Déterminer g’(x), où g’ désigne la dérivée de g.

b. Donner le tableau de variation de g sur .

6. Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.

7. Tracer Cg, les asymptotes 1 et 2 et la tangente T0.

5. Exercice 2 (6,5 points)

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v .

Partie A

On considère la transformation T qui, à tout point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z

défini par : 2 2

' 2 2

z iz  .

1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe b de l’unique point invariant B par T.

2. On suppose que M est différent de B et on pose 'z b

Z z b

  

.

a. Déterminer le réel R tel que Z iR .

b. Déterminer un argument et le module de Z.

c. En déduire une mesure de l’angle  , 'BM BM et une expression de la distance BM’ en fonction de BM.

Partie B

Soit  un nombre complexe et A le point d’affixe  . On considère la transformation T qui, à tout

point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ défini par :     2 2

' 1 2 2

z i z     .

1. On suppose dans cette question que 2 i   .

a. Déterminer l’affixe du vecteur 'MM .

b. En déduire que 2

T i est une transformation géométrique simple dont on donnera les éléments

caractéristiques.

2. a. Il existe une valeur 1 pour laquelle 1T est une rotation de centre O. Quelle est cette valeur ?

b. Déterminer alors l’angle 1 de la rotation 1T .

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