Sciences statistiques - Travaux pratiques 17, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 17, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 17 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: l’espace rapporté au repère, l’ensemble S des réels.
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Concours Geipi-Eni 2006

Terminale S mai 2008

Concours Geipi et ENI

Correction sur http://www.geipi.org/resultats-corriges/index.htm

Première épreuve Geipi et ENI

1. QCM de mathématiques

Une bonne réponse par question, durée conseillée 1 h 30.

Question 1 (1,5 points)

Un élève se présente à deux concours C1 et C2. Ces deux concours sont indépendants. Il a une chance sur trois de réussir C1 et une chance sur trois de réussir C2.

Pensant augmenter ses chances de réussite, l’élève décide de passer les deux concours. Quelle probabilité P a-t-il de réussir au moins un concours ?

A : 2

3 P  B :

5

9 P  C :

2

9 P  D :

4

9 P  E :

1

9 P

Question 2 (1 point)

Donner le domaine de définition D de la fonction f suivante :    

1

ln 1

x f x

x

 

 .

A : *D  D :  1 ;D  

B :    1 ; ;D e e   E :    1 ; 2 2 ;D   

C :  2 ;D  

Question 3 (1 point)

On tire au hasard une boule dans une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On note X la varaiable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée.

Donner la valeur de l’espérance mathématique E(X) de X.

A :  E 1X  D :   1

E 10

X

B :   11

E 2

X  E :  E 5X

C :  E 11X

Question 4 (1 point)

La suite  n nw  définie par 5 2

5 2

n n

n n n w

 

 pour tout n entier naturel, vérifie :

A : lim n n

w 

  D : La suite  n nw  n’a pas de limite

B : lim 0n n

w 

 E : lim 1n n

w 

 

C : lim 1n n

w 

Question 5 (1,5 point)

On considère dans l’espace rapporté au repère ( ; , , )O i j k les deux plans suivants :

P1 : 2 3 1 0x y z    P2 : 2 0x y   .

Donner l’équation du plan passant par le point O et contenant la droite d’intersection de P1 et P2.

A : 2 0x y z   D : 3 0x y x   

B : 0x y  E : 2 0y z 

C : 2 3 0x y z  

Question 6 (1,5 point)

On considère pour tout entier 1n  l’intégrale 1

2

0

n x nI x e dx  .

Une intégration par parties permet de trouver une relation entre nI et 1nI  . Quelle est cette relation ?

A : 2

1 2 2

n n

e n I I   D :

2

1

1

4 2 n n

e n I I

  

B : 2

1 2 2

n n

e n I I   E :

2

1 2 2

n n

e n I I C   , C

C : 2 12 2n nI e nI  

Question 7 (1 point)

La fonction f définie sur  0 ;1 par   2

2

2 5 3

6 7

x x f x

x x

   

  vérifie :

A :   1

1

1 lim

2x x

f x  

 D :   1

1

lim x x

f x  

 

B :   1

1

lim 0 x x

f x  

 E :   1

1

1 lim

2 2x x

f x  

C : f n’a pas de limite quand x tend vers 1 par valeurs inférieures

Question 8 (1,5 point)

Donner l’ensemble S des réels appartenant à  0 ; 2 vérifiant l’équation : 2 3

sin sin 0 2

x x  .

A : 4

S 0 ; ; ; 3 3

  

      

D : 7 11

S 0 ; ; ; 6 6

  

      

B : 4

S 0 ; 3

      

E : 2

S 0 ; ; ; 3 3

  

       

C : 4 5

S 0 ; ; ; 3 3

  

      

Question 9 (1,5 point)

Donner la solution de l’équation différentielle     2' 2 cosxy x y x e x  vérifiant  0 1y  .

A :   2 cosxf x e x D :   2

sin 2

xe f x x

 

B :    2ln 1 cosxf x e x  E :    2 21 cos 2

x xf x e e x 

C :     21 sin xf x x e 

Question 10 (1,5 point)

On considère la fonction h définie sur  par     2 1x xh x e e   . On note H sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ; , )O i j .

Donner l’équation de la tangente T à H au point d’intersection de H avec l’axe des abscisses.

