Sciences statistiques - Travaux pratiques 16, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 16, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 16 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les dérivées première et seconde de g. la loi de probabilité de la variable aléatoire D.
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Concours Geipi-Eni 2006

Terminale S mai 2007

Concours Geipi et ENI

Correction sur

http://www.geipi.org/resultats-corriges/index.htm

Première épreuve Geipi et ENI

1. Exercice 1 (10 points)

Soit la fonction f définie sur par :    1 xf x x e  .

On note Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j .

I-1-a- Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

I-1-b- En déduire que f admet une asymptote  au voisinage de  dont on donnera une équation.

I-2-a- Déterminer f ’(x) où f ’ est la dérivée de f.

I-2-b- Compléter le tableau des variations de f.

I-3-a- Déterminer une équation de la tangente T1 au point A d'abscisse 1 de la courbe Cf et une équation de la tangente T−1 au point B d'abscisse −1.

I-3-b- Expliquer pourquoi l'on peut affirmer que les tangentes T1 et T−1 sont perpendiculaires.

I-4- On se propose d'étudier la position de Cf par rapport à T−1.

Pour cela, on considère la fonction g définie sur par :     3

1 x x

g x x e e

     

  .

I-4-a- Déterminer  'g x et  ''g x où 'g et ''g sont les dérivées première et seconde de g.

I-4-b- Etudier le signe de ''g et le sens de variation de 'g . Préciser la valeur de  ' 1g  .

Etudier le signe de 'g et le sens de variation de g. Préciser la valeur de  1g  .

Enfin donner le signe de g.

I-4-c- Indiquer alors la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T−1.

I-5- Tracer l'asymptote  , les tangentes T1 et T−1 et la courbe Cf.

Pour tracer ces courbes, on considèrera les valeurs approchées suivantes : 2,7e ; 1

0,4 e  .

2. Exercice 2 (4 points)

Pour descendre du sommet S d'une montagne, des skieurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. Ils doivent impérativement passer par l'un des deux restaurants se trouvant tous les deux à 2200 mètres d'altitude. Les deux restaurants ne sont pas situés sur le même versant de la montagne. On les nomme R1 et R2.

Après la pause repas, pour atteindre le village V qui se trouve à 1100 m d'altitude, les skieurs ont deux possibilités : ils peuvent descendre directement au village ou faire une halte au restaurant R3 qui se trouve à 1800 m d'altitude, pour prendre un café.

La probabilité que les skieurs choisissent de passer par R1 est égale à 1

3 .

En partant de R1, la probabilité que les skieurs descendent directement au village est égale à 3

4 .

En partant de R2, la probabilité que les skieurs descendent directement au village est égale à 2

3 .

II-1- Dresser un arbre représentant tous les trajets possibles du sommet S au village V.

II-2-a- Déterminer la probabilité P1 que les skieurs prennent un café au restaurant R3, sachant qu'ils ont déjeuné ensemble au restaurant R1.

II-2-b- Déterminer la probabilité P2 que les skieurs prennent un café au restaurant R3.

II-2-c- Déterminer la probabilité P3 que les skieurs aient déjeuné au restaurant R1, sachant qu'ils ont pris un café au restaurant R3.

II-3- Les distances en kilomètres entre les différents points sont :

SR1 = 5 ; SR2 = 4 ; R2R3 = 4,5 ; R1R3 = 4 ; R3V = 2 ; R1V = 5,5 ; R2V = 6 (cf. figure ci-dessus).

Soit D la variable aléatoire représentant la distance parcourue par les skieurs pour aller du sommet S au village V.

D¶eterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire D.

3. Exercice 3 (6 points)

On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère les trois points non alignés A, B, C suivants, donnés par leurs coordonnées :

A(1 ; 0 ; −1) B(3 ; −1 ; 2) C(2 ; −2 ; −1);

et le point E de coordonnées : E (4 ; −1 ; −2).

III-1-a- Montrer que la droite (CE) est orthogonale à la droite (AB) et à la droite (AC).

III-1-b- En déduire une équation cartésienne du plan P passant par A, B et C.

III-1-c- Calculer la distance d(E ; P) du point E au plan P.

III-2- Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (AE).

III-3- On considère la droite D dont un système d’équations paramétriques est :

0

2 ,

1

x

y t t

z t

    

   

.

III-3-a- Donner un point J et un vecteur directeur w de D.

III-3-b- Expliquer pourquoi la droite D est contenue dans le plan P.

III-4-a- Déterminer le point M de D tel que les vecteurs EM et  0 ;1 ;1v soient orthogonaux.

III-4-b- En déduire la distance d(E ; D) du point E à la droite D.

_________________________________________________________________ ___________________________

Deuxième épreuve Geipi

4. Exercice 1 (7 points)

On considère la suite de réels  n nu  définie par :

0

1

3

1 3

2 n n

n

u

u u u

 

      

pour tout n .

Le but de l'exercice est de montrer que la suite  n nu  converge vers 3 .

Partie A

On étudie dans cette partie la fonction f définie sur  par :   1 3

2 f x x

x

      

, pour tout x > 0.

Soit Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j .

I-A-1- Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

I-A-2-a- Calculer f ’(x) où f ’ est la dérivée de f.

I-A-2-b- Dresser le tableau des variations de f.