A : 2y x  D : 3 ln 6y x 

B : 2y x  E :  6 ln 2y x 

C :  2 ln 2y x 

Question 11 (1,5 point)

Soit g la fonction définie sur  par   2

2

2 3

1

x g x

x

 

 .

Une des cinq affirmations suivantes est exacte. Laquelle ?

A : g est majorée par 2

D : La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a

pour équation 1

3 2

y x  

B : Pour tout réel x, on a    

2 2

2 '

1

x g x

x

E : La fonction G définie pour tout réel x par

   22 ln 1G x x x   est une primitive de g

C : Pour tout réel x, on a  ' 0g x

Question 12 (1,5 point)

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j les points M et N d’affixes

respectives 1 2Mz i  et 3 2Nz i  .

Le milieu I de [MN] a pour image par la rotation de centre O et d’angle 3

 le point J.

Donner l’affixe de J.

A :

7

12

i

Jz e

 D :

7

122 2

i

Jz e

B :

11

122 2

i

Jz e

 E :

7

122 2

i

Jz e

 

C :

5

124 2

i

Jz e

 

Question 13 (1 point)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la courbe C d’équation 1

1 cos 2

y x x   .

On note A l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre C, les axes du repère et la droite

d’équation 2

x   . Donner la valeur de A.

A : 1

4 A  D :

2

2 16 A    

B : 2

1 2 16

A  

   E : 2

1 2 8

A  

  

C : 2

1 2 8

A  

   

Question 14 (1,5 point)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on con,sidère les points A, B et C de coordonnées

 2 ; 4A ,  2 ;1B  et  4 ; 3C . On note d la distance du point A à la droite (BC). Donner la valeur de d.

A : 3

2 d  B :

9

10 d  C :

1

2 d  D :

10

2 d  E :

5

10 d  

Question 15 (1,5 point)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , soit le point A d’affixe i. On considère la

fonction T qui associe à tout point M différent de A et d’affixe z, le point M’ d’affixe z’ tel que :

  '

2

i z

z i

 .

Alors l’image par T du cercle de centre A et de rayon 1 est :

A : le cercle de centre O et de rayon 0,5 D : le cercle de centre A et de rayon 1

B : le cercle de centre O et de rayon 2 E : le cercle de centre A et de rayon 2

C : le cercle de centre A et de rayon 0,5

Deuxième épreuve Geipi

2. Exercice 1 (7 points)

On considère deux fonctions f et g définies sur 3

; 2 2

 

     

par   cosf x x et   cos

1 sin

x g x

x  

.

Soient Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormé ( ; , )O i j .

1. a. Pour tout x de 3

; 2 2

 

     

,    g x f x s’écrit sous la forme      

1 sin

h x g x f x

x  

 . Donner une

expression simplifiée de  h x .

b. Déterminer l’ensemble S des solutions de l’équation     0g x f x  dans 3

; 2 2

 

     

.

c. Etudier le signe de    g x f x sur 3

; 2 2

 

     

.

d. Déterminer les coordonnées des points d’intersection C et D des courbes Cf et Cg. Précisez les positions relatives des courbes Cf et Cg.

2. a. Déterminer  f x où f  désigne la dérivée de f.

b. Dresser le tableau des variations de f.

3. a. Déterminer  g x où g désigne la dérivée de g.

b. Dresser le tableau des variations de g.

4. a. Donner une équation des tangentes TC et TD à la courbe Cf aux points C et D.

b. Donner une équation des tangentes TC et TD à la courbe Cg aux points C et D.

5. Tracer les courbes Cf et Cg ainsi que les tangentes TC, TD, TC et TD .

6. a. On pose 2

3

2

cosI xdx

   et

2

3

2

cos

1 sin

x J dx

x

 

 . Déterminer les valeurs de I et J. Justifier les calculs.

b. Sur la figure de la question 5. colorier la partie du plan d’aire I J unités d’aire.

3. Exercice 2 (2,5 points)

Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte, écrite sous forme de fraction irréductible.

Au cours d'une loterie, vingt billets sont mis en vente au prix de 6 euros le billet. Cinq billets seulement sont gagnants, chacun rapportant 30 euros.