I-A-2-c- En déduire que f admet un minimum m que l'on précisera.

I-A-3-a- Calculer   1

lim 2x

f x x 

   

  .

I-A-3-b- En déduire que Cf admet, au voisinage de  , une asymptote  dont on donnera une équation.

I-A-4-a- Donner l'expression de  f x x en fonction de x.

I-A-4-b- Etudier le signe de  f x x en fonction de x > 0.

I-A-5- Tracer la droite D d’équation y = x, la droite  et la courbe Cf.

Partie B

I-B-1- En utilisant la Partie A, montrer que pour tout entier n, on a : 3nu  .

I-B-2- En utilisant la Partie A et la question I-B-1- , expliquer pourquoi la suite  n nu  est décroissante.

I-B-3-a- Expliquer alors pourquoi la suite  n nu  admet une limite réelle. On note l cette limite.

I-B-3-b- Justifier que 3l  .

5. Exercice 2 (4 points)

On se propose dans cet exercice de résoudre l’équation suivante dans :

(E) :  2 2 2 21 0x xx e e x e     .

II-A-1-a- Mettre 2xe en facteur dans le membre de gauche de l’équation (E).

II-A-1-b- Déterminer l'expression de X en fonction de x pour que l’éequation (E) soit équivalente à l’équation (E0) suivante :

(E0) :  2 2 21 0X e X e    .

II-A-2-a- Déterminer le réel b pour que l'on ait :

    2 22 21 4 1e e b    .

II-A-2-b- Déterminer alors les deux solutions réelles X1 et X2 de l’équation (E0).

II-A-3- En déduire que x est une solution de (E) si et seulement si x vérifie une des équations :

 g xx e

 ou   h x

x e

g et h sont des fonctions que l'on déterminera. Justifier la réponse.

II-A-4- On considère dans un repère orthonormé ( ; , )O i j , la courbe C1 d’équation xy e .

II-A-4-a- Par quelle transformation géométrique simple la courbe C2 d’équation xy e  se déduit-elle

de C1 ?

II-A-4-b- Par quelle transformation géométrique simple la courbe C3 d’équation 2 xy e  se déduit-elle

de C1 ?

II-A-4-c- Tracer l'allure des courbes C2, C3 et la droite D d’équation y = x.

II-A-5- Déterminer graphiquement, à l'aide de la question II-A-4-c-, le nombre de solutions de l’équation (E). Justifier la réponse.

6. Exercice 3 (5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v , on considère les points A, B, C

et F d'affixe respective :

zA = 4 + 4i ; zB = 4 ; zC = 7 ; zF = 4 + 3i.

On désigne par E le point d'intersection des droites (AC) et (OF).

Partie A

III-A-1- Faire une figure complète.

III-A-2-a- Calculer F

A C

z

z z sous forme algébrique.

III-A-2-b- Que peut-on déduire de la question III-A-2-a-, pour les droites (OF) et (AC).

Justifier la réponse.

III-A-3- On veut vérifier que le point F est le barycentre du système de points pondérés

{(O ; 3) ; (A ;  ) ; (C ; 25  )},

où  est un réel.

III-A-3-a- Exprimer le vecteur OF en fonction de  , OA et OC .

III-A-3-b- Déterminer la valeur de  .

III-A-4- Le point E d'intersection des droites (AC) et (OF) est barycentre du système     ; ; ; 4A C . Déterminer la valeur de  .

Partie B

On considère les cercles suivants :

- Le cercle C1, circonscrit au triangle BOF, de centre 1 et de rayon r1.

- Le cercle C2, circonscrit au triangle OEC, de centre 2 et de rayon r2.

- Le cercle C3, circonscrit au triangle ABC, de centre 3 et de rayon r3.

- Le cercle C4, circonscrit au triangle AEF, de centre 4 et de rayon r4.

III-B-1- Donner les affixes z1, z2, z3 et z4 des points 1 , 2 , 3 et 4 .

Calculer r1, r2, r3 et r4.

III-B-2- Calculer 3 4z z et 2 1z z sous forme algébrique. Que peut-t-on en déduire pour le quadrilatère

1 2 3 4    ?

III-B-3- Calculer 3 4

1 4

z z

z z

 sous forme algébrique.

Que peut-t-on en déduire pour le quadrilatère 1 2 3 4    ?

7. Exercice 4 (4 points)

On se propose de déterminer toutes les fonctions f, définies sur , qui sont solutions de l’équation différentielle suivante :

(E) :     3

3 ' 3

1 x f x f x

e  

et qui vérifient : f(0) = 0.

Soit une fonction f, définie sur , solution de l’équation diifférentielle (E). On désigne par 'f sa

dérivée.

On note h la fonction définie sur par :    3xh x e f x . On désigne par 'h la dérivée de h.

IV-1-a- Exprimer  'h x en fonction de  'f x et de  f x , pour tout réel x.

IV-1-b- Expliquer pourquoi la dérivée 'h de h vérifie, pour tout réel x :   3

3

3 '

1

x

x

e h x

e

  

.

IV-2- Déterminer alors toutes les fonctions h possibles. On justifiera la réponse.

IV-3- En déduire toutes les fonctions f solutions de (E).

IV-4- Déterminer la fonction f0, solution de (E), qui vérifie  0 0 0f  .

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