Un joueur achète deux billets.

On note X la variable aléatoire représentant le bénéfice net du joueur, exprimé en euros. Le bénéfice net est le gain (positif ou nul) perçu par le joueur à l'issue de la partie, diminué du prix d'achat des deux billets. Le bénéfice net peut donc être négatif.

1. a. Donner la loi de probabilité de X.

b. Donner l'espérance mathématique E(X)de X.

2. L'organisateur de la loterie propose de multiplier les gains par deux si on achète les billets à 13 euros le billet.

Soit Y la variable aléatoire représentant le bénéfice net, en euros, d'un joueur achetant deux billets à 13 euros le billet.

a. Donner la loi de probabilité de Y.

b. Donner l'espérance mathématique E(Y) de Y.

c. Le joueur a-t-il intérêt à accepter la proposition de l'organisateur ? Justifier la réponse.

4. Exercice 3 (4 points)

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ( ; , )O u v , on considère les points A, I et B

d'affixes respectives : 1Az  , 2Iz  et 3Bz  .

Pour tout complexe z, différent de 2, on pose : 1

' 2 2

z z   

.

On considère la fonction F qui à tout point M du plan, différent de I et d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z.

1. Déterminer l'ensemble Edes points M tels que F(M) = M. Justifier la réponse.

2. a. Calculer, en fonction de z, les affixes des vecteurs IM et IM .

b. En déduire une relation entre les longueurs IM et IM’ ainsi qu’une relation entre les angles  ;u IM

et  ;u IM . 3. On considère un point M différent de I, de A et de B. Soit z son affixe.

a. Donner le réel  qui vérifie : 1 1

3 3

z z

z z

    

.

b. En déduire une relation entre M A

M B

 et

M A

M B et une relation entre les angles  ;M A M B  et

 ;MA MB . c. On suppose dans cette question que M appartient à la médiatrice  du segment [AB]. Que peut-on en déduire pour le point M’ ? Justifier la réponse.

5. Exercice 4 (6,5 points)

Question Préliminaire

On considère un triangle quelconque LMN du plan. On note H la projection orthogonale de L sur la droite (MN) et I le milieu du segment [MN].

Démontrer que les aires des triangles LMI et LIN sont égales.

Soit ABC un triangle du plan. On considère les points A’, B’ et Cdéfinis de la façon suivante :

1

3 AC AB  ,

1

3 BA BC  ,

1

3 CB CA  .

Les droites (AA’) et (BB) se coupent en un point P, les droites (BB) et (CC) se coupent en un point Q et les droites (AA) et (CC’) se coupent en un point R.

1. Construire les points A’, B’, Cet les points P, Q, R sur la figure donnée.

C B

A

y

j

i xO

2. Déterminer les réels a, b et c tels que :

* Csoit le barycentre du système {(A,a) ; (B, 1)},

* Asoit le barycentre du système {(B, b) ; (C, 1)},

* Bsoit le barycentre du système {(A,1) ; (C, c)}.

3. On considère les barycentres G1, G2et G3des systèmes suivants :

G1 = bar {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 4)}, G2 = bar {(A, 4) ; (B, 2) ; (C, 1)}, G3 = bar {(A, 1) ; (B, 4) ; (C, 2) }.

a. Expliquer pourquoi G1 appartient aux droites (CC) et (BB}.

b. En déduire quel est le point G1.

c. De même, identifier les points G2et G3.

4. A l'aide de la question 3., déterminer les réels x, y, xet ytels que :

CR xCA yCB  et CQ x CA y CB   .

En déduire la position de Q sur le segment [CR]. Justifier toutes les réponses.

5. On admet alors que le point P est le milieu du segment [BQ]et que le point R est le milieu du segment [AP].

a. À l'aide de la question préliminaire et de la question 4., justifier chaque égalité d'aires suivante :

Aire(PQR) = Aire(PQC) Aire(PQC) = Aire(CBP)

Aire(PQR) = Aire(BRP) Aire(BRP) = Aire(BRA)

Aire(PQR) = Aire(AQR) Aire(AQR) = Aire(AQC)

b. Déterminer alors le rapport  

 

Aire

Aire

PQR k

ABC  .

